高考综合训练题选编

高考综合训练题选编

一、填空题：

______________(1■

1.函数/'(x)=Jog；x-1的定义域为0,-.

2.已知向量57={-1,2},5万={3,"?},若5K，赤，则^1=.4.

3.函数/'(x)=sin~+xsin的最小正周期是.兀.

4.在(l+x+x2)(l-X)'0展开式中，/项的系数是135.

解：只要分别求出(1-工厂展开式中的丁、丁、/项的系数相加即可。

5.函数y=2sin尤(sinx+cos尤)的最大值为.6+1

6.以点(5,0)为圆心，且和双曲线的渐近线相切的圆的方程是.

(x-5)2+y2=16.

7.如果复数二」(beR)的实部和虚部互为相反数，那么b=.-2/3.

1+2i

8.根据右边的框图，建立打印数列的递推公式.

9.若关于x的不等式组'有解，则实数a的取值范围是.

x-4<2a.

M\x>\+a2,,2,，2,c/1c\

解：〈I+tz<4+aa—a—3<0ae(—1,3)°

[x<4+a.

10。(理)如图，在正三棱柱ABC-A中，AB=1.若二面角C—AB—C1的大小为60°,

则点C到平面ABQ的距离为3/4.

11.从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票任取3张，则所取3张中至少有

2张价格相同的概率为.

12.已知函数f(x)是奇函数，当x<0时，/(x)=x2-3asiny,且f(3)=6,则a=.5

13.在体积为的球的表面上有三点A、B、C三点，AB=1,BC=J5,A、C两点的球面距离为

A/3—,—•

—7V.(文)则0。

3

(理)则球心到平面ABC的距离为3/2.

an+1,当〃为偶数，

23

14.数列仅“｝定义如下：q=l,当〃22时，%=41若%=一，则正整数

,，当〃为偶数。2

1%

n=.6

15.若直线3xsin?a+ycos2a-3=0与双曲线Jr?-y2=1仅有一个公共点，

则该公共点的坐标为.

解：对于任意的ae/?,直线恒过定点(1,3).

当cos2a=0nsin2a=1,直线方程为x=l,代入--=i解得直线与双

曲线此时有一个交点(1,0)o

当cos2a。0时，设直线方程为y=攵(％-1)+3。=-tan2a＜0)o

(1)当k=-l时-，直线y=4-x代入V—y2=]解得直线与双曲线仅有一个公共

八占3(17十⑸。

(2)当b-1时,由

,，「左(：-1)+3,=(]_42.2+(2々2_6后卜_左2+6后_]0=0。

[X一＞=1.

贝|JA=244一40=0=＞忆=』＞0,不合题意。

3

综上，当直线与双曲线仅有一个公共点时，该公共点为

16.对任意的x＞0,总有/(x)=〃-x-|lgx区0。则a的取值范围是

解：当"1时:|lgx|=lgx.

由x+lgxNlna<l.；

当0<X<l时，|lgx|=-lgx,止匕时，f\x)=-1+—,f\x)=0x=1geo

x

当0<x<lge=>f\x)>0;x>1ge=>f\x)<0.

.•.0<x<l时,x=Ige是f(x)的最大值点。

由/(x)</(lge)=a-lge+lglge<0=>6(<lge-lglgeo

综上，由」>10,3>In10=>lge-lglge=1g」一=lg(eln10)<IglO=1o

Ige

故a的取值范围为(-8,1ge-lgIge)。

17.已知数列｛&“｝满足：ax=1,an+l=\+an+Jl+4a“eN*)。

则数列的通项为=.

解：令a=J1+4a“=>an=441。从而，

%T=]+^Lll+〃

44"

n8+i=瓦+4a+4=(b„+2)-

由仇=Jl+4al=V5,b”>0,可知

b"+\=b”+2nb”=亚+2(/?-1),

=a"=；("；-1)=；[5+4石(〃-1)+4(〃_1)2_1]

=1+(〃-1)(〃+-1)

18.随机地投掷四颗骰子，则其中有两颗骰子所示数字之和为9的概

率为.

