级数的收敛速度与正项级数判敛法的关系

n度与正项级数判敛法的关系级数敛散的速度问题，无论对于理论研究者或是实际工作者都具有意义。在做理论研究判断正项级数敛散性时，利用比较判别法必须事先选择好敛散性，如n1n2数收敛得不够慢，因此想要得到更好的判别法就必须寻找收敛得更慢的级数作为比较的“标尺”。通过探究达朗贝尔判别法、拉贝判别法产生缺陷的原因以及几项正项级数收敛速度的比较，得出级数的收敛速度与正项级数判敛an与r果limn0，就称bn比an收敛较慢。nrB如果limn0，就称nAbn比an发散较慢。an与bn都收敛，如果limnnb，就称义4设正项级数an与，就称bn比ban1(n1an与bn都收敛(发散)，并有自然数N,使nbn1)，则说bn比an收敛(发散)较慢。bnn123vnv1v2v3 n充分大时，总有不等式nvn则由级数(2)收敛可推出级数(1)收敛，而由级数(1)发散可推出(2)un1vN有 则由级数(2)收敛可知级数(1)收敛，而由级数(1)发散可知级数(2)若n为正项级数，且limnx 柯西根值判别法) n设n为正项级数，且limnnln 设nnnn对正项级数n，如果有nn1当1或者1而u1时级数发散。2u2n 如果f(x)(x0)是非负的不增函数，则级数f(n)与积分f(x)dx1n1n正项级数的项加以比较后得到原级数n1nnn的收敛(发散)级数(几何级数、P-级数等)加以比较。定理3、因其中达朗贝尔判别法、柯西判别法、拉贝判别法在其形式及证明上有诸面从这三种判别法出发，探究产生缺陷的根本原因。对于正项级数a首先看达朗贝尔判别法的极限形式，当n1的极限n1n1nnlimn111nlimn1n1rn)。n1n的对应项，其中na而qn；aqn收敛得快。那么，反过来，如果给定的正项级nn1n1n判别法及其极限形式对1n1nn1nn1limnlimn1n22(1)nq1)收敛得快。此时11n2其次，若r1，给定的级数0，于是判断n1n1nnnnn。可是如果给定的正项级数n1nn1nn综上所述，凡是比任何收敛的等比级数收敛的速度都慢的收敛的正项级数，以及一般项趋于0的发散的正项级数，都不能用达朗贝尔判别法及其极可见，用达朗贝尔判别法、柯西判别法来判定级数收敛时，都受到几何1n1npalimnlimnnnppn1n1nlimaqnnp0n1nnn即:limn1n1可见任何收敛的 p一般项比任何收敛的n1n一般项0时要慢得多。此外，对于0p1，广义调和级数虽然发1p、如果设nvn是满足定理2中(3)式的两个收敛级数，由前面定度的比较另外我们又知道，正项级数敛散性判别法中著名的比值判别法、拉贝判别法、高斯判别法实际正是分别以下列级数1n1n1nn2n(lnn)作为比较标准由比较原则导出的，现在利用上述后两种定义证明下面结论：当(1)中三类级数都收敛时，在收敛速度上是后一个总比前一个慢。证明：(利用定义3)n1n，，n，，nnbn1nlimn1n为求上式右边极限，可先求相应连续变量x时的极限，而利用洛必达法则不难求得该极限值为0，从而lim0，由定义3，命题得证。nbnnn2n(lnn)q)1pncn1qn(lnn)qpqN，于是limbnlimn(lnpn)qlimncnnnnxqb当qN时，有limn0nclimxlimxlnxqxpxp2q(lnxq)1limp1xxp1q!qlimq10p1px0limn0limnncnN刚才证明的结论，此时有limlimlimnnp1npn(lnn)qbncn1n(n1)[ln(n1)]qlnln(p1pln(n1)lnn(2)qg(x)lnx(x2)n,n1(n2)上应用柯西中值定理得1)lnlnf(1))1)nlng()1111由np1n1(p)nlnn1qpq时就有(2)式成立，从而由定nn(lnn)pn1npdAlembertaussCauchy判别法)有效；而以级数n1n(lnn)p别法、拟对数判别法)又较以P级数为标准建立的判别法有效。1沿着这种思路下，们又有级数较级数n1nlnn(lnlnn)pn1n1n(lnn)p敛一般地，级数串(1n1nn1nn1nrn1nr1nna先证n是收敛的。由积分中值定理，nrn1rn)rnxarn1rnnk1rk)2(r0rn)2r(n)nrk)nrk)收敛，由比较原则，有：rk1rknn1krnn1nnn1n1n1数收敛快的级数，这些判别法才有效，如果级数的通项收敛速度较慢，这些判别法就无能为力，但可以寻求通项收敛速度更慢的收敛级数作比较，获得判别2n22，，选择收敛(发散)较慢的级数作比较标准，相应的判别法所能判定的级数就比较广泛(即该判别法应用范围较广)。这时，我们也该说该判别法比采用收敛(发散)较快的级数为比较标准的判别法更强或更精确。在上面判别法中，高斯判别法强于拉贝判别法，而后者又强于比值判别法，并且较弱例如，拉贝判别法的极限式可写为rlimn(1nn1)nnn1nnrqr132n1242nsnn所以用比式判别法无法判断级数的敛散性，现在利用拉贝判别法来讨论n1nn1n121(n)可知此级数发散n1nn1212nn21(n)可知此级数发散判别法虽然判别的范围r1ln()设n是正项级数，如果limnnlnnlnnn12p12nnn12nlimnn1112nnnnexf(ex)limxf(x)nn1n1x(x)f((x))f(x)n1n11例：判断级数的敛散性nx1xfgxlimxxxf(x)x1x211故级数发散。n1p，，1plimxf(x)limexxpx1x(lnxxplimx(limx(lxn)x0,p1p111当0p1时，发散n1n(lnn)p散“比较标准”的方法，来建立对所有的正项级数敛散性判别都有效的判别法