2023年新教材高考数学微专题专练55含解析

专练55随机抽样与用样本估计总体

[基础强化]

一、选择题

1.某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了9位代表，得到的数据分别为

36,36,37,37,40,43,43,44,44,若用样本估计总体，年龄在（工一s,W+s）内的人数占公司人数的百分比是

（其中"7是平均数，s为标准差，结果精确到1%）（）

A.14%B.25%C.56%D.67%

2.某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的

范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20）,[20,22.5）,[22.5,25）,[25,27.5）,[27.5,30].根据直方图，

这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）

A.56B.60C.120D.140

3.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时;从9个原始评分中去掉1个最高分、

1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）

A.中位数B.平均数C.方差D.极差

4.[2022•全国乙卷（文），4]分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h）,得如下茎叶

图：

甲乙

615.

85306.3

75327.46

64218.12256666

429.0238

10.1

则下列结论中错误的是（）

A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4

B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8

C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4

I）.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6

5.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入

变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

建设前经济收入构成比例经济以构成比例

则下面结论中不正确的是（）

A.新农村建设后，种植收入减少

B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

6.［2022•全国甲卷（文），2］某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取

10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题

的正确率如下图：

100%------------------------------------------------------•------------•

95%---------------------------------------------♦-----------------*

90%——»--------------------------------------*------------------

詈85%...............-»..................................................

事80%.........................♦.........................................--*讲座前

闺75%----------------------------------------*--------------------------•讲座后

70%.......................................................................................

65%---*................................».............................................

12345678910

居民编号

则（）

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

7.（多选）［2021•全国新高考I卷］有一组样本数据乱曲…，x”,由这组数据得到新样本数据力,如…，%,

其中％=*+c（i=l,2,ri）,c为非零常数，则（）

A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据的样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同

D.两组样本数据的样本极差相同

8.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（）

频数频数

33r

22

nnnnn..

0345678910环数0345678910环数

甲乙

A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数

B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数

C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差

D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

9.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表所示:

广告费用x（万元）23456

销售额y（万元）1925343844

根据上表可得经验回归方程为y=6.3x+a,下列说法正确的是（）

A.回归直线y=6.3x+a必经过样本点（2,19）,（6,44）

B.这组数据的样本点中心（7,，）未必在回归直线y=6.3x+a上

C.回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，销售额实际增加6.3万元

D.据此模型预报广告费用为7万元时销售额约为50.9万元

二、填空题

10.［2020•江苏卷］已知一组数据4,2a,3—a,5,6的平均数为4,则a的值是.

11.某电子商务公司对10000名网络购物者2021年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区

间［0.3,0.9］内，其频率分布直方图如图所示.

（1）直方图中的a=；

（2）在这些购物者中，消费金额在区间［0.5,0.9］内的购物者的人数为.

12.在一容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10,但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十

位数字1未被污损，即9,10,11,1・，■,那么这组数据的方差#可能的最大值是

［能力提升］

13.［2022•重庆南开中学月考］今年入夏以来，我市天气反复，降雨频繁.如图统计了上个月前15天的气温，以

及相对去年同期的气温差（今年气温一去年气温，单位：摄氏度），以下判断错误的是（）

A.今年每天气温都比去年同期的气温高

B.今年的气温的平均值比去年同期的气温的平均值低

C.去年8〜11号气温持续上升

D.今年8号气温最低

4

14.［2020•全国卷H1］在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为n，R,Q,R,且X"=l,则下面四种

i=l

情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）

A.pi=pq=0.L.=R=0.4

B.口=R=0.4,R=R=0.1

C.p\=/?i=0.2,R=R=0.3

D.R=R=0.3,R=R=0.2

15.已知一组正数%,题，矛3的方差（父+%2+£—12）,则数据xi+1,加+1,典+1的平均数为.

o

16.已知样本容量为200,在样本的频率分布直方图中，共有〃个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其余（〃

-1）个小矩形面积和的;，则该组的频数为一

专练55随机抽样与用样本估计总体

cLd-36+36+37+37+40+43+43+44+44-

1.C因为-----------------------------------=40,

$2=3（16+16+9+9+0+9+9+16+16）=号，即s=#,年龄在（x—s,了+5）即（*,空）内的人数为5,所

以所求百分比为§七0.56=56%,故选C.

2.D由频率分布直方图知，200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为1一（0.02+0.10）X2.5=0.7,

则这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200X0.7=140.

3.A记9个原始评分分别为a,b,c,d,e,f,g,A,/（按从小到大的顺序排列），易知e为7个有效评分与9

个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数，故选A.