解：记四颗骰子每次投掷所示的结果为一基本事件，以X表示全部

事件的集合。显然，

IXh64o

对于每个i(i=l,2,3,4,5,6),定义事件4：

4=｛四颗骰子所示之数中没有i的所有的基本事件｝,

将每次投掷结果中有两颗骰子所示数字之和为9的事件记为B.

因9=3+6=4+5,

.•.B=4T4u无T4（其中入表示A的互斥事件），则

IA3UWIA3U&I

4

=6-(|A3|+|4l-|A3nA,l)

=64-(54+54-44)=302.

同理：|AU41=302。

故|B1=14U41+IaU4|-14U&nAu41=604-24=58Q

因此，所求的概率为|g|580_145

-324

19.含有三个实数的集合可表示为也可表示为卜2,a+仇（）｝,则42。“+〃。”

解:由,11可得awl,且a#0。

a2=1,

Q=T，T。=1,

〃=〃+/?,=><,或<,（舍去）

b=0.［。=0.

。20口+谬1=（—1产=_1

20.下列三个命题中：

@VXG/?,2X2-X+1>0；②"x>l且y>2”是“x+y>3”的充要条件;

③函数y=+2+的最小值为2。其中是假命题的是.

4+2

解：②③

21.设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(-l)=2,若cosa=—察，则

/(-1)+/(10cos2«)=.

解：/(⑵=/(0)=0,10cos2a=10(2cos2a-l)=4,

•1•/(10cos2a)=/(4)=/(I)=-/(-1)=-2,

/(-l)+/(10cos2cr)=0

22.已知t为常数，函数y=|/-2光一”在区间[0,3]上的最大值为2,则t=.

解:函数的最大值只可能在x=I或x=3时取到，若在x=l时取到，112tl=2,t=l或t=-3,

T=l,x=3时，y=2;t=-3,x=3时，y=6(舍去)；若在x=3时取到,|9-6-t|=2,t=l或5,t=l,x=l时，

y=2;t=5,x=l时，y=6(舍去)，所以

23.函数/(x)=|4x-/恰有三个零点，则a=.

解：4o

24.设a>l,若仅有一个常数C使得对于任意的xe[a,2a],都有ye[a,/]满足方程

log"x+logay=c,这时a的取值的集合为.

c

解：依题意得了=一，当xe[a,2司时，

X

c―-11

y=—&-ac~',ac~'c[a,«2],因此，有<2'<=>2«<ac~[<a1«

x2

[ac-l<,a~2.

又常数c是唯一的，因此/=2。,・.・4>1.，。=2,即a的取值的集合为｛2｝。

lglx-2l,x2,,

25.函数的定义域为R,若关于x的方程/2(x)+/(x)+c=o恰

l,X-2

有5个不同的实根苞,X2，工,尤4，%5，则/(尤1+%2+&+X4+/)=.

解：方程/2(x)+/(x)+c=0中f(X)必须取得两个不同的值，且其中之一必须为1,又函

数f(x)的图像关于X=2对称，J.X[+々+*3+%+*5=1°，

/./(X1+x2+%3+%4+%5)=31g2

26.已知等比数列｛*｝的首项为8,S.为其前n项和，某同学经计算得

S2=24,邑=38,乩=65,后来该同学发现其中一个数算错了，则算错的那个数是,

该数列的公比为。

解：S2,3/2。设等比数列的公比为q,若S2计算正确，则有q=2,但此时邑H38,其H64

与题设不符，故算错的就是、2,此时由‘3=38nq=5,且邑=65也正确。

27.无穷数列｛《,｝同时满足条件：

①对任意自然数〃eN”,都有一2<%<4；

②当n为正偶数时，%_|<a“，且an>an+l；

③当n>3时,a”〉0。

请你写出一个满足条件的｛an｝的通项公式

解：七=1+(-1)・/“=5〃为偶数，=2+sm丁)。

28.设q,4,…,4(〃>4)是各项均不为零的等差数列，且公差d。().设a(〃)是将此数列

删去某一项得到的数列(按原来的顺序)为等比数列的最大的〃值，则a(〃)=.

