四元数自共轭矩阵与行列式的几个定理(完整版)实用资料

四元数自共轭矩阵与行列式的几个定理（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）

四元数自共轭矩阵与行列式的几个定理（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.矩陣(Matrix)矩陣的寫法和行列式很像，把一群數字、符號，甚至數學式子規則排列在括弧內；不過，矩陣不必是正方形，它的列與行的數目不必一樣。括弧內的東西稱為矩陣的元素，每一個元素依它在第幾列(i)，第幾行(j)來標示位置。是一個2列3行的矩陣，寫成2×3。一個矩陣乘上一個數字，是把矩陣內每一個元素都乘上這個數字。兩個矩陣必須列數相同，行數相同才能加減：。兩個矩陣相乘，必須第一個矩陣的行數等於第二個矩陣的列數；譬如說，，矩陣A是m×n，矩陣B是n×p，乘出來的矩陣C則是m×p，而且Ex1.Ex2.兩個矩陣相乘必須注意先後次序，一般說來。稱為這兩個矩陣的commutator；如果[A,B]=0，表示AB=BA，這兩個矩陣稱為communicatingmatrices。Ex3.，，，計算6.正方形矩陣(squarematrix)對角線上全部元素的和稱為這個矩陣的trace，用tr(A)表示；正方形矩陣全部的元素可以用來計算行列式，用det(A)表示；而且det(AB)=det(A)det(B)。如果正方形矩陣對角線的元素都是1，其他元素都是0，稱為unitmatrix或是identitymatrix(I)。7.把一個矩陣第一列的元素寫成第一行，第二列的元素寫成第二行，……，新的矩陣稱為原先矩陣的transpose，AAT；(AB)T=BTAT。如果一個矩陣和它的transpose一模一樣，這種矩陣稱為symmetricmatrix。8.兩個正方形矩陣A、B，如果AB=BA=I，那麼B稱為A的inverse，用表示。如果一個正方形矩陣的det(A)≠0，，其中稱為A的adjoint，；是元素的cofactor。換句話說，Ex4.寫出下列矩陣的inverse：，9.lineartransformation空間中一個點的座標是(x,y,z)，讓這個點繞著Z軸旋轉180度，新的位置座標是什麼？如果新座標是(x’,y’,z’)，將上述的動作寫成下列方式參考剛學過的矩陣乘法，=？同樣的方式，繞著Y軸旋轉180度=？繞著X軸旋轉180度=？以XY平面當作鏡子=？以YZ平面當作鏡子=？以ZX平面當作鏡子=？難一點的，繞著Z軸旋轉90度=？繞著Z軸旋轉60度=？《矩阵与行列式部分典型题精解》一、客观题1多项式中，x4，x3的系数项和常数项分别为（）。（A）-6，2，-6；（B）-6，-2，6；（C）-6，2，6；（D）-6，-2，-62行列式的值为（）（A）abcd；（B）0；（C）1；（D）-13行列式的值为（），其中。（A）tgA+tgB+tgC；（B）3；（C）0；（D）14行列式的值为（）。（A）12；（B）-16；（C）16；（D）-125行列式（n>2）的值为()。(A)1；（B）0；（C）-1；（D）26行列式的值为（）。（A）-306；（B）306；（C）316；（D）-3167（993）记行列式为f（x），则方程f（x）=0的根的个数为（）（A）1；（B）2；（C）3；（D）48（960103）行列式=（）（A）；（B）；（C）；（D）9（980303）行列式=（）10（920303）设A是m阶方阵，B是n阶方阵且=a，=b，，则（）。11（890303）若齐次线性方程组只有零解，则λ应满足（）12行列式=（）13（910403）n阶行列式=（）14（960503）五阶行列式=（）15（970403）设n阶方阵A=，则=（）16（870403）（是非题）设A为n阶方阵，k为任意常数，则，（）17（010403）设行列式D=，则第四行各元素代数余子式之和的值为（）。18（000403）设，方阵，n为正整数，则（）19设是s×r矩阵，是r×s矩阵，如果BA=Ir，则必有（）（A）r>s；(B)r<s；(C)r≦s；(D)r≧s20（890303）A、B同为n阶方阵，则（）成立。（A）；（B）AB+BA；（C）；（D）21（950103）设，，则（）成立。（A）；（B）；（C）；（D）二、非客观题1.设n阶行列式detA的元素aij都是变数t的可微函数，试证明行列式的微分可作如下计算：证明：（1）由行列式的定义于是有 注：这里用微积分中一元函数求导的性质：（2）把Ai按i行展开有：故2.计算n阶行列式的值解法一（降阶法）：先用第1行的（-1）倍加到各行上去，然后再把第j列（j=2，…n）加到第1列上去，即解法二（加边法）：即根据行列式的行展开表达式，我们可以在原有行列式的基础上增加一行和一列，使其变为n+1阶行列式，于是：解法三（分项找递推公式法）：即类似于级数理论中找的关系式。由行列式的特点，把第一列写成两项和的形式，然后按第1列拆开成两个行列式，于是有等号右边的第一个行列式的第1列除（1，1）元外全为零，而（1，1）元的余子式是一个与原行列式完全相同的行列式，故其值为，等号右边第二个行列式把第1行乘于（-1）后加到第i行（i=2，3，…n）上去，除对角线外全是0，即故得到递推公式：按此递推公式继续做下去，有解法四（待定系数法）：由已知，知是一个x的多项式，记为。是一个实系数多项式，故其在复数域中有n个根，设为，即有。