数学物理方法试卷(全答案)

系B1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一？（6分）解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。2、奇点分为几类？如何判别？（6分）在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数（）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo称为函数（）的可去奇点，极点及本性奇点。判别方法：洛朗级数展开法，先找出函数f(z)的奇点；，把函数在的环域作洛朗展开1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点；2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点；3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。3、何谓定解问题的适定性？（6分）1，定解问题有解；2，其解是唯一的；3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题的适定性。4、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分）在某区域上处处可导的复变函数称为该区域上的解析函数.1）在区域内处处可导且有任意阶导数.,yCvx,yCux2）这两曲线族在区域上正交。123）uxy,和,都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数)vxy4）在边界上达最大值。4、数学物理泛定方程一般分为哪几类？波动方程属于其中的哪种类型？（6分）数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。5、写出挑选性的表达式（6分）()xfxxxdxfx00fxxdxf0f(r)(rR)dvf(R)001i36、写出复数的三角形式和指数形式（8分）2123cosisini2三角形式：sincos2221i3cosisin2331指数形式：由三角形式得：3ize3z7、求函数在奇点的留数（8分）2(z1)(z2)解：奇点：一阶奇点z=1；二阶奇点：z=2zResflim(z1)1(1)zz(1)(2)2z11dz1Resflim(z2)lim12\(2)(1)(2)(1)dzzz2z2z2z2z8、求回路积分（8分）z3z1解：有三阶奇点z=0（在积分路径内）f(z)1dcosz122Resflimzlimcosz-3\(0)2!zdz23z0z01原积分=2iResf(0)2i()i2xx24119、计算实变函数定积分（8分）zz2411z21解：f(z)2222zi)zi)zi)zi)222222它具有4个单极点：只有z=i)和z=i)在上半平面，其留数分别为：22z211Resflimz22i22220\((1i))zi)zi)zi)2222z211Resflimz22i2222z0\((1i))i)zi)zi)222211I2i()222i22i1()zik的收敛半径（8分）10、求幂级数kk11k1akRlimlimlim1k1akkkkk1k1所以收敛圆为zi11、试用分离变数法求解定解问题（14分）ua2u00xl,t0u0uxx0xxlx1/2,u0ut0tt0令，并代入方程得u(x,t)X(x)T(t)a2X''T0XT''X'T''X''(0)T(t)0移项a2TXX'(l)T(t)00X''XX'(0)0aT0和T''2X'(l)0在＜0时，方程的解为：在0时，方程的解为：X(x)CeCexx12X(x)CxC12在＞0时，方程的解为：X(x)CcosxCsinx12由边界条件''X(0)，X(l)0得：＜0时，()0Xx0时，＞0时，(CXxx()CcosxCsinxX'12XX''(0)C0，C022(l)CcoslCsinl012C0否则方程无解），sin0l122nnlnX(x)Ccosx1l2ln22把0和代人T的方程TaT0得：''2l2(t)ABtT000(n2,3)natnatT(t)AcosBsinnnlnlnatnatnU(x,t)ABt(AcosBsin)cosx00nnllln1nl1AAcosxx20n由初始条件得n1nanBBcosx00nlln1把右边的函数展成傅里叶余弦级数,比较两边的系数得111llA(x)B0020ll0021n2nllA(x)B02lnalnln004ll12l(n2k1)(n2k)得：1)22AAnAn2202nnn0l14lnatnlU(x,t)()coscosx2ln22n126分）u0Ay(by),u0ux0y0xaxuBsin,u0ayb令u(x,t)v(x,t)w(x,t)ww0vv0wAy(by)，w00，v0vvx0xax0xax0，w0wvBsin0y0yby0yba则，v，w都可以分别用分离变量法求解了。23yeyy3分)t满足初始条件(0)=1的解。(10解：对方程程两边取拉氏变换，并注意到初始条件，得1