公务员考试基础积累-计算基础知识二

时钟问题

钟面时间的计尊

时针、分针成直线问题

时钟问题

时针、分针成直线问题

时针、分针垂直的问题

1、钟面时1间的计尊

时间单位换算：

1日=24小时1小时=60分

1分=60秒1小时=3600秒

【例】现在是上午8点整，请问过1500分钟后是几点？（）

A.上午8点B.下午8点C.上午9点D.下午9点

【解题关键点】答案:C

1500分钟相当于15004-60=25小时，故应为第二天上午9点。

【例】2005年10月12日上午9时，我国自行研制的“神舟六号”载人飞船顺利升空，2005

年10月17日凌晨4时33分成功着陆。“神舟六号”飞行的总时间是几小时几分钟？

【解题关键点】4天X24小时+[24小时-（9-4小时33分）]=115小时33分.

12日9时到17日9时才足够5天，所以4天*24小时，加上第5天飞行的时间，最后等于

115小时33分

2、时针、分针成解即0题

下针转速为30°/小时，分针转速为360°/小时，设丽■开始经过0、时后时轩和分针成

平角，360x-30x=k•180（k=l,3,5…,43,…），（注意：如果k是偶数，那么就包含了重合的情

况；所以k只能是奇数）.其中k=44时,x=24小时，因此24小时内时分针22次成平角.具体时

间，可以分别令k=1,2,...44,求出对应的x.

【例】从5时整开始，经过多长时间后，时针与分针第一次成了直线？

【解题关键点15时整时，分针指向正上方，时针指向右下方，此时两者之间间隔为25个

小格(表面上每个数字之间为5个小格)，如果要成直线，则分针要超过时针30个小格,

所以在此时间段内，分针一共比时针多走了55个小格。由每分钟分针比时针都走百个小格

可知，此段时间为55+§=60分钟，也就是经过60分钟时针与分针第一次成了直线。

【例】时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过多少分钟可以成•条直线？

【解题关键点】时针和分针重合，也就是两者间隔为。个小格，如果要成一条直线，也就是

两者间隔变为30个小格，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为30/(11/12)=360/11

分钟______________________________________________________________________________

3、时针、分针重合词题

时针转速为30°/小时，分针转速为360°/小时，设。时开始经过x小时后时针和分针成周

角，360x-30x=k■360(k=l,2,…,22,…)，其中k=22时,x=24小时,即24小时内分针比时针多转

22圈,分针比时针每多转一圈便与时针重合一次,因此24小时内时分针重合22次.具体时间，

可以分别令k=1,2,...22,求出对应的x.

解决时钟问题可用上述一般的推理方法，当遇到较复杂的此类的问题时，可参考以下公

式.

据此时钟上时针与分针之间的关系问题，可转化为时针与分针的追赶问题，这样问题就

变成较为简单的一元一次方程问题了.

公式：n=yr(5t+a).

t为经过几小时，n为经过几分钟，a为此时时针与分针相差的格子数.当时针在分针前

面(形成的角度小于180°)时，取负号；当时针在分针的后面(形成的角度大于180°小于

360°)时,取正号.

公式推导过程：大家都知道，钟表上均匀地分布着60个小格，分针每小时转一圈，即分

针一分钟走一格；而时针每小时走5格，因此它每分钟走热格.

由于时针与分针在。时重合，那么经过t小时n分钟后，时针走过的格子数为5t$,分

针则走过了t圈后又转过了n格，故此时时针与分针相差的格子数a分为下述两种情况：

当时针在分针前面（形成的角度小于180°）时，有5t+三n-n=a,则n="（5t-a）.

当时针在分针的后面（形成的角度大于180°小于360°）时，有n-（5t+?乎）=a,则

n=yr（5t+a）.

将上述两式合并，就可以得到求解时钟问题的简明公式：n=g（5t±a）.当时针在

分针前面（形成的角度小于180°）时，取负号；当时针在分针的后面（形成的角度大于180°

小于360°）时，取正号.