4.C对于A选项，将甲同学周课外体育运动时长的样本从小到大排列，其样本容量为16,中间两个样本为7.3

和7.5,所以中位数为7'3：7-5=7.4,所以A不符合题意.对于B选项，(方法一)乙同学周课外体育运动时长的样本

平均数为右X(6.3+7.4+7.6+8.1+8.2+8.2+8.5+8.6+8.6+8.6+8.6+9.0+9.2+9.3+9.8+10.1)*8.5,所

16

以B不符合题意.(方法二)由乙的样本可知，小于8的样本有6.3,7.4,7.6,其他样本均大于8.又因为他甘^>8,

98+7493+76

'2'>8,.2.邓，所以乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8,所以B正确.对于C选项，甲同学周

课外体育运动时长大于8的样本有&1,8.2,8.4,8.6,9.2,9.4,共6个，则甲同学周课外运动时长大于8的概率

的估计值为冬=表0.4,所以C符合题意.对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于8的样本有13个，则乙同学

168

1Q

周课外运动时长大于8的概率的估计值为苔〉0.6,所以D不符合题意.故选C.

16

5.A设建设前经济收入为a,则建设后经济收入为2a,由题图可得下表：

种植收入第三产业收入其他收入养殖收入

建设前

0.6a0.06a0.04a0.3a

经济收入

建设后

0.74a0.56a0.la0.6a

经济收入

根据上表可知B、C、D均正确，A不正确，故选A.

6.B由统计图可知，讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率分别为65%,60%,70%,60%,65%,75%,90%,

85%,80%,95%.对于A项,将这10个数据从小到大排列为60临60%,65%,65%,70%,75%,80%,85%,90%,95%,因

此这10个数据的中位数是第5个与第6个数的平均数，为，.=72.5%>70%,A错误.对于B项，由统计图可知，

讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率分别为90%,85%,80%,90%,85%,85%,95%,100%,85%,100%,所以讲座

后这10位社区居民问卷答题的正确率的平均数为々X(90%+85%+80%+90%+85%+85%+95%+100%+85%+100%)=

89.5%>85%,B正确.对于C项，讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率的方差^[(90%-89.5%)2+(85%

一89.5%>+…+(85%「89.5盼2+(100%—89.5%)2]=赤丽,所以标准差s后=6.5%.讲座前这10位社区居民问卷答题

的正确率的平均数为《X(60%+60%+65%+65%+70%+75%+80%+85%+90%+95%)=74.5%,所以讲座前这10位社区

居民问卷答题的正确率的方差为4/[(60%—74.5%)2+(60%-74.5%)2HF(90%-74.5%)2+(95%—74.5%)2]=

器点，所以标准差s前-11.93虬所以s前〉s后，C错误.对于D项，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%—60%=

35%,讲座后问卷答题的正确率的极差为100%—80%=20%,D错误.故选B.

7.CDA：以力=£(x+c)=£(x)+c且c#0,故平均数不相同，错误；

B：若第一组中位数为%,则第二组的中位数为％=为+。，显然不相同，错误；

C：。(了)=〃(x)+〃(c)=〃(x),故方差相同，正确.

D：由极差的定义知：若第一组的极差为加*一篇2则第二组的极差为为X—%n=一(8,“+。)=Xa*—筛通，

故极差相同，正确.

故选CD.

8.C甲的平均数是4+5+；+7+8=6,中位数是6,极差是4,方差是一(一？)'+(一；+。+:七£=2；乙

的平均数是5+5+：+6+9=6,中位数是5,极差是4,方差是一1)+(一］(7)+0+3，=/,比较可得

选项C正确.

9.D由表格中的数据可得:=2+3+1+"2+=4,

5

-19+25+34+38+44

7=5=32'

将点(x,y)的坐标代入经验回归方程得6.3X4+a=32,

解得a=6.8,

所以回归方程为y=6.3x+6.8.

对于A选项，当x=2时，7=6.3X2+6.8=19.4,A选项错误；

对于B选项，这组数据的样本点中心(:，亍)必在回归直线y=6.3x+a上，B选项错误：

对于C选项，回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，销售额约增加6.3万元，C选项错误；

对于D选项，当x=7时，7=6,3X7+6.8=50.9,

所以据此模型预报广告费用为7万元时销售额约为50.9万元，D选项正确.

故选D.

10.2

.„.„4+2a+(3―a)+5+6.„„

解析：由平均数公式可得'---------:-----------=4,解得a=2.

0

11.(1)3(2)6000

解析：(1)0.lX(0.2+0・8+l・5+2・0+2.5+a)=l,解得a=3.

(2)消费金额在区间［0.5,0.9］内的购物者的频率为0.1X(3.0+2.0+0.8+0.2)=0.6,所以所求购物者的人数为

0.6X10000=6000.

12.32.8

解析：设这组数据的最后两个数据为10+筋y(x£N,x<9)

V9+10+ll+10+%+y=10X5=50,

x+y=10,

y=iO—x.

s2=^[1+0+1+/+（y—10）1=”（2+2力.

bb

•.,启9,

.•.当x=9时，9取得最大值32.8.

13.A由图可知，1号温差为负值，所以今年1号气温低于去年同期的气温，故选项A不正确；除6,7号，今年

气温略高于去年同期的气温外，其他日子，今年气温都低于去年同期的气温，所以今年的气温的平均值比去年同期的

气温的平均值低，选项B正确；今年8〜11号气温上升，但是气温差逐渐下降，说明去年8〜11号气温持续上升，选

项C正确；由图可知，今年8号气温