全国优质课初中数学《课题学习最短路径问题》公开课课件

课题学习最短路径问题AB

如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？

两点之间,线段最短①②③温故知新

要在河边修建一个泵站向张村引水，在何处修建才能使所用引水管道最短？为什么？垂线段最短张村河流泵站

前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

连接AB,线段AB与直线L的交点P

，就是所求ABlP为什么？问题1

相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？探索新知BAl精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？BAl

这是一个实际问题，你打算首先做什么？将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．B··Al（1）从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；

（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，

B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和；

追问2

你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？B··Al追问2

你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，

AC与CB的和最小（如图）．

BAlC

如何将B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？

如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·

你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？

如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．

如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·B′C问题3

你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′C证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，

BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C，AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AC+CB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．

你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′CC′

总结：

若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．B·lA·B′CC′

（造桥选址问题）如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）

AMNB我们可以把河的两岸看成两条平行线a和b,N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b,交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？abAMNB将AM沿与河岸方向垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A'，则AA'=MN,AM+NB=A'N+NB,这样问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A'N+NB最小？abAMNBA'∟abAMNB由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小。这样问题可转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小。怎样通过图形的变化，把这个问题转化为前面求距离和最短的情况？作法：1.将点A沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到A'，

2.连接A'B交河对岸于点N,

则点N为建桥的位置，MN为所建的桥。证明：由平移的性质，得AM∥A'N且AM=A'N,MN=M'N',所以A.B两地的距离:AM+MN+BN=A'N+MN+NB=A'B+MN,若桥的位置建在N'处，过N'作N'M'⊥a,垂足为M',连接AM'.A'N'.BN',则AB两地的距离为：AM'+M'N'+N'B=A'N'+M'N'+N'B,在△A'N'B中，∵A'N'+N'B＞A'B,∴A'N'+N'B+MN＞A'B+MN,即AM'+M'N'+N'B＞AM+MN+BN所以在点N的位置建桥MN，AB两地的路径AMNB最短。abAMNBA'M'N'勇攀高峰练习如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．ABCPQ山河岸大桥基本思路：

由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q在直线BC的同侧，如何在BC上找到一点R，使