【例】九点整时，钟的分针追上时针最少需要多少分钟？

【解题关键点】解法①：9时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45

个小格。如果要分针追上时针，也就是两者之间间隔变为。个小格，那么分针要比时针多走

45个小格，此段时间为454■台臂分钟。

解法②：也可以套用公式n=^（St±a）言x5x9=詈分钟。

【例】在3-4点之间，时针与分针几点几分重合？

【解题关键点】本题以“起跑线”的选择不同，可以有两种基本解法。

解法①选12点处为起跑线，两针在3-4点之间重合，是时针与分针第三次重合。

3+（1—7T）=3*登=3专点=3点1哈分

解法②选3点整看成时针与分针的起跑线，此时，分针落后时针;（圈）或15（小格）

（每格代表1分钟），所以分针要赶上时针，必须追上15（小格）。

154-（1-7：）=15义曰=16=（分）

注意这里单位的变化与统一。这里追及路程用钟面的小格表示，每一小格表示1分钟。

分针的速度是每分钟•小格。时钟的速度是每分钟卷小格，与前面提及的速度相同，只是

单位不同而已。当然也可以按如下公式列示：

:土（1—7：）三士（点）=16今（分）

所以时针与分针在3点16片分重合。

S3

解法③：选3点整看成时针与分针的起跑线，套用公式：n=暮（St±d）ot=3,n为

经过几分钟,a=0o则n丰K5K3=165（分）。

所以时针与分针在3点16住分重合。

4、时针、分针垂直的问题

此类问题还是可以运用公式：n=g（5t±15）o

t为经过几小时，n为经过几分钟.当时针在分针前面（形成的角度为90°）时，取负号；

当时针在分针的后面（形成的角度为270°）时，取正号.

作答此类问题时要考虑到一个小时内时针与分针垂直两次等情况.

推导过程：运用公式：n=等（5t士a）.t为经过几小时，n为经过几分钟，a为此时时

针与分针相差的格子数.当时针在分针前面（形成的角度小于180°）时，取负号；当时针

在分针的后面（形成的角度大于180°小于360°）时，取正号.

a为此时时针与分针相差的格子数，当时针与分针垂直时，a=15.

【例】在8时多少分，时针与分针垂直？

【解题关键点】解法①：8时整时，分针指向正上方，时针指向左下方，两者之间间隔为40

个小格。如果要两者垂直，有两种情况。

第一次垂直时，时针与分针间隔为15个小格（分针落后时针），也就是分针比时针多

走了25个小格，此段时间为25+净鬻分钟。

第二次垂直时，时针与分针间隔仍为15个小格（但分针超过时针），也就是分针比时

针多走了55个小格，此段时间为55+,=60分钟，时间变为9时，超过了题意的8时多少

分要求。

所以在8时当分时，分针与时针垂直。

解法②：运用公式：n=,（5t±15）。

第一次垂直时，时针在分针前面（形成的角度为90°）,

n=^（5t-15）（5x8-15）=詈分钟。

第二次垂直时，时针在分针的后面（形成的角度为270°）,

n=（5t+15）言x（5x8+15）=60分钥I时间变为9时，超过了题意的8时多少分

要求。

所以在8时詈分时，分针与时针垂直。

【例】在7点与8点之间，时针与分针在什么时刻相互垂直？

【解题关键点】解法①:7点时分针指向12,时针指向7,分针在时针后面5x7=35（格）。

时针与分针垂直，即时针与分针相差15格，在7点与8点之间，有两种情况：

第一次垂直时，分针在时针后面15格。从7点开始，分针要比时针多走35-15=20（格）,

需20+（七）=2e分钟。此时是7点2止分。

第二次垂直时，分针在时针前面15格。从7点开始，分针要比时针多走35+15=50（格）,

需50+（1-5）=54?（分）。此时是7点543分。

WW11

所以所求时刻是7点21专分和7点54分。

解法②：运用公式：n=W（5t±15）。

第一次垂直时，时针在分针前面（形成的角度为90。）,

n=^-15）至x（5x7-15）=21土分钟。此时是7点2层分。

第二次垂直时，时针在分针的后面（形成的角度为270°）,

n=||（St+15）噌x（5x7+15）=54告分钟。此时是7点54分。

所以所求时刻是7点2止分和7点5哈分。

年龄问题——基础学习

一、解答题

1、年龄问题基本知识

【答案】年龄问题是日常生活中一种十分常见的问题，也是公务员考试数学运算部分中

的常见题型。它的主要特点是：时间发生变化，年龄在增长，但是年龄差始终不变。年龄问

题往往是“和差”、“差倍”等问题的综合应用。

几年后的年龄=大小年龄差+倍数差一小年龄；

几年前的年龄=小年龄一大小年龄差+倍数差；

下面，此类问题做一个总结，以备广大考生在复习时作为参考。

解年龄问题，要掌握以下规律：

第一，无论年份怎么变，两个人的年龄差总是不变的；

第二，随年份的变化，两个人的年龄的变化量是相同的；

第三，两个人的年龄倍数关系随着时间推移而变小。

解年龄问题的基本方法：

第一，列方程求解；

第二，代入法。

【结束】

2、年龄问题例1：全家4口人，父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁。四年前他们全家

的年龄和为58岁，而现在是73岁。问：现在父亲、母亲的年龄是多少？()

