2020秋高中数学人教版2-3达标练习：第二章2.2-2.2.2事件的相互独立性含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020秋高中数学人教A版选修2-3达标练习：第二章2.2-2.2.2事件的相互独立性含解析第二章随机变量及其分布2.2二项分布及其应用2。2.2事件的相互独立性A级基础巩固一、选择题1．如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0。9、0。8、0。8,则系统正常工作的概率为（)A．0。960B．0.864C．0。720D．0.576解析：可知K、A1、A2三类元件正常工作相互独立．所以当A1,A2至少有一个正常工作的概率为P＝1－(1－0。8）2＝0.96,所以系统正常工作的概率为PK·P＝0。9×0。96＝0。864。答案：B2．一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则产品的正品率为（）A．1－a－b B．1－abC．(1－a)（1－b) D．1－(1－a）（1－b）解析：设A表示“第一道工序的产品为正品”,B表示“第二道工序的产品为正品"，则P（AB)＝P(A)P（B）＝(1－a）(1－b)．答案:C3．同时转动如图所示的两个转盘,记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y(若指针停在边界上则重新转)，x，y构成数对（x,y),则所有数对(x,y）中满足xy＝4的概率为()甲乙A.eq\f（1,16） B.eq\f（1，8) C.eq\f(3，16） D。eq\f（1,4)解析：满足xy＝4的所有可能如下:x＝1，y＝4；x＝2，y＝2；x＝4，y＝1。所以所求事件的概率P＝P（x＝1，y＝4）＋P（x＝2,y＝2）＋P（x＝4，y＝1)＝eq\f(1,4)×eq\f（1,4)＋eq\f(1,4）×eq\f（1,4）＋eq\f（1,4）×eq\f(1,4）＝eq\f（3,16)。答案:C4．在一段时间内，甲去某地的概率是eq\f(1，4)，乙去此地的概率是eq\f（1,5),假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内，至少有1人去此地的概率是()A.eq\f(3，20) B。eq\f(1,5) C.eq\f(2,5) D.eq\f(9,20）解析：法一考查相互独立事件的概率公式．设“甲去某地”为事件A，“乙去某地”为事件B，则至少1人去此地的概率为P＝P（A）P（)＋P（）P（B）＋P（A)P（B）＝eq\f（1,4）×eq\f(4，5）＋eq\f（3,4）×eq\f(1,5)＋eq\f（1，4）×eq\f(1，5)＝eq\f（2，5).法二考查对立事件:P＝1－P(）P()＝1－eq\f(3，4)×eq\f（4,5）＝eq\f（2,5).答案：C5．某大街在甲、乙、丙三处设有红、绿灯,汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为eq\f（1，3)，eq\f（1,2),eq\f（2,3)，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为()A。eq\f(1，9） B.eq\f(1，6） C。eq\f(1,3) D.eq\f(7，18）解析：设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A，B,C，则P（A）＝eq\f（1，3)，P(B）＝eq\f(1，2)，P(C)＝eq\f（2,3）,停车一次即为事件BC＋AC＋AB的发生，故概率P＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3））)×eq\f（1,2）×eq\f(2，3）＋eq\f(1，3)×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（1－\f(1,2）））×eq\f（2，3）＋eq\f（1，3）×eq\f(1,2)×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3）)）＝eq\f(7,18）。答案：D二、填空题6．在甲盒内的200个螺杆中有160个是A型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A型．若从甲、乙两盒内各取一个,则能配成A型螺栓的概率为________．解析：从甲盒内取一个A型螺杆记为事件M，从乙盒内取一个A型螺母记为事件N，因事件M，N相互独立，则能配成A型螺栓（即一个A型螺杆与一个A型螺母）的概率为P（MN)＝P(M）P(N)＝eq\f（160,200）×eq\f（180，240）＝eq\f（3,5)。答案:eq\f(3，5）7．已知A，B，C相互独立，如果P（AB)＝eq\f(1,6），P(C）＝eq\f(1,8），P（AB)＝eq\f(1，8)，则P(AB)＝________．解析：依题意得eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（P（AB）＝\f（1，6）,，P（BC）＝\f（1,8），,P(ABC）＝\f(1，8），））解得P（A）＝eq\f（1，3），P(B)＝eq\f（1,2）.所以P（B)＝eq\f(2,3）×eq\f（1,2)＝eq\f（1，3).答案：eq\f（1，3)8．在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．解析:由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为eq\f(5,12)，eq\f(7，12)，eq\f（3，4）。在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为eq\f(5，12）×eq\f（7,12）×eq\f（3,4)＝eq\f（35,192).答案：eq\f(35,192）三、解答题9．