比例线段及黄金分割(基础) 知识讲解

初三数学优质课时训练、专题汇编（附详解）初三数学优质课时训练、专题汇编（附详解）比例线段及黄金分割（基础）知识讲解【学习目标】1、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段2、会运用比例线段解决简单的实际问题；3、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点.【要点梳理】要点一、比例线段【高清课堂：394495图形的相似预备知识】1．成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．1）基本性质2）合比性质如果;a=£，那么1）基本性质2）合比性质如果;a=£，那么ad=bc.如果a=二那么业=c+dbdbd如果a=二那么空=乞.bdbd要点诠释：1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比；2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数．要点二、黄金分割定义：点C把线段AB分割成AC和CB两段，如果竺二竺，那ABAC么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比要点诠释：AC=4ABQ0.618AB(耳叫做黄金分割值).22作一条线段的黄金分割点：如图，已知线段AB,按照如下方法作图：经过点B作BD丄AB，使BD=1AB.2连接AD,在DA上截取DE=DB.在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.要点诠释：一条线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、比例线段01.(优质试题兰州模拟)若a：b=2：3,则下列各式中正确的式子是()2a=3bB.3a=2bC.b/D.-」a3b3【思路点拨】根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案.【答案】B.【解析】A、2a=3bna：b=3：2，故选项错误；B、3a=2bna：b=2：3，故选项正确；

C、巴b：a=2：3,故选项错误；D、D、二丄na：b=3：2,故选项错误.b3故选B.总结升华】考查了比例的性质．在比例里，两个外项的乘积等于总结升华】考查了比例的性质．在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积．举一反三：变式】(优质试题崇明县一模)已知卫二卫,b2那么下列等式中，不一定正确的是()．A．2a=5bC.变式】(优质试题崇明县一模)已知卫二卫,b2那么下列等式中，不一定正确的是()．A．2a=5bC.a+b=7a+b7D.=—b2.设x=.设x=2思路点拨】由已知条件利用解方程的思想不能求出x，y，z的值，【答案】C・=£，求2x2-3y"z2的值.34x2—2xy—z2因此用设参数法代入化简・【答案与解析】设X—2—£=k234贝Ux=2k,y=3k,z=4k原式=2x(2k)2—3x3kx4k+(4k)2=—12k2=1(2k)2—2x2kx3k—(4k)2—24k22【总结升华】解此类题学生容易误认为设k后，未知数越多更不易解出,实际上分子、分母能产生公因式约去・类型二、黄金分割如图所示，矩形ABCD是黄金矩形(即竺=<5—1心0.618),BC2如果在其内作正方形CDEF,得到一个小矩形ABFE,试问矩形ABFE是否也是黄金矩形？DEA【思路点拨】(1)矩形的宽与长之比值为旦，则这种矩形叫做黄2金矩形．(2)要说明ABFE是不是黄金矩形只要证明AE=土即可.AB2【答案与解析】矩形ABFE是黄金矩形.理由如下：因为AE=AD-ED二AD_EDABABABAB=2_]=2(+1)_]5+1_]区_1v5_1-(弱-1)(.5+1)〒〒所以矩形ABFE也是黄金矩形．【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形,要根据实际条件灵活选择判断方法.举一反三：【变式】以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P,连接PD,在BA的延长线上取点F,使PF=PD,以AF为边作正方形AMEF,点M在AD上，如图所示，求AM,DM的长，试说明AM2=AD•DM根据(2)的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？【答案】(1)・・・正方形ABCD的边长是2,P是AB中点，・・・AD=AB=2,AP=1,ZBAD=90°,••PD=Jap2+ad2*5。•・・PF=PD,・・・AFP-1，在正方形ABCD中，AM=AF=j5_i,MD=AD—AM=3—,5由(1)得ADXDM=2(3—「弓)=6—2、；弓,AM2=(-1)2=6-2^5.•AM2=AD•DM.如图