29.设a“=[cos等,sin等卜eN*3=（1,6）,贝!I

y=|+b\~+1/+力F+…+1Q]（）+〃/的值为.

解：y=|ci]+b\~+1g+〃I〜+…+|a]。+〃「

（—*2—♦2—*2\-♦2-Z~~*—*----\

=+知+…+。〃+10b+2Z?•k+…+

=10+40+（2,2⑸.-1--=50-2=48.

、22,

30.已知O为锐角A4BC的外心，AB=6,AC=10,若怒=》诟+），就，且2x+10y=5,

则

cosZ.BAC-.

解：因为O是AA8C的外心，所以

AO»AC=\AO\\AC\cosZOAC=-\AC\»\AC\=5Q.

2

又就=K+卜茄+y砌•元=50,

即x|瓦||尼|cosNBAC+y|元『=50,

即60xcosZBAC+100y=50。

因为A4BC为锐角三角形，已知xwO,

…八5-10y2x1

/.cosZ.BAC-------=--=—.

6x6x3

31.将红、黑、白三个棋子放入如图所示的小方格内，每格内只能放一个，且3个棋子既不

同行也不同列，则不同的方法有种

解：先在四行中任选一行、四列中任选一列，安放红色棋子，有方法C：C；=16,这样还剩

下三行三列同样选一行一列安放黑色棋子有=9。同理白色棋子安放的方法有4种,

故总的方法数有16x9X4=576。

14.甲、乙、丙、丁四个人做传球练习，球首先由甲传出，每个人得到球后都等可能地传给

其余三个人之一，设p“表示经过n次传递后回到甲手中的概率，则26=.

解：经过一次传递后，球落在乙、丙、丁手中的概率分别为工，而落在甲手中的概率为0,

3

因此Pi=0。两次传递后球落在甲手中的概率为

1111111

=-x-+-x-+-x-=一。

23333333

下面考虑递推。要想经过n次传递后球落在甲的手中，那么在n-1次传递后球一定不在甲手

中，所以P“=3（1-，”-1），〃=1，2,3广・.因此

〃3=?1-〃2）=122

-X-=一,

339

04=；（1-P3）177

=-x-=—,

3927

幺=；（1-幺）=12020

—x—=—,

32781

06=；（1-次）=16161

—x———-----

381243

32.i为虚数单位，若复数z满足/（z+i）=z—3i,则"⑵）+1|=_6

解：令江\,则/（2i）=—2乙|/（2。+1|=近。

33.已知正实数满足xy=l,贝I（二+y）（』+x）的最小值为。4

yX

解:

34.关于x的方程/一JIx一〃=0的解集是{sinacos0],则实数p=

35.已知函数/(尤)=,以+2尤+1'"一°)有3个零点，则实数。的取值范围是____

ax-3,(x>0)

()<«<!

a>0,

=>0<a<1

△=4-4。>0

36.已知曲线C的极坐标方程是p=6sin®,以极点为平在直角坐标系的原点，极轴为龙的

正半轴，建立平面直角坐标系，直线/的参数方程是

x->/2/—1

<立。为参数)，则直线/与曲线C相交所得的弦的弦长为。4

IV=——2t

37.为了了解某地区高三学生的身体发

育情况，抽查了该地区100名年龄为

17岁〜18岁的男生体重(kg),得到频

率分布直方图如下。根据下图可得这

解答：概框图表示的是函数y={6,(2<%<6)

8-x,(x<2)

,一x>6,_^\x<2

丫=23时，有《”⑴或。”⑵

%—4=23.[8—x=23

解(1)得x=27,解(2)得x=-15.

22

39.过双曲线[-5=1(。>0,6>0)的右焦点F和虚轴端点B作一条直线，若右顶点A

ab

到直线FB的距离等于二，则双曲线的焦距与实轴长的比等于__________.2

V7

解：••.SMBF=gx*x|F3|=(〃・|AF|

22_

，•yjb+cc-a)b=〃+/=7(C-Q)2

=5e?-14e+8=0=e=2.