A.32,29B.34,31C.35,32D.36,33

【答案】B

【解题关键点】73-58=15W4X4,一般四个人四年应该增长了4X4=16岁，但实际上只

增长了15岁，这是因为在4年前，弟弟还没出生。父亲、母亲、姐姐三个人4年增长了12

岁，15-12=3,则现在在弟弟3岁。那么，姐姐3+2=5岁，父母今年的年龄和是73-3-5=65

岁,则父亲是(65+3)+2=34岁，母亲是65-34=31岁。

【结束】

3、年龄问题例2：哥哥5年后的年龄和弟弟3年前的年龄和是29岁，弟弟现在的年龄是两

人年龄差的4倍。哥哥今年几岁？()

A.10B.12C.15D.18

【答案】C

【解析】方法1,设今年哥哥x岁，弟弟y岁，则(x+5)+(y-3)=29,

y=4(x—y),解得x=15.

方法2,由第二个条件弟弟现在的年龄是两人年龄差的4倍，y=4(x-y),即可知4x

=5y,即哥哥的年龄应是5的倍数，在A、C中选择，代入A项，哥哥5年后15岁，弟弟3

年前14岁，可知A不符合题意。直接可以推出C项正确。

【结束】

4、年龄问题例3：爸爸在过50岁生日时，弟弟说：“等我长到哥哥现在的年龄时，那时我

和哥哥的年龄之和正好等于那时爸爸的年龄。”问：哥哥现在多少岁？()

A.24B.25C.34D.36

【答案】B

【解析】本题注意分析题干的关系。当弟弟长到哥哥现在的年龄时，如果哥哥与爸爸的

年龄都同时减少到现在的年龄，那么弟弟与哥哥年龄和仍然等于爸爸的年龄，即爸爸现在的

年龄是哥哥的2倍，所以哥哥现在的年龄是50+2=25(岁)。

或直接列方程求解：设弟弟今年为a岁，经过k年和哥哥现在的年龄一样大，那时的哥哥为

(a+k+k)岁，爸爸为50+k岁，则可得关系式：

(a+k)+(a+k+k)=50+k,即2(a+k)=50,a+k=25岁。

【结束】

5、年龄问题例4：今年父亲的年龄是儿子年龄的10倍，6年后父亲的年龄是儿子年龄的4

倍，则今年父亲、儿子的年内分别是()

A.60,6B.50,5C.40,4D.30,3

【答案】D

【解析】法一:设今年父亲的年龄为X,儿子的年龄为Y,则X=10Y,X+6=4(Y+6)从而

可以计算出答案X=30,Y=3.

法二：此种类型题在考试的时候完全可以使用带入法，将四个选项都加上6,看看

是否成4倍的关系很快就能够得出答案。此种方法很快！

【结束】

方阵问题——基础学习

实心方阵

方阵问题

一.解答题

1、实心方阵基础知识

【答案】总数=每边数X每边数

每边数=每层数+4+1每边数=（每横排与每竖排之和-1）4-2

每层数=（每边数-1）X4方阵的基本特点是：

1:不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同。每向里一层，每边上的人数就少2。

2:（或物）数和四周人（或物）数的关系：

四周人（或物）数=[每边人（或物）数-1]X4;

每边人（或物）数=四周人（或物）数+4+1。

3:实方阵总人（或物）数=每边人（或物）数X每边人（或物）数。

【结束】

2、实心方阵例1：30人一排的方阵，求最外层有多少人？

【答案】116人。

【解题关键点】利用公式四周人（或物）数=[每边人（或物）数-1]X4,（30-1）X4=116

（人）

【结束】

3、实心方阵例2：20人一排的方阵共有多少人？

【答案】400（人）。

【解题关键点】利用公式：实方阵总人（或物）数=每边人（或物）数X每边人（或物）数,

20X20=400（人）。

【结束】

4、空心方阵基础知识

【答案】空心方阵外边每变人数=方阵总人数+4+层数+层数，方阵每边上的人或物的数量

都相同，每向里一层，每边上的人数就少2人；

所以四周人数=（每边人数）X4,

也即每边人数=四周人数+（4+1）,

而方阵总数是最外层每边人数的平方。

总数=大实心方阵数-小实心方阵数；

总数=（最外层每边数一层数）X层数X4;

总数=（最外层数+最内层数）X层数+2;

最外层每边数=总数+4+层数+层数；

空心方阵外边人数=总人数+4+层数+层数；

总人数+4=每一层一边的人数总和-层数*1,而且每一边人数都是成等差数列的.

