新版【跨越一本线】高三数学问题3.4与向量、数列等相结合的三角问题

高三数学跨越一本线精品问四与量数等结的角题在知识点的交汇处命,是当前高考的热,三角函数即是基本的函,也解决数学问题的有效工,在代数与几何中有着广泛的应.文拟从其中较为多见的与向量、数列等相结合的三角问题说起一三与量交现行高中数学教材中向量是继函数之后的一条主贯穿整个高中数学教学也在各种问题的解决中起着广泛的作用.而向与三角知识的交通常题目以三角函数为主体,但条件中涉及一些向量知,如向量的坐标中包含三角表达然后给出向量之间的平行、垂直关,或者用向量的数量积表示函数等,种情况在当前的试题中还很常.【例1辽盘锦市高三11月考】已知△的面积满2

,且ACB

．（1）若m2,cos2A)

,

rrnB),求mn|

的取值范围；（2）求函数sin())4【分析】）已知数量积可得cos,代absin

的最大值．,可得tan3,1,从而求出的围再由向量模的公式可得m

,从而求得答案（2）化简函数

f

3令t4

,然后利用配方法求得函数

f

的最大值．【解析）由

CA

,

ACB

,得cos

,

Ssin

tan

,所以∵m(sin2,cosA)

,而,以4r,2BB),

,∴

r|2A,n

,rm222sin2Bsin(2)

C)2C

,

xrxrrrr|nm2m||2

,因为,所以,46r54sin

．【点评】平面向量作为一种运算工经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合．当平面向量给出的形式中含有未知数,由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．(2)求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成

yasin

xx

的形式利用配方法求最值；②形如

sinxcsinx

的可化为sin

()

的形式性求最值；③axcosx

型可为

y

sin(

求最值；④形如xx设sinxcos,利用方法①的思路解答的.

换元后利用配方法求最值本是【小试牛刀湖北襄阳市四校高三上学期期中联考】已知向量

,2

,nsin,cos22

,函

若

x

2

,

,求

f

的最小值及对应的

的值；

若

x0,

,

f

,求

sinx

的值.

【答案）min

）

3310

．【解析】

f

xsincoscos2

31xsincosx22

2

x35x

,即

时

fmin

1110

,即

1113,sin65x

,2

x6

,

x

6x66233352210rrr【例2△中角A,,C的边分别是,,若最小角的正弦值等于)

20cAB

,则△ABCA.

3B.C.5

.

【分析】三角形中的向量问题,常先选基然后利用向量相等的充要条件转化为相应的数量关系即可rr【解析】∵

20cAB

,∴

r20ACAB)bCAcABr

,∴

(20aca)AB

,∵

AC

与

不共线

bab∴12cc∴△ABC最小角为角A,

,所以

b

2

16a2a9164223

45

,∴sinA

,故.【答案】【点评】本题中,三角形三边所的向量两两不共当化为两个不共线向量之和为零向,则隐藏着他们的“系数同时为0”条,而可得到三边的关.【小试牛刀山西学附中高三第二次模拟测试】在直角梯形,AD/1,AB2,E,F分别为AC中点点在A

为圆心

AD

为半径的圆弧

DE

上变如所示

AP

,其中

,则

的取值___________．【答案】

【点评】本题主要考查向量运算的坐标.平面向量的数量积计算问,往往有两种形式,一

是利用数量积的定义,二是利用数量积的坐标运算公,及几何图形的问,先建立适当的平面直角坐标,可起到化繁为简的妙利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件可有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．二三与列交数列与三角函数的交汇问题也是一类常见问,主要题型有两大类：一是在解三角形,一些条件用数列语言给出常见的如三角形三内角AB,C成差数列；三边,,成等比数列等二是数列通项种含有三角函数,们可以借助三角函数的周期性求.【例3】设的角A,,C围是()