40.在A4BC中，角A、B、C对应边分别是。、佚c,若。=1,b=2,则角A的取值范

围是__________

廿+。2_/c2+3

解：vcosA=某+引虫=0<2。

2bc4c4Vc)26

41.已知等比数列｛《,｝中g，%，％分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且％=1

公比qW1则an等于.

【解析】设公差为d=>%=。4+3",。3=%+d=(“4+4)2=(%+3d)%("w0)，

解得%=d=>%=4"，%=2d=>q=a“=2l~n。

42.在平面直角坐标系中，矩形。48C,0(0,0),A(2,0),C(0,l),将矩形折叠，使。点

落在线段BC上，设折痕所在直线的斜率为k,则k的取值范围为.

【解析】当。落在。时折痕所在直线的斜率为左=0；当。落在6时折痕所在直线的斜率

为％=---=-^-=-2^-2<^<01,故选。。

k()B_

2

43.从-2、-1、0、1、2、3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数

3；="2+公+。的系数。、b、c,则可以组成顶点在第一象限且过原点的抛物线条数为

___________.6

解：分三步：第一步确定C,由抛物线过原点可知C=0,只有1种方法；第2步，确定a,

由抛物线的顶点在第一象限可知，开口向下，a从-2,-1中任选一个，有2种不同的方法；

第三步确定b,从1,2,3中任选一个，有3种不同的方法。根据乘法原理计算得1x2x3=6

种方法。

44.己知O是正三角形ABC内部一点，方+2丽+3反=6,则A4BC的面积与△OAC

的面积之比是

3.

解法1:分别取AC、BC的中点M、N,则。4+。。=2。知,。8+。。=2。%。

■.■OA+2OB+3dC=0,

（04+0C）+2（0B+OC）=Q。

OM=-20N,

・・・0、M、N三点共线。

又MN是正三角形ABC的中位线，则

qq

C_MBCC_9CC_0MBe

°MOB~2，A，

U/IOC_3.W0CUzWNC4

J_cc_S必BC

又0MINC

・SMOB=3

SAAOC2

解法2：分别延长OB到g，延长OC到G，使函=2瓦，西=3西，

故0A+0g+0G=0，

A0为A48G的重心，则S^OAB

q

S&OAB_2_3

SM）ACSROAG2

f3H（20、

45.若矩阵4=[B=\,则矩阵A・B二

0121

46.若函数y=(x+l)(x+a)为偶函数，则实数a=.1.

4,32

47.直径为4的球体的体积为__________.V=-7rR3=——兀；

33

4.（-2产

48.lim_________0.

〃T83"+1

-1-V3Z

49.设复数z=_I*®',则z?

22

cosocsinoc

50.若a,夕是某三角形的两个内角，且行列式八0=0,则。+夕=_______.

sinpcosp

答案：一.

2

51.经过点P(-l,3)且法向量为］=(1,2)的直线的一般式方程为.

(x+2y-5=0).

52.二项式(x-1)，的展开式中，/项的系数为.

解：(x—l)6=(17)6,7；+I=c；(—的系数为C：=15.

53.在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表

演节目。若选到男教师的概率为9/20.则参加联欢会的教师共有人。

解：设男教师为x人，则女教师为x+12人。

x9

依题意，P=----------=—=>x-54,x+12=66,2x+12=120.

2x+1220

54.在平面几何中，A4BC的内角平分线CE分A8所成线段的比为一,把这个结

EBBC

论类比到空间：在三棱锥A-BCD中(如图所示)，平面DEC平分二面角A-CO-B且

与AB相交于E,则得到的类比的结论是__________.A

类比的结论是:嗜七k

类比：在三棱锥A-BCD中，过直线AB作嗡血直手卷k并交CD于5>就%8是二

面角A-CD-B的平面角，连接EH,则EH是的平分线，C

.AE_AH_S—CD

••商一丽-。

55.某饮料厂搞促销，公开承诺，“凡购买本厂的某种饮料的顾客可用3只空罐换一罐饮料。”

如：若购买10罐饮料，实际可饮用14罐饮料；若需饮用10罐，应购买7罐；(注：不能借

他人的空罐)；若购买100罐饮料，实际可饮用机罐饮料；若需饮用100罐，应购买"罐。

则(m,«)为.