总人数+4+层数=中位数-1;

中位数+层数-1=最外边的人数；

【结束】

5、空心方阵例1：小华用围棋摆了一个六层的空心方阵，共用264颗棋子，问最里层有多少

个棋子？（）

A36B24C30D22

【答案】B

【解题关键点】

法一：对于空心方阵，最外层每边数=总数+4+层数+层数

最外层每边数=（264+4+6）+6=17人：

共六层，最外一层与最里一层相差5层。

每层每边数差两个，所以最里层每边数=17-5X2=7个

那么最里层个数是4X7-4=24个。

法二：方阵每层相差8个。那么从里向外数，第二层比第一层多8个，第三比第一层多

16个，第四层比第一层多24个，第五层比第一层多32个，第六层比第一层多40个；

那么最里一层就是（264-8-16-24-32-40）+6=24个

【结束】

6、空心方阵例2：一个两层空心方阵最外层有16人，一共多少人？（）

A.16B.24C.10D.22

【答案】B

【解题关键点】最外层16人-四个角4人=12人

12+4=3,即每个边3人

内层每个边应该比外层少2人以占角拐弯，故每个边仅1人，加上4个角，内层共8人

综上，内外两层共24人

总而言之，就是外层每排5人，内层每排3人，最中间空出一个人位置的两层空心方阵。

【结束】

7、方阵综合例1：

方阵外一层总人数比内一层的总人数多8

每边人数与该层人数关系是：最外层总人数=（边人数一1）X4

方阵总人数=最外层每边人数的平方

空心方阵的总人（或物）数=（最外层每边人（或物）数一空心方阵的层数）X空心方阵的

层数X4

去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数X27

【例1】某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是96人，问这个学校共有学生？

【答案】625

【解题关键点】解答：最外层每边的人数是96+4+1=25,刚共有学生25X25=625

【结束】

8、方阵综合例2：五年级学生分成两队参加学校广播操比赛，他们排成甲乙两个方阵，其

中甲方阵每边的人数等于8,如果两队合并，可以另排成一个空心的丙方阵，丙方阵每边的

人数比乙方阵每边的人数多4人，甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心。五年级参加广播操

比赛的一共有多少人？（）

A160B204C100D260

【答案】D

【解题关键点】设乙最外边每人数为Y,则丙为Y+4.

8X8+YXY+8X8=（Y+4）（Y+4）,求出Y=14,则共有人数：14X14+8X8=260。

【结束】

9、方阵综合例3：明明用围棋子摆成一个三层空心方阵，如果最外层每边有围棋子15个，

明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子？摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子？

【答案】56个，144个。

【解题关键点】最外层有（15-1）X4=56个。则里二层为56-8X2=40,应用公式，用棋

子（15—3）X3X4=144。

【结束】

10、方阵综合例4：学校运动会上，晨光小学组成一个大型方阵队，方阵队最外层每边25

人，共8层；中间部分是15名同学组成的运动会会徽，这个方阵共有多少名同学？

【答案】

【解题关键点】空心方阵问题总数的公式是：总数=（最外层每边数-层数）*层数*4

【结束】

11、方阵综合例5：108人排成空心方阵，如果最外层每边12人，那么共有几层？

【答案】3（层）。

【解题关键点】可以把相邻两层每边人数想成是一个等差数列，公差是2（方阵问题中

有这样一个知识点，就是相邻两边每边人数相差2）。

通过“12X12-108=36”计算我们知道了此方阵是中间去掉了6X6的空心方阵，那么从每

边12人排到每边6人，通过等差数列求项数《公式是：项数=（末项-首项）+（公差+1）》

的计算我们能求出（12-6）4-2+1=4（层）,应该是有4层，

还因为我们已经知道要去掉的是每边6人那一层，所以刚才的算式就不用加1了，结果就是

“（12-6）+2=3（层）”。

【结束】

11、方阵综合例6：国庆阅兵大典，参演学生组成一个方阵，已知方阵由外到内第二层有120

人，则该方阵共有学生多少人？（）

A.625B.841C.1024D.1089

【答案】D

【解题关键点】方阵由外到内第二层有120人，那么最外层有120+8=128人，那么每边

有（128+4）+4=33人,则整个方阵有33X33=1089人。

【结束】

12、方阵综合例7：某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是96人，问这个学校共

有学生（）。

A.600人B.615人C.625人D.640人

【答案】C

【解题关键点】根据方阵问题的基本公式，可知学校共有学生=方阵总人数=(96+4+1)

2=625。

【结束】

13、方阵综合例8：某校参加军训队列表演比赛，组织一个方阵队伍。如果每班60人，这

个方阵至少要有4个班的同学参加，如果每班70人，这个方阵至少要有3个班的同学参加。

那么组成这个方阵的人数应该为儿人？()

A.169B.196C.225D.256

【答案】B

【解题关键点】依题意知道方阵数大于180小于210,考虑到方阵人数必须是一个平方

数因此只能是196人成一个14X14的方阵。

【结束】

植树问题基础学习

最简单、最基本的植树问题

植树间题不封闭路线的植树问题

封闭路线的植树问题

一、解答题

1、不封闭路线的植树问题:

如果题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1。即:棵数=段数+1=全长

+株距+1.