的对边分别为ab,c,且b,

成等比数列,则角B的取值范A．

(0,

]B．[C．(0,]．[633

,

【分析利bc

成等比数列得

,再利用余弦定,将边与角联系最后用基本不等式求出B

的范围【解析】由bc

成等比数列得

2

,所以

cos

222a122

,由于B是的内角所的值范围是

(0,

3

]

．故C【点评“,

成等比数列”是为了给出“b

2

”这一条件所以,解题的重点是何利用这个条件将边与角的关系联系起.【小试牛刀】△ABC的内角

C

所对的边分别为c.(1)若

a

成等差数列证明：

sinC

；(2)若

a

成等比数列求

B

的最小值.【解析】(1)∵,成差数列∴＋＝2由正弦定理得sinA＋sinC＝2sinB∵sinB＝sin＝(＋)

nnnnxnnnnnnxnn∴sinA＋sinC＝2sin(＋)(2)∵,成比数列∴由余弦定理得

cos

2

2aa1ac22ac∵

≥2(当且仅当a＝时号成)22ac

(当且仅当a＝c时等号成立)111ac22

(当且仅当ac时等号成立即

12所以cosB的小值为

12

.【点评】边的等差关,通常利用正弦定理转,而边的等比关,则用余弦定理找边角关系【例4河八市重点高上学期第三次测评】设公比为正数的等比数

项和为,已知aS,数n3

bn2

n

.（1）求数列

式（2）若数列

sinnan

,

n

为数列

项和,求证：对任意n

*

,2

.【分析(1)用基本量法即用

a1

与

表示条件

aS32

,列出方程组,解

a,q1

即可求数列

式由

blogn2

n

可求数列

式(2)先求csinn

n

,从而写出

34Ssinsinsin2

,由当

时

sinx

放缩可得

43S,令T2nn

,利用错位相减法求出T即可.n

1nxTn1nxTn【解析）设

,则有

a2aq1

,解得则alogn2

.即数列

式2n2

n（2）证明：

csinn

n

,∴Sn4

n2

,易知当

时有

sinx

成立,∴Sn

42

,令Tn

4n

①3n则T2n

②①-②得

nn8

n

,从而Tn

n

S【点评】与求和有关数列不等式的证,常是把数列放缩成可以求和的数,比如等差数列、等比数列、可以裂项求和的数.【小试牛刀南中原名校高三上学期第一次联考】已知a且．7

是等差数列

和,（1）求数列

；（2）设

cosan

n

,

是数列

求

的值．【答案）

a

n3

）

．【解析）由于数列

由

,

a

8,得3,da1

55a1n解得,6d3（2）数列

bn

n3

列

的期数列,前6项分别为b,b4

3,2T

2016

2016

3366

32

．三、三角与其他知识点的交汇【例5】在平面直角坐标系xOy

中以O为点,轴的正半轴为极轴建立极坐标,直线l的极坐标方程为数

,曲线C的数方程为)．

xysinα

(为参(1)写出直线l的直角坐标方程；(2)求直线l与线的点的直角坐.【分析】利用ρcosθρsinθ＝y极坐标转化为直角坐,同时将参数方程消去参数化为普通方程本不难求.【点评】极坐标本身就是利用三角函数思想建,而圆和椭圆的参数方程也是利用三角函数中

CC的同角关系式进行代,所以这个知识点与三角函数的关系非常密.【小试牛刀】已知椭圆：

x

与x正半轴、正轴的交点分为,动P是椭圆上任一,求面的最大.【分析先顶点坐,再求直方,根据椭圆的参数方程表示出点直线的距离表出面积然求值

P

的坐标然再求点到【解析】依题意

(4,0)

,

(0,3)