A.(147,67)B.(147,69)C.(149,67)D.(149,69)

【解析】加=100+33+11+3+1+1=149,100=67+22+7+3+1=>〃=67。故选C

56.若集合A={x||x区1},8={X|X20},则AD8=

解:An8={x|0VxWl}

3+2/

57.复数=

2-3/-

3+2/

2-3/

53

58.在AA8C中，已知IcosA=—,sinB=—,则cosC的值为__________.

135

到45c42“1260.D339

1312J1365560

八九■4

0<8<A<—,cosB=—

25

r.cosC=cos（1一（A+B））=-cos（A+8）=sinAsin8-cosAcosB=—

65

59.已知动点M（x,y）到点F（4,0）的距离比到直线x+5=0的距离小。则点M的轨迹方

程为.

解:y*2*=16x

60..在（x-iXx+1）8的展开式中%5的*系数是.14.

61.已知点%（6,2）和M2（l,7）,直线y=mx-7与线段叫加？的交点分有向线段叫用？的比

为3：2,则m的值为.4.

62.在A48C中，O为中线AM上的一动点，若AM=2,则宓•（而+反）的最小值是

63.在y=2",y=log2x,y=/,y=cos2x这四个函数中，当0<项<》2<1时，使

上士三]>/（屈）+/（々）恒成立的函数是___________>=log,x

k2J2

64.已知数列｛九，,｝满足1,X,=!（X,T+X"-2），〃=3,4,….若limx“=2,则

22

x\------------------

解：由特征方程2/-I=0n（2r+l）"l）=0nr=-g或1♦

=ZT+：/T=,一=尤2+?"玉=3

222〃T82）

65.在等差数列｛/｝中，已知q=2,公差不为零，且囚,生，％|恰好为某等比数列的前3

项，则该等比数列的公比为.

解：设等差数列｛凡｝的公差为d（dH0）,则依题意有

Q

2

al=a｝an=>（2+2d）=2[2+10d]=>d?-3d=0=d=3,^=—=4.

66.如图，一个地区分为5个行政区，现给它们着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色。

若有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（用数字作答）

例（2003年全国高考文科第16题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要

求相邻区域不得使用统一颜色。现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（用

数字作答）。

思路1：本题关键在于选择标准要严格，做到不漏、不重，不妨按各区域序号着色，着色时

注意条件“相邻区域不同色”，用树图法表示着色的过程，设不同的颜色分别用a,b,c,d,表示,

1,2,3,4,5分别表示相应的着色区域，那么1号区域着色a时，区域2、3、4、5着色

的各种可能如下：

.思路2基本按1、2、3、4、5、区域的顺序着色，不过不是作树图。用枚举法计数，而利用

排列、组合的概念，结合分步分类的思想计数，当1号区域、2号区域先着色后，3号区域

的着色需与5号区域着色同步考虑，分同色还是异色两种情况讨论，最后再着色4号区域。

解答2：因为不同颜色有四种，分四步着色，第一、二步先后着色1、2号区域，得着色方

法分别为中方法；第三步着色不相邻区域3和5,分着同色与异色两类情况讨论，

若这两个区域着同色，那么着色方法为种，从而第四步着色区域为C；种；若这两个区

域着异色，那么着色方法为从而第四步着色区域4时方法为°：种。与是地图不

同着色的方法有

C；C；.（C；C；+CC：.C）=72（种）方法。

67.在棱长为3的正方体ABCD-4⑸G3中，长为2的线段的一个端点M在棱QR上，另

一个端点N在底面ABCD内，则MN的中点P的轨迹是,

它与有公共顶点D的正方体的三个面所围成的几何体的体积是.

7T

解：以D为球心，1为半径的球面在正方体内部的部分；V=-

6

68.设M是

A4BC内的一点，且族•衣=26,/区4。=30。,定义/'（闻）=（m,",°）,其中m,n,p

114

分别是AMBC,AMCA,\MAB的面积，若于（M）=（-,%,y\则一+—的最小值是

2xy

—*——*r-Gr-ii

解：由A3•AC=2V3n-^bc=2v3=>be=4,—/?csinA=—+x+y

||41142V8x

nx+y-,-+-=(+-)-2(x+y)=10+^-+—>10+8,当且仅当

2xyxyxy

2y8x1日「11Ini/4

丁=7'X+>=5即X=Z'y=3时'1+?而"1O8

69.如图，放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，设顶点P(x,y)的轨迹方程为y=f(x),

则函数f(x)的最小正周期为;y=f(x)在其两个相邻零点之间的图像与x轴所围成区域

的面积为.