例1：每300米设一•根电线杆，则3000米，要设儿根电线杆？

【答案】11（根）

【解题关键点】利用公式，30004-300+1=11（根）

【结束】

2、不封闭路线的植树问题:

如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数与段数相等。即：棵数=段数=全长+株距（属

于封闭式植树问题〉。

例2：一农场的湖边种树，湖长100米，要求每4米中一棵树，一共要种多少棵树？

【答案】25（棵）

【解题关键点】利用公式，100+4=25（棵）

【结束】

3、不封闭路线的植树问题:

如果植树路线的两端都不植树，则棵数=段数1。即：

棵数=段数-1=全长+株距-1。（注:株距为相邻两棵树之间的距离.）

例3：两栋楼之间2000米，要求没40米种棵树，则需要种多少棵树？

【答案】49（棵）

【解题关键点】利用公式，2000+40-1=49（棵）

【结束】

4、封闭路线的植树问题:

如，在圆、正方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵树

等于分成的段数，棵数=段数=周长+株距。

例1：为了把2008两北京奥运会办成绿色奥运，全国各地都在加强环保，植树造林。

某单位计划在通往两个比赛馆的两条路的（不相交）两旁栽上树，现运回一批树苗，已知一

条路的长度是另一条路的长度的两倍还要多6000米，若每隔4米栽一棵，则少2754棵：若

每隔5米栽一棵则多396棵，则共有树苗多少棵？（）

A.8500棵B.12500棵C.12596棵D.13000棵

【答案】D

【解题关键点】设两条路共有树苗x棵，根据栽树原理，路的总长度是不变的，所以可

以根据路程相等列方程：（x+2753-4）X4=（x-396-4）X5（因为2条路共栽4排，所以要

减4）,解得x=13000棵。

【结束】

例2：甲单位义务植树一公里，乙单位紧靠甲单位又植树一公里，如果按10米植一棵

树的话，两单位共植树多少棵？（）

A.199B.200C.201D.202

【答案】C

【解题关键点】甲在一•公里内植树10004-10+1=101棵树，乙植树1000+10=100棵，所

以甲乙共植树201棵。

【结束】

5,四类最简单、最基本的植树问题基础知识。

【答案】

（1）非封闭线的两端都有“点”时,

“点数”=“段数”+1。

（2）非封闭战只有一端有“点”时,

“点数”=“段数”。

（3）非封闭线的两举都没有“点”时,

“点数”=“段数”-1。

最简单、最基本的植树问题只有这四类情形。

【结束】

6、四类最简单、最基本的植树例1：•条河堤长420米，从头到尾每隔3米栽棵树，要

栽多少棵树？（）

A122B141C142D145

【答案】B

【0题关键点】这是第（1）种情形，所以要栽树420+3+1=141（棵）。

【结束】

7、四类最简单、最基本的植树例2：在一段路边每隔50米埋设一根路灯杆，包括这段路两

端埋设的路灯杆，共埋设了10根。这段路长多少米？（）

A522B441C442D450

［答案］D

【旋题关键点】这是第（1）种情形，所以，“段数”=10-1=9。这段路长为50X（10-1）

=450（米）。

【结束】

8、四类最简单、最基本的植树例3：肖林家门口到公路边有•条小路，长40米。肖林要在

小路一旁每隔2米栽一棵树，一共要栽多少棵树？（）

A22B41C42D20

【答案】D

【解题关键点】由于门的一端不能栽树，公路边要栽树，所以，属于第（2）种情形，要

栽树40+2=20（棵）。

【结束】

10、四类最简单、最基本的植树例4:两座楼房之间相距30米，每隔2米栽棵树，•直行

能栽多少棵树？（）

A12B11C18D14

【答案】I）

【解题关键点】因紧挨楼房的墙根不能栽树，所以，属于第（3）种情形，能栽树30+2T

=14（棵）。

【结束】

11、四类最简单、最基本的植树例5:一个圆形水池的围台圈长60米。如果在此台圈上每隔

3米放一盆花，那么一共能放多少盆花？

A52B20C12D45

【答案】B

【解题关键点］这属于第（4）种情形，共能放花60+3=20（盆）。

【结束】

【例】甲单位义务植树一公里，乙单位紧靠甲单位又植树一公里，如果按10米植一棵树的

