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初三数学优质课时训练、专题汇编(附详解)初三数学优质课时训练、专题汇编(附详解)比例线段及黄金分割(基础)知识讲解【学习目标】1、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段2、会运用比例线段解决简单的实际问题;3、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点.【要点梳理】要点一、比例线段【高清课堂:394495图形的相似预备知识】1.成比例线段:在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.1)基本性质2)合比性质如果;a=£,那么1)基本性质2)合比性质如果;a=£,那么ad=bc.如果a=二那么业=c+dbdbd如果a=二那么空=乞.bdbd要点诠释:1)两条线段的长度必须用同一长度单位表示,若单位长度不同,先化成同一单位,再求它们的比;2)两条线段的比,没有长度单位,它与所采用的长度单位无关;(3)两条线段的长度都是正数,所以两条线段的比值总是正数.要点二、黄金分割定义:点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果竺二竺,那ABAC么线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比要点诠释:AC=4ABQ0.618AB(耳叫做黄金分割值).22作一条线段的黄金分割点:如图,已知线段AB,按照如下方法作图:经过点B作BD丄AB,使BD=1AB.2连接AD,在DA上截取DE=DB.在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.要点诠释:一条线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、比例线段01.(优质试题兰州模拟)若a:b=2:3,则下列各式中正确的式子是()2a=3bB.3a=2bC.b/D.-」a3b3【思路点拨】根据比例的性质,对选项一一分析,选择正确答案.【答案】B.【解析】A、2a=3bna:b=3:2,故选项错误;B、3a=2bna:b=2:3,故选项正确;
C、巴b:a=2:3,故选项错误;D、D、二丄na:b=3:2,故选项错误.b3故选B.总结升华】考查了比例的性质.在比例里,两个外项的乘积等于总结升华】考查了比例的性质.在比例里,两个外项的乘积等于两个内项的乘积.举一反三:变式】(优质试题崇明县一模)已知卫二卫,b2那么下列等式中,不一定正确的是().A.2a=5bC.变式】(优质试题崇明县一模)已知卫二卫,b2那么下列等式中,不一定正确的是().A.2a=5bC.a+b=7a+b7D.=—b2.设x=.设x=2思路点拨】由已知条件利用解方程的思想不能求出x,y,z的值,【答案】C・=£,求2x2-3y"z2的值.34x2—2xy—z2因此用设参数法代入化简・【答案与解析】设X—2—£=k234贝Ux=2k,y=3k,z=4k原式=2x(2k)2—3x3kx4k+(4k)2=—12k2=1(2k)2—2x2kx3k—(4k)2—24k22【总结升华】解此类题学生容易误认为设k后,未知数越多更不易解出,实际上分子、分母能产生公因式约去・类型二、黄金分割如图所示,矩形ABCD是黄金矩形(即竺=<5—1心0.618),BC2如果在其内作正方形CDEF,得到一个小矩形ABFE,试问矩形ABFE是否也是黄金矩形?DEA【思路点拨】(1)矩形的宽与长之比值为旦,则这种矩形叫做黄2金矩形.(2)要说明ABFE是不是黄金矩形只要证明AE=土即可.AB2【答案与解析】矩形ABFE是黄金矩形.理由如下:因为AE=AD-ED二AD_EDABABABAB=2_]=2(+1)_]5+1_]区_1v5_1-(弱-1)(.5+1)〒〒所以矩形ABFE也是黄金矩形.【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形,要根据实际条件灵活选择判断方法.举一反三:【变式】以长为2的线段AB为边作正方形ABCD,取AB的中点P,连接PD,在BA的延长线上取点F,使PF=PD,以AF为边作正方形AMEF,点M在AD上,如图所示,求AM,DM的长,试说明AM2=AD•DM根据(2)的结论,你能找出图中的黄金分割点吗?【答案】(1)・・・正方形ABCD的边长是2,P是AB中点,・・・AD=AB=2,AP=1,ZBAD=90°,••PD=Jap2+ad2*5。•・・PF=PD,・・・AFP-1,在正方形ABCD中,AM=AF=j5_i,MD=AD—AM=3—,5由(1)得ADXDM=2(3—「弓)=6—2、;弓,AM2=(-1)2=6-2^5.•AM2=AD•DM.如图
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