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本文格式为Word版，下载可任意编辑——例谈避免探讨的五种方法“分类探讨〞是高中数学重要的数学思想方法之一，大量问题都离不开分类探讨。但有些问题探讨过程繁琐，这时，若能深刻理解题意，战胜思维定势，变换思维角度，往往可以避免分类探讨，使问题的解决更为简捷。现采撷几例，供参考。

一．利用函数性质，避免探讨

例1．设定义在上的偶函数在区间上单调递减，若，求实数的取值范围。

分析：此题一般性解法是分类探讨，有四种状况，逐一探讨太过繁琐，如能利用偶函数的性质，则可以转化为绝对值不等式的求解，避免探讨。

解：为偶函数

在区间上单调递减

解之得：

二．分开参数，避免探讨

例2．已知二次函数若时，总有，试求a的取值范围。

分析：此题一般性解法是通过探讨二次函数的对称轴的位置，从而求出二次函数的最值，其解题过程繁杂性显而易见。而将参数从不等式中分开出来，可以避免较为繁杂的探讨。

例3．过抛物线的焦点作直线与抛物线交于、两点，求的最小值。

分析：此题一般解法是分直线斜率不存在和存在两种状况设出直线，再联立方程组求的表达式。实际上，注意到直线斜率为零的状况是不成立的，可把直线设成的形式。

解：设直线：即

四．利用递推关系，避免探讨

例4.欲登上第10级楼梯，假使规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有多少种？

解法1：分类法：

第一类：没有一步两级，则只有1种走法；

其次类：恰有一步是一步两级，则走完10级要走9步，9步中选一步是一步两级的，有种可能走法；

第三类：恰有两步是一步两级，则走完10级要走8步，8步中选两步是一步两级的，有种可能走法；

依此类推，共有种走法。

解法2：递推法：

设走n级有种走法，若第一步是一步一级，则余下的级有种走法；

若第一步是一步两级，则余下的级有种走法，于是可得递推关系式，又易得，由递推可得，故有89种走法。

分析：此题若分类去解，要分六种状况探讨，比较繁琐，若考虑数列的递推方法，则简单得多。实际上，计数问题有好多是可以用递推的方法求解的。

五．利用必要性，避免探讨

例5．若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围。

分析：此题若按常规方法求解，一般是分开参数或直接求绝对值里面的函数的最值，都比较繁琐，好多同学望而生畏。实际上，若考虑端点处的函数值的状况，问题一下子变得简单，也不必探讨。

解：令

从上面的几道例题中，我们见识到了简化、避免分类探讨的种种方法。总之，

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