话，两单位共植树多少棵？（）

A.199B.200C.201D.202

【答案】C

【解题关键点】甲单位在一公里内植树，则两端都可以种一棵树，则一共可以中1000・

10+1=101棵树；乙单位紧靠着甲单位植树，则有一端不需要植树，一共可以中10004-10=100

棵树。甲、乙共植树101+100=201棵树。

【例】李大爷在马路边散步，路边均匀地栽着一行树，李大爷从1棵树走到第15棵树共用

了7分钟，李大爷又向前走了几棵树后就往回走，当他回到第5棵树时共用了30分钟。李

大爷步行到第几棵树时就开始往回走？

A.第32棵B.第33棵C.第37棵D.第38棵

［答案］B

【解题关键点】利用两棵数的间距相等的性质进行计算，实质还是植树问题。第一次李大爷

走了15-1=14个间距，速度为每分钟144-7=2个间距，剩下的23分钟李大爷可以走23X2=46

个间距，以第5棵树为基准，往回走到第5棵树比从第15棵树走到回头的地方要多走15-

5=10个间距，即还能再向前走（46-10）+2=18个间距，即走到第15+18=33棵树时回头。

【例】在一条公路的两边植树，每隔3米种一棵树，从公路的东头种到西头还剩5棵树苗,

如果改为每隔2.5米种1棵，还缺树苗115棵，则这条公路长多少米？

A.700B.800C.900D.600

［答案］c

【册题关键点】注意，本题说明是在“一条公路的两边植树”。设公路长为a米，列方程2

(a+3+l)+5=2(a+2.5+1)-115,解得a=900。

【例】为了把2008年北京奥运会办成绿色奥运，全国各地都在加强环保，植树造林。某单位

计划在通往两个比赛场馆的两条路的(不相交)两旁栽上树，现运回一批树苗，已知•条路

的长度是另一条路长度的两倍还多6000米，若每隔4米栽一棵，则少2754棵；若每隔5

米栽•棵，则多396棵，则共有树苗多少棵？

A.8500棵B.12500棵C.12596棵D.13000棵

［答案］D

【解题关键点】设两条路共有树苗x棵，由植树的数量关系根据路程相等列方程(x+2754-4)

X4=(x-396-4)X5,解得X=13000。(因为在2条路两边植树，则棵树要比段数增加2X2=4)

2、封闭型的情况(多为圆周形)，如下图所示，那么:

【例】一块三角地带，在三个边上植树，三个边的长度分别为156米、186米、234米，树

与树之间的距离均为6米，三个角上都必须栽•棵树，问共需植树多少棵？

A.93B.95C.96D.99

【答案】C

【解题关键点】三角地带的三边组成一个三角形，构成一条闭合线，则一共植树

(156+186+234)+6=96棵。

从植树问题中可以衍生出一些其他问题，如锯木、锯钢管等，其运算实质同植树问题是•致

的。

【例】把•根钢管锯成5段需要8分钟，如果把同样的钢管锯成20段需要多少分钟？

A.32分钟B.38分钟C,40分钟D.152分钟

［答案］B

【温题关键点】把钢管锯成5段相当于种五棵树，它们的间距有5-1=4个，则需要锯4次，

每次需要8+4=2分钟，那么，把钢管锯成20段需要锯19次，共需要19X2=38分钟。

【例】用10张同样长的纸条，粘接成一条长61厘米的纸条，如果每个接头处都重叠1厘米,

那么每条纸条长多少厘米？

A.6B.6.5C.7D.7.5

【答案】C

【解题关键点】粘结时10张个纸条相当于种10棵树，它们的间距有10-1=9个，共有10-1=9

个接头，则如果设每张纸条为x厘米，可以列方程：10xTX9=61,x=7厘米。

日期问题

基本日期问题

日期中的平、闰年问题

日期间题

日期中的公倍数问题

一、解答题

1、日期基本概念

【答案】

1世纪=10眸1年=12月

大月（31天）有：1\3\5\7\8\10\12月

小月（30天）的有:4\6\9\11月

平年2月28天,闰年2月29天

平年全年365天,闰年全年366天

【结束】

2、基本日期问题例1：2005年7月1日为星期五，那么2008年7月1日是星期几？（:）

A.星期三B.星期四C.星期五D.星期六

【答案】D

【解题关键点】两个日期相差3X365+1=1096天，也就是156个星期零4天，所以2008

两7月1日是星期二。

【结束】

3、基本日期问题例3：某年2月有五个星期日，请问这年的6月1日是星期儿?