,

AB

,直

AB

：

xy43

,即

3y设点P坐标为

,3sin

,点P到线AB的离是

3

2)5

,当

4

时

d

12(5

,所以PAB面积的最大值是

S

6(2【点评】与椭圆上点有关的范围或者最值问,用参数方程进行三角代换后,可以利用正余弦的有界性求范围或者最值.【例6】已知：复数zcosi

,

z)cosi

,且

z

,其中

、

为△ABC的内角

、

b

、

为角

、

、

所对的边．(1)求角的小；(2)若

b

,求△的积【分析(1)先利用复数相等得出三角形的边角关再利用正弦定理将边转化为,利用三角关系求角B;(2)利余弦定理求出有关a关系再用三角形的面积公式进行求解.

rr【点评】本题其实就是利用复数相等建立两个边角关而复数与三角函数也有密切关,只是现行教材的范围限,对复数的三角形式暂不作要,应该注意与其相关的试题出.总体来看三角函数可能交汇的识点众,相应的考点、解题思想方法也就千变万,我们在解决这类问题时,既要考虑三角数方面的方,也要关注其他知识点的思,有时候两者结合起来还可能出现一些巧妙的思如数形结合、参数思想,对于我们解决进一步问题都将会有很好的启.迁移运用1.【20xx山西省孝义市高三上期二轮模考】已知{a}ncos(（）2

为等差数列,若

a19

,则A．

11B．C．2

．

32【答案】【解析】由

aa159

,得

a5

3

,所以cos(a)cos(2a)28

＝32

,故选A．2.【20xx河北省冀州中学高三学期第二次阶段考试】已知向量ra6

,

b4cos

,若

rb

,则

sin()3

（）A．

34

．

14

C.

34

D．

14【答案】【解析】a•4sin（62sin

cos

34

3

)0,所以

sin(

1)．以))344

．π3.已知AB,C,D是函数＝sin(ωxφ＜＜期的图象上的四个点,2π如图所示A，06

,为轴的,为象上的最低为函数图象的一个对称中→π心与D于点对,CD在轴的投影为,则ω,的值为)12πA．＝2,＝31πC．＝φ＝23

πB．＝2,＝61πD．＝,φ＝26【答案】【解析】由为函数图象的一个对称中作点C的称点为,作MF⊥x轴垂为,如→ππππ图．B与D关点E对称,在轴的投影为,知OF.A，0＝＝＝1212642ωπ4

,所以＝2.时函数＝sin()图象可以看作是由y的图象向左平移得

ABCrABCrφφππ到故知＝＝,即＝.ω263rr【20xx河北邑中学高三上学调量a25实rr数且uatb,则的最小值为（）A．2

B．

C．

22

D．

12【答案】5宁省沈阳市二中高三上学期中】在△中

,

分别为∠A,∠B,∠C的对边且c

,若向量

和

,1)

3平行,且sinB＝,当△的面积为时则b＝（）A．

3

B．4D．2＋

【答案】【解析】

mn

,所以

,即

2b

,

123SsinBac25

,所以ac

154

,又因为

,以解B为角所有Bsin

B

由余弦定理得b

2

2

2

B

2

2

61615aca)2ac42455

2

,解之得,故选B．6南省长沙明德中学高三上三次月考】已知向量

(cos

r,向b,且r

,则

tan

的值是（）A．

3B．3

C．

D．

【答案】

nn【解析】因为

a

,所以由平面向量的数量积的坐运算可得：

3cos

,所以sin

cos

所

,故应选．7.

f(x)

部分图象如图,若

|2

,等()A．

B．．．6【答案】．

【解析】∵

2

,∴

ABABAB,BC|2

,∴

AB

12

,∴,ABD3

,∴

AD

,

T

,∴6

．【江省桐乡第一中学等四校三上学期期中联考知a}是比列其

8

是关于x

的方程

xxsin0

的两根且

(a)2a,锐角的值为1()A.