已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为eq\f(1,2)，求灯亮的概率．解：因为A,B断开且C，D至少有一个断开时，线路才断开，导致灯不亮，P＝P（）［1－P(CD)］＝P（）P（)［1－P(CD)］＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(1－\f(1，2）×\f(1,2）））＝eq\f（3,16）。所以灯亮的概率为1－eq\f（3，16）＝eq\f(13，16).10．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工，绿色蔬菜种植和水果种植三个项目,据预测，三个项目成功的概率分别为eq\f(4,5),eq\f(5,6)，eq\f(2,3）,且三个项目是否成功互相独立．(1）求恰有两个项目成功的概率;(2)求至少有一个项目成功的概率．解:（1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为eq\f(4,5)×eq\f(5,6）×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（1－\f（2,3))）＝eq\f(2，9），只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为eq\f(4，5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f（5,6)))×eq\f(2,3)＝eq\f（4,45），只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（1－\f(4，5）)）×eq\f(5，6）×eq\f(2，3)＝eq\f（1，9),所以恰有两个项目成功的概率为eq\f（2，9)＋eq\f(4，45）＋eq\f（1,9)＝eq\f(19，45）.（2)三个项目全部失败的概率为eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f（4,5）））×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（1－\f（5,6））)×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（1－\f(2，3）)）＝eq\f（1，90），所以至少有一个项目成功的概率为1－eq\f（1，90）＝eq\f（89,90）。B级能力提升1．从甲袋中摸出一个红球的概率是eq\f(1,3),从乙袋中摸出一个红球的概率是eq\f(1,2）,从两袋各摸出一个球,则eq\f(2，3）等于(）A．2个球不都是红球的概率B．2个球都是红球的概率C．至少有1个红球的概率D．2个球中恰有1个红球的概率解析：分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A、B，则P（A）＝eq\f(1，3)，P(B)＝eq\f(1，2），由于A、B相互独立，所以1－P(eq\o（\s\up6(—）,\s\do5（A)）)P（eq\o(\s\up6(-）,\s\do5(B)））＝1－eq\f(2,3）×eq\f(1，2）＝eq\f(2,3).根据互斥事件可知C正确．答案：C2．有五瓶墨水,其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率是________．解析：设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”,则D＝B∪C，且B与C互斥,又P(A）＝eq\f(Ceq\o\al（1，2）Ceq\o\al（1,4),Ceq\o\al（2,5))＝eq\f(4，5)，P（AB)＝eq\f（Ceq\o\al（1,2)Ceq\o\al(1，1),Ceq\o\al(2，5))＝eq\f（1,5)，P（AC)＝eq\f（Ceq\o\al(1,2）Ceq\o\al（1，2），Ceq\o\al（2,5）)＝eq\f（2,5)，故P（D|A）＝P(B∪C|A)＝P(B｜A）＋P(C｜A）＝eq\f（P（AB）,P（A））＋eq\f(P（AC），P（A））＝eq\f（3,4）。答案：eq\f（3，4）3．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游（各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为eq\f(1,4)，eq\f（1,2),超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为eq\f(1,2)，eq\f（1，4）,两人租车时间都不会超过四小时．（1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率．（2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列．解:（1)由题意，得甲、乙两人超过三小时但不超过四小时还车的概率分别为eq\f(1,4），eq\f（1,4).记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P（A）＝eq\f(1，4)×eq\f（1，2）＋eq\f(1,2)×eq\f（1，4)＋eq\f(1,4)×eq\f（1,4）＝eq\f(5，16).所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为eq\f（5，16).（2)由题意可得ξ的可能取值为0，2，4,6，8.P(ξ＝0)＝eq\f（1,4）×eq\f(1，2)＝eq\f(1，8），P(ξ＝2)＝eq\f（1,4)×eq\f（1，4）＋eq\f(1,2）×eq\f(1,2）＝eq\f（5，16）,P(ξ＝4)＝eq\f（1,4）×eq\f（1,4）＋eq\f（1,2)×eq\f(1，4）＋eq\f(1，2)×eq\f（1,4)＝eq\f（5,16），P（ξ＝6)＝eq