A.星期一

B.星期三

C.星期二

D.星期日

【答案】C

【解题关键点】2月的天数是28天或29天，由于有五个星期II,说明2月1日和2月29

日都是星期日。从3月1日算起至6月1日共有31+30+31+1=93（天）,93=7x13十2,所

以6月1日刚好是星期日过2天.为星期二。

【结束】

4、日期中的平、闰年问题

【答案】关于闰年的核算：

①非100的倍数的年份：能被4整除的是闰年（例如2008年是闰年）。

②是100的倍数的年份：能被400整除的是闰年（例如2000年是闰年，1900年不是闰年）。

③特例：能被400整除的年份中3200年不是闰年。

平年是52周余1天，即365天;闰年是52周余2夭即366天。

在计算同月同日不同年的情况下，要清楚“平年过1年，星期过1天；闰年过1年，星期

过2天”的口诀。这个很容易论证的，365,7=52……1;366.7=52……2.所以有平年过1年，

星期过1天，闰年过1年，星期过2天的说法。

【结束】

5、日期中的平、闰年例1：2006年8月1号星期二，问2008年8月1号星期几？

【答案】星期五。

【解题关键点】07年平年加1,08年闰年加2就很容易地计算出是星期五。

注意：以“00”结尾的年份，能被400整除的才是闰年，其余能被4整除的是闰年；

星期：星期7天一循环，一年约52个星期（所以有“幸运52”），还要注意是平年的2月还

是闰年的2月，若是闰年的，还要注意该2月是否包含在计算期间内。

【结束】

6、日期中的公倍数问题

【答案】

1:关键提示：

最小公倍数与最大公约数的题一般不难，但一定要细致审题，千万不要粗心。另外这类

题往往和日期（星期几〉问题联系在一起，考生也要学会求余。

2:核心定义：

最大公约数：如果一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b的倍数，b为a的约数。几个

自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个公约数，称为这几个

自然数的最大公约数。

最小公倍数：如果一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b的倍数，b为a的约数。几个

自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数.公倍数中最小的一个大于零的公倍数，叫

这几个数的最小公倍数。

【结束】

7、日期中的公倍数例1：三位采购员定期去某商店，小王每隔9天去一次，大刘每隔11天

去一次，老杨每隔7天去一次，三人星期二第一次在商店相会，下次相会是星期几？

A.星期一B.星期二C.星期三D.星期四

【答案】选择C。

【解题关键点】此题乍看上去是求9,11,7的最小公倍数的问题，但这里有个关键

词，即“每隔”，"每隔9天''也即"每10天”,所以此题实际上是求10,12,8的最小公倍

数。10,⑵8的最小公倍数为5X2X2X3X2=120。120+7=17余1,

所以，下一次相会则是在星期三，选择C。

【结束】

8、日期中的公倍数例2：甲每5天进城一次，乙每9天进城一次，丙每12天进城一次，某

天三人在城里相遇，那么下次相遇至少要：

A.60天B.180天C.540天D.1620天

【答案】选择B。

【解题关键点】下次相遇要多少天，也即求5,9,12的最小公倍数，可用代入法，也

可直接求。显然5,9,12的最小公倍数为5X3X3X4=180。

所以，答案为B。

【结束】

9、日期中的公倍数例3：甲、乙、丙、丁四个人去图书馆借书，甲每隔5天去一次，乙每

隔11天去一次，丙每隔17天去一次，丁每隔29天去一次。5月18日，四个人恰好在图书

馆相遇，则下一次相遇的时间为

A.10月18日

B.10月14日

C.11月18日

D.11月14日

［答案］答案：D。

【解题关键点】这道题搞清楚两点就容易求解：第-，所谓每隔几天去一次的含义是，

每（n+1）天去一次，因此题目的条件可以变为“甲每6天去一次，乙每12天去一次，丙每

18天去一次，丁萄30天去一次。”第二，需要考虑5、7、8、10四个月有31天。6、12、

18、30四个数的最小公倍数为180,因此再过180天，四个人才能够再在图书馆相遇。5月

18日之后180天是11月14日。

【结束】

过河问题——基础学习

最值问题过河问题解题思路

一、解答题

1、过河问题解题思路

【答案】1:每次过河后，需要返回一人将船划回出发地；

2：最后一次过河的，不需要返回。

3：常用公式：M个人过河，船能载N个人。需要A个人划船，共需过河M-匕A

N-A

次。

4:如遇到数量较少的，可以自己列出，来检验一下：

【结束】

2、过河问题例1：有3个土匪和3个警察要划船过河，每次最多只能在两个人过河，并且

当土匪人数多于警察人数时，警察就会有生命危险，则所有人都过河需要划船来回共多少

回？(来回算2趟)