B...612【答案】.【解析】∵等比数列

{},a8

,又∵

a是关于x的方程x8

2

x3sin

的两根∴

2sin8

aa1

,∴

(aaa4sin236

,即

32

或

sin3

(舍去,又∵锐角,

3

.

eq\o\ac(△,S)ABC2→→eq\o\ac(△,S)ABC2→→9.【20xx山西临汾一中等五校三第三联考】如,

中

ADAB,AD

,则

AC

的值为（）A．1D．4【答案】x10.直线l：－y＝0与椭圆＋＝1交于A、两点,点C椭圆上的动点则面积的2最大值是．【答案】2＝0，【解析】由＋＝1，

得3＝2,∴＝±

63

,6∴，

66，－33

43,|＝3

.|2cosθ－sin|3设点C(2cossinθ),则点C到的离＝＝·|sin(－22Φ)|≤

3,211433∴＝||·≤××＝2.22311.函数y＝sin(ωxφ在一个周期内的图象如图所示,、分别是最高点、最低点O为坐标原点且·＝0,则函数f(x的小正周期是________．

()→→()→→1【答案】【解析】由图象可知M，,所以O·ON，1,－1)x－1＝0,解得21x＝2,所以函数f()的最小正周期是2×

＝3.12.【20xx福建厦门一中上学期中】如,径为扇形的圆心角为120°,CAB

上且COB

,若

,则

____________．【答案】

2014201420142220142014201422{a}13.【河北省正定中学高三上学期期中】等差数列

的前项为

n

,已知

f()

,且

f(a2)sin2

20143

,

f(a2014

20156

,则2015=__________．【答案】【解析】因为

．f(a2

320153,f2)cos

,所以f(2

aa

32a3,f(2)2

,解得2

2

2,23

,所以(a2)a2

2)

2

log

,所以2

,所

S

2015

20144030

,故应填．14省玉溪市一中高三上期期中列

{}n

的通项

(sin

),

其前

S项和为n则30=______．【答案】．【解析Q(cosn

n2n)cos330

24cos

2

cos30

2

2012228292

2

30

2[(122)2)22)][(122)2)2))2)22)][59)](4(5[2故答案应填-470．

,15京市朝阳区高三上学期期中统一考试】若函数f()

在区间(,)上调x3递增,则实数

的取值范围是．【答案】[2,【解析】因为函数(x

ππ在区间,)x3

上单调递增所以f

ππ在区间,)恒立3f

xsinx))asincos2x2因为

,所以

ax

在区间

ππ,)3

恒成立所以

sin因为

x(

323),所以x3223所以a取值范围是[

16西省山西大学附中高三10月考】ab,c．成等比数列且cos

ABC

中内AB,C

的对边分别是a,,

,已知（1）求的值；tanAtanB（2）设BA,值．【答案）

2或77

）

3

．【解析）因为b,c

成等比数列所2ac

,由余弦定理可知：

cos

222a2cac2又cosB

1ac1,所以sinB,且,解得或．2a4a2cosAcosCc2于是或7tanAtansinsin77（2）因为,所以,以ca,

．c1又或,于是c．【另解】由BA得ca

,由

3可,即24由余弦定理b2a2B

得2acB

ac

∴

a

．317.已知向量a＝4

,＝(cos,－1)(1)当∥时求

－sin2x的；(2)设函数fx＝2(b)·,已知在ABC内角,,的边分别为,c.若＝3,b＝2,sinB＝

63

ππ,求()＋4cos6

的取值范围．33【解析】因为a∥,以cos＋sin＝0,所以x＝44cos－2sinxcos1－2tanx8cos－sin2x＝＝＝.sin＋cosx1＋tanx3(2)f()＝2(＋b＝2sin＋.2

11a2π3由正弦定理＝,得＝,以＝,A＝.sinsinB244π因为b＞所以＝.41f(x)＋4cos＝2sin－,642ππ11π因为x∈2x∈，41232

－1≤(＋4cos2－623∴所求范围

1－1，2－218.【20xx浙江杭州地区重点中高三上学期期中】已知函数f

3sin（