说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动。沿x轴正方向

滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺

时针旋转，如此继续。类似地，正方形PABC沿x轴负方向滚动。

性质，与正方形的初始位置无关，所以不妨设正方形的顶点P与坐标原点重合，当它滚动

起来点P再一次落在x轴上时，点P的坐标是4,这就是函数y=f(x)的周期;而在这个滚动中,

点P先做了以(1,0)为圆心的1/4的半径为、历的圆周运动，最后又做了1/4的半径为1

的圆周运动，如图，所以面积为乃+1=S。

70.函数y=f(x)的图像与y=2',关于直线y=x对称，则函数y=/(4x—/)的递增区间是

22

解答：/(x)=log,x,则=log2(4x-x)=log2[-(x-2)+4]

二递增区间为(0,2]。

71.(2010重庆理数)(15)已知函数/(X)满足：/。)=；，

4/(x)/(y)=/(x+y)+/(x-y)(x,yeR),则“2010)=.--------------------,

解析：取x=ly=0得/(0)=；

法一：通过计算/(2),/(3),/(4).........寻得周期为6

法二：取x=ny=l,有f(n)=f(n+l)+f(n-l),同理f(n+l)=f(n+2)+f(n)

联立得f(n+2)=—f(n-l)所以T=6故f(2010)=f(0)=—

72.(2010辽宁理数)(16)已知数列｛%｝满足q=33,。"+1—。“=2〃,则%的最小值为

【答案】—

2

【命题立意】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函

数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力.

【解析】即=(。〃-%一1)+3〃-「。小2)+,••+(〃2-。1)+。1=2[1+2+・・♦(〃-1)]+33=33+〃2-〃

叱…331

所以—=--F〃一]

nn

设/(〃)=至+〃-1,令/(“)=+1〉0,则/(〃)在(回,+8)上是单调递增,

nrr

在(0,屈)上是递减的，因为neNr所以当n=5或6时/(〃)有最小值。

又因嘴.，今吟.，所以，？的最小值骑后

73.已知球0的半径为4,圆M与圆N为该球的两个小圆，为圆M与圆N的公共弦,

AB=4,若OM=ON=3,则两圆圆心的距离

MN=。

【解析】3：本题考查球、直线与圆的基础知识

0N=3,球半径为4,小圆N的半径为J7,•.•小圆N

中弦长AB=4,作NE垂直于AB,Z.NE=^,同理可得

ME=g,在直角三角形ONE中，：NE=6,0N=3,A

7171

ZEON=-ZMON=-

6,3,MN=3

74.设二项式(2x+3)”的展开式中，二项式系数之和为4，二项式(l+x)2"的展开式中,

I>

各项系数之和为勿，n为正整数，则limqe-&=______

f2an-b„

解:=-2o

2824-2«^-2«+l-22n

jr

75.如果函数/(犬)=$皿丽一々)(。>0)在区间(一1,0)上只有一条平行于丫轴的直线是

4

其图像的对称轴，则。的取值范围是.

_10Tl

解：f(x)=sin(<wzx---)=sin[<wr(x----)],T=一=——，

44a>a>42a)

1T

-1<---------<0

4694

_^_3T44。

4。4

76.已知直线/,的极坐标方程为P(2sin0-cos6)=2,直线4的极坐标方程为

外皿6-?)=拉,则4与4的夹角为.