【答案】13趟。

【解题关键点】

1警1匪去1警回

2警去1警回

2匪去1匪回

2警去1警1匪回

2警去1匪回

2匪去1匪回

2匪去

在这里警察是弱者需要保护，一共需要13趟

【结束】

3、过河问题例2：有37名红军战士渡河，现仅有一只小船，每次只能载5人，需要儿次

才能渡完？()

A.7次B.8次C.9次D.10次

【答案】9次。

【解题关键点】一M-丁A，根据公式：*37丁-1=9次。

N-A5-1

【结束】

牛吃草问题一一基础学习

标准的牛吃草问题

草地不同的牛吃草问题

牛吃草

问题I吃草动物不同的牛吃草问题

草量持续减少的牛吃草问题

牧草吃不完的牛吃草问题

一、解答题

1、牛吃草基瞰1识

【答案】牛吃草问题逋常给出不同头数的牛吃同一片草，这块地既有原有的草，又有每

天新长出的草。吃草的牛数量不同，求若干头牛吃这片地的草可以吃多少天。解答牛吃草问

题通常设每头牛每日吃掉的草量为单位“1”，解题关键在于通过对题中条件的分析比较，求

出牧场上原有的草量，单位时间生长的草量。

解答牛吃草问题的常用步骤：

1:求出两个总量；

2:总量的差+时间差=每天长草量=安排去吃新草的牛数；

3:每天长草量X夭数=新长出来的草；

4:草的总量=新长出来的草+原有的草；

5：原有的草小吃原有草的牛=能吃多少天（或原有的草+能吃多少天一吃原有草的

牛）。

方程法解牛吃草问题：一般设出原有量、单位时间的增加量、单位时间消耗量来解题。

方法指导：通常思路

把每头牛每天（周）的吃草量看作是“1”；求出每天（周）的新生长的草量

是多少；求出原来的草量是多少；假设几头牛专门去吃新生长的草，剩下的牛吃

原来的草所用几天（周）数即为所求。

要点提示:

牛吃草问题的核心等式：

牛吃草总葬草场原有草量+新长草量

这两种关系，在实际题目中，一般会出现两种方案，对这两种方案进行的比较，是获得

解题思路的捷径。这种比较主要有两种方案“总草量”之差，这对应着两种方案的“时间差”。

具体的关系为：

牛的头数X吃的天数=草场原有的草量诲天长草量X吃的天数

由此可知，一般牛吃草问题，首先要把两个关键的量求出来：每天长草量和草场原有草

量。

1：草的生长速度=对应的牛头数X吃的较多天数一相应的牛头数X吃的较少天数+（吃

的较多天数一吃的较少天数）；

2:原有草量=牛头数X吃的天数一草的生长速度X吃的天数；

3:吃的天数=原有草量+（牛头数一草的生长速度）；

4:牛头数=原有草量+吃的天数+草的生长速度。

【结束】

2、牛吃草基础例1：两个运动员逆着自动扶梯行驶的方向行走，A每秒可走5级阶梯，B每

秒可走4级阶梯。从扶梯的一端走到另一端，A用时200秒，B用时比A多两倍，那么该扶

梯共多少级阶梯？（）

A.300B.400C.500D.600

【答案】A

【解题关键点】根据题意，运动员走阶梯的速度X行走的时间=扶梯的具体数+扶梯行走

的速度X行走的时间。这是牛吃草问题的扩展，扶梯的阶数是“原有的草量”，运动员走阶

梯的速度就是“牛的头数”，扶梯行走的速度就是“草的增长速度”。可以直接应用牛吃草问

题的公式，扶梯每秒下降的级数是[4X200X（2+1）-5X200]4-[200X（2+1）-200]=3.5

级，扶梯的级数为（5-3.5）X200=300级。

【结束】

3、牛吃草基础例2：有三块草地，面积分别是4亩、8亩、10亩。草地上的草一样厚，而

且长得一样快，第一块草地可供24头牛吃6周，第二块地可供36头牛吃12周。问第三块

草地可供50头牛吃几周？（）

A.6B.9C.3D.7

【答案】B

36x12+8-24x6+4

【解题关键点】牛吃草问题。每周每亩草地的生长量为=3,每