华师大版 八年级下 函数及其图象1 变量与函数“衡水杯”一等奖

《变量与函数》教案一、教学目标【知识与技能】1.从实际问题中了解变量、函数的概念，以及函数的表示法．学习时，要能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系，并会结合函数图象分析简单的函数关系；2.要注意联系实际，理解一次函数和反比例函数的图象和性质，并能应用它解决简单的实际问题．【过程与方法】通过实际与探索，使学生体会到“问题情境—建立模型—解释应用—回顾拓展”这一数学建模的基本思想，感受函数知识的应用价值，并会初步应用.【情感态度】让学生明白数学来源于生活，并应用于生活.【教学重点】使学生运用待定系数法确定一次函数、反比例函数的表达式.【教学难点】使学生体会到运用直角坐标系研究一次函数、反比例函数的图象和性质，并运用它们解决简单的实际问题.二、教学过程（一）知识结构【教学说明】使学生理解本章各知识点之间的联系.（二）释疑解惑，加深理解1．函数的概念变量：变化过程中可以取不同数值的量.常量：变化过程中保持不变的量.函数：如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于每一个x值，y都有惟一的值和它对应，我们就说x是自变量，y是因变量，y是x的函数.2.如何求函数的自变量取值范围考虑两个方面，其一是分母不等于0，其二是开偶次方的被开方数为非负数，对于实际问题，应根据具体情况而定.3．关于平面直角坐标系(1)平面上的点与有序实数对成一一对应关系，其含义是坐标平面上的每一个点都可以用一对有序实数来表示，反过来，每一对有序实数都可以在坐标平面上描出一点，这样数与形就有机地结合在一起.我们可以在平面上建立直角坐标系定出点的位置.(2)关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标间具有什么关系?(3)各个象内的点的横、纵坐标的符号是怎样的?(4)点落在坐标轴上，它的坐标有什么特点?4．函数的图象函数的图象是由直角坐标系中的一系列点组成，图象上的每一点坐标(x，y)代表了函数的一对对应值，即把自变量x与函数y的每一对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出相应的点，这些点组成的图形，就是这个函数的图象.5.什么是正比例函数？它有什么性质？6.什么是一次函数？它有什么性质？7.什么是反比例函数？它有什么性质？8.一次函数与一元一次方程（组）之间有什么关系？9.一次函数与一元一次不等式之间有什么关系？【教学说明】对本章知识点进行复习回顾.（三）典例精析，复习新知1.已知函数y=y1＋y2，且y1与x成反比例函数关系，y2与(x－2)成正比例函数关系．当x=1时，y=－1；当x=3时，y=5．求：x=5时，y的值．分析：应先用待定系数法写出函数的解析式．解：由已知，y1=(k1≠0，k1是常数)，又由已知y2=k2(x－2)(k2≠0，k2是常数)，所以y=+k2(x-2)．①由已知，当x=1时，y=－1，代入①，得－1=k1＋k2(－1)，即k1－k2=－1．②由已知，当x=3时，y=5，代入①，得5=+k2，即k1＋3k2=15．③得所求的函数解析式是y=+4(x-2)．当x=5时，y=+4(5-2)=．2.转炉炼钢产生的棕红色烟尘会污染大气，某装置可通过回收棕红色烟尘中的氧化铁从而降低污染．该装置的氧化铁回收率与其通过的电流有关，现经过试验得到下列数据：如图建立直角坐标系，用横坐标表示通过的电流强度，纵坐标表示氧化铁回收率．(1)将试验所得数据在上图所给的直角坐标系中用点表示（注：该图中坐标轴的交点代表点(1,70)）；(2)用线段将题(1)所画的点从左到右顺次连接，若此图象来模拟氧化铁回收率y关于通过电流x的函数关系式，试写出该函数在≤x≤时的表达式；(3)利用题(2)所得的关系，求氧化铁回收率大于85%时，该装置通过是电流应该控制的范围（精确到0.1A）．解：(1)如下图；(2)将题(1)所画的点从左到右顺次连接，如下图；y=(3)当≤x＜时，由45x＋＞85，得＜x＜；当≤x＜时，由-30x＋150＞85，得≤x＜；又当≤x＜时，恒有-5x＋＞85．综上可知：满足要求时，该装置的电流应控制在1.8A至2.2A之间．（四）复习训练，巩固提高1.某军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油．在加油的过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油油箱的余油量为Q2吨，加油时间为t分钟，Q1、Q2与t之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：(1)加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油？将这些油全部加给运输飞机需要多少分钟？(2)求加油过程中，运输飞机的余油量Q1（吨）与时间t（分钟）的函数关系式；(3)求运输飞机加完油后,以原速继续飞行,需10小时到达目的地,油料是否够用？说明理由．解:(1)由图象知，加油飞机的加油油箱中装载了30吨油，全部加给运输飞机需10分钟．(2)设Q1=kt＋b，把(0,40)和(10,69)代入，得解得Q1=+40(0≤t≤10)所以Q1=＋40(0≤t≤10)．(3)根据图象可知运输飞机的耗油量为每分钟吨．所以10小时耗油量为：10×60×=60（吨）＜69（吨）,所以油料够用．在为何值时，直线2k＋1=5x＋4y与直线k=2x＋3y的交点在第四象限．分析：此题中已知两直线的交点在第四象限，实际上就是知道两个一次函数图象交点在第四象限，因此如何求两个一次函数的图象的交点及第四象限点应满足的条件就成了解此题的关键．另外因为涉及待定系数k的值，所以要先求它们的交点，其中交点的坐标是可以用待定系数k来表示，最后再确定第四象限的点的坐标满足的条件．解：由题意得：则解关于x，y的二元一次方程组，得因为它们交点在第四象限，所以x＞0，y＜0，即解这个不等式组，得由以上可知当-<k<2时，两直线交点在第四象限．3.如图，已知一次函数y=kx＋b的图象与反比例函数y=-的图象交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是-2．(1)求一次函数的解析式；(2)求△AOB的面积．解：(1)xA=-2代入y=-中，得yA=4．所以点A的坐标是(-2,4)．把yB=-2代入y=-中，得xB=4所以点B的坐标是(4,-2)．把A、B的坐标代入y=kx＋b中，得解得所以一次函数的解析式是y=－x＋2．(2)当y=0时，0=－x＋2，得x=2，所以M(2,0)，即OM=2．S△AOB=S△AOM+S△BOM=1/2×2×4+1/2×2×2=6.【教学说明】通过实际问题的应用，加深学生对本节知识的巩固，提高学生解决函数问题的能力.（五）师生互动，课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？还存在哪些疑惑？三、课后作业1.布置作业:教材“复习题”中第3、6、10、13题.2.完成本课时对应练习.四、教学反思1.直角坐标系是研究函数图象的基础，在直角坐标系中，点与有序实数对之间是一一对应的；2.通过对一次函数性质、一次函数与一次方程、一次不等式联系的探索，提高自主学习和对知识综合应用的能力；3.待定系数法是一项重要的数学方法，要结合它在确定一