解：/,:/?sin(6-arctan；)~^=;l2:psin(。-?)=V2

1、1万11

一arctan—)=—=>---arctan—=arctan-。

23423

77.设M、N是直角梯形ABC。两腰的中点，OE_LA6于E(如图).现将A4DE沿DE

折起，使二面角A—DE—B为45°,此时点4在平面

C

BCDE内的射影恰为点3,则M、N的连线与AE所成

角的大小等于.，N

A

分析：本题考查求折叠后的两条异面直线的夹角，考查考生EB

实践操作能力和空间想象能力，以及运算能力。

解：连接MN交DE于F,则AE//MF,MF=-AE,将AAO扇。曲起,使二面角

2

A-DE-B为45°,此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B,因此，折叠后的

ZAEB=NMFN=45°,AE=6BE,注意到AE//MF,所以，NNMF为折叠后

MN与AE所成的角。设BE=4,则“尸=丫一。,,*=。,/“硒=45°,有余弦定

2

理可求得MN=再由M尸+MN?=N尸,NNMF=900。

2

所以，M,N连线与AE所成角为90°。

78.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为

—,则该队员每次罚球的命中率为.

25

解析：由1—p~=—得p=—

255

79.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位:

厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。由图中数据

可知a=。若要从身高在［120,130）,［130,

140）,［140,150］三组内的学生中，用分层抽样的方法选

取18人参加一项活动，则从身高在［140,150］内的学

生中选取的人数应为。

答案：0.0303

80.对于正数n和a,定义〃”!=〃（〃-q）（〃-2a）（〃一3a）…（〃一女z）,其中k是满足〃>ka

的最大整数，则上72”1的值等于______________.

182!

72'72x64x56x48x40x32x24x16x8.9

解.__2_=________________________________=4

■182!18x16x14x12x10x8x6x4x2

81.设｛a"是等比数列，公比“=及，Sn为｛如｝的前n项和。记7；=皿二区,〃€N*.设

%

”为数列｛7；｝的最大项，则%=。

【答案】4

【解析】本题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等

题。

(后]_r/,[l-(V2)2"]

T=1-及1-&=[.(——17(0)"+16

""a,(72)"-1-V2(V2)n

=—^=・[(亚)"+Y--17]因为(啦)"+三8,当且仅当(血)"=4,即n=4时取

1-V2(V2)n(V2)n

等号，所以当n°=4时Tn有最大值。

【温馨提示】本题的实质是求Tn取得最大值时的n值，求解时为便于运算可以对（、历）"进

行换元，分子、分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解.

82.己知以F为焦点的抛物线=4x上的两点A、B满足衣=3而，则弦AB的中点到准

线的距离为.

解析：设BF=m，由抛物线的定义知

AA,=3m,BB[=m

A48c中，AC=2m,AB=4m,kAR=6

直线AB方程为y=g(x—1)

与抛物线方程联立消y得3/-1Ox+3=0

所以AB中点到准线距离为%•士生+1=?+1=§

233

83.将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,得到如图1所示的0-1三角数表.从上往下

数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第〃次全

行的数都为1的是第行；第61行中1的个数是

第1行1

第2行01

第3行1111

第4行10001

第5行10011

图1

解：设第n次全行的数都是1的是第m行，通过对杨辉三角及题意的分析可知，此表中全

行均为1的数在杨辉三角中应全为奇数，即此行中C：，C;，…，全为奇数，由此类推可得

机=2"-1.当m=63时，此行有64个1,故亦可推得第61行中，1的个数为32。

另解：第1行11

第3行1111

第7行11111111

21-1=1,

22-1=3,

23-1=7.

由不完全归纳知，全是I的是(2"-1)行。

当n=6时，第2/1=63行全是1共64个1。根据规律写出62,61行来：

第61行1101-011...32个1

第62行1010-01...32个1,

第63行1111—11...64个1。

84.不等式1%-1|22次|的解集为

已知tan—=3,则cos(色+a=_______。

85.

2(2)

方程组产+3〉-1=，所对应的增广矩阵为__________.

86.

3x-4y+7=0

2122

87.在三角形ABC中，；一。，则NC=

解:」absinC="*"一0=」"cosC=>C=%。

2424

6

\、

88.二项式的展开式中的常数项为.15.

X一不

89.动点P(x,y)在抛物线y=/+l上移动，则点P与Q(0,l)的连线中

点的轨迹方程为.

解：y=2x2+