显然，故再利用行列式的微商，知说明a至少为二重根，进一步计算可知：故a是（n-1）重根。于是知解法五（利用矩阵乘法计算）：即det（ABC）=（detA）（detB）（detC）。两边取行列式，因detA=detC=1，有©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.《矩阵与行列式部分典型题精解》一、客观题1多项式中，x4，x3的系数项和常数项分别为（）。（A）-6，2，-6；（B）-6，-2，6；（C）-6，2，6；（D）-6，-2，-62行列式的值为（）（A）abcd；（B）0；（C）1；（D）-13行列式的值为（），其中。（A）tgA+tgB+tgC；（B）3；（C）0；（D）14行列式的值为（）。（A）12；（B）-16；（C）16；（D）-125行列式（n>2）的值为()。(A)1；（B）0；（C）-1；（D）26行列式的值为（）。（A）-306；（B）306；（C）316；（D）-3167（993）记行列式为f（x），则方程f（x）=0的根的个数为（）（A）1；（B）2；（C）3；（D）48（960103）行列式=（）（A）；（B）；（C）；（D）9（980303）行列式=（）10（920303）设A是m阶方阵，B是n阶方阵且=a，=b，，则（）。11（890303）若齐次线性方程组只有零解，则λ应满足（）12行列式=（）13（910403）n阶行列式=（）14（960503）五阶行列式=（）15（970403）设n阶方阵A=，则=（）16（870403）（是非题）设A为n阶方阵，k为任意常数，则，（）17（010403）设行列式D=，则第四行各元素代数余子式之和的值为（）。18（000403）设，方阵，n为正整数，则（）19设是s×r矩阵，是r×s矩阵，如果BA=Ir，则必有（）（A）r>s；(B)r<s；(C)r≦s；(D)r≧s20（890303）A、B同为n阶方阵，则（）成立。（A）；（B）AB+BA；（C）；（D）21（950103）设，，则（）成立。（A）；（B）；（C）；（D）二、非客观题1.设n阶行列式detA的元素aij都是变数t的可微函数，试证明行列式的微分可作如下计算：证明：（1）由行列式的定义于是有 注：这里用微积分中一元函数求导的性质：（2）把Ai按i行展开有：故2.计算n阶行列式的值解法一（降阶法）：先用第1行的（-1）倍加到各行上去，然后再把第j列（j=2，…n）加到第1列上去，即解法二（加边法）：即根据行列式的行展开表达式，我们可以在原有行列式的基础上增加一行和一列，使其变为n+1阶行列式，于是：解法三（分项找递推公式法）：即类似于级数理论中找的关系式。由行列式的特点，把第一列写成两项和的形式，然后按第1列拆开成两个行列式，于是有等号右边的第一个行列式的第1列除（1，1）元外全为零，而（1，1）元的余子式是一个与原行列式完全相同的行列式，故其值为，等号右边第二个行列式把第1行乘于（-1）后加到第i行（i=2，3，…n）上去，除对角线外全是0，即故得到递推公式：按此递推公式继续做下去，有解法四（待定系数法）：由已知，知是一个x的多项式，记为。是一个实系数多项式，故其在复数域中有n个根，设为，即有。显然，故再利用行列式的微商，知说明a至少为二重根，进一步计算可知：故a是（n-1）重根。于是知解法五（利用矩阵乘法计算）：即det（ABC）=（detA）（detB）（detC）。两边取行列式，因detA=detC=1，有矩阵行列式与可逆矩阵一、n阶矩阵行列式下面介绍线性代数中另一个基本概念——行列式，由于内容较多，我们主要介绍行列式的定义及其简单的计算，行列式的性质等内容请大家自己学习教材.定义2.9对任一n阶矩阵A=用式表示一个与A相联系的数，称为A的行列式，记作.规定：当n=1时，；当n=2时，；当n>2时，，其中=，称为中元素的余子式，它是中划去第一行、第j列后剩下的元素按原来顺序组成的n–1阶行列式；为中元素的代数余子式.（由定义可知，一个n阶矩阵行列式表示一个数，而这个数可以由第一行的元素与其相应的代数余子式的乘积之和求出.应该指出的是，方阵是一个数表，不能求数值的；而与它相应的行列式则表示一个数，是可以计算数值的.）行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等，即.性质2互换行列式的两行（列），行列式的值改变符号.性质3n阶行列式等于任意一行（列）所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即（）其中i=1,2,…,n(j=1,2,…,n).性质4n阶行列式中任意一行（列）的元素与另一行（列）的相应元素的代数余子式的乘积之和等于零.即当时，有.性质5行列式一行（列）的公因子可以提到行列式符号的外面.即性质6若行列式的某一行（列）元素都是两数之和：则等于下列两个行列式之和：性质7用常数遍乘行列式的某一行（列）的各元素，然后再加到另一行（列）对应的元素上，则行列式的值不变.（下面通过例题简单介绍行列式的计算方法）例1计算解首先按性质5，从第一行提出公因子，再从第四行提出，即再利用性质7把第三列的元素尽可能多的化为零，即作“第三行加上第一行的1倍，第四行加上第一行的-2倍”的变换，得=再利用性质3按第3列展开，即=再作“第三列加上第一列的-1倍”的变换，并按第二行展开，即===例2计算解首先交换第一列与第二列，然后作“第二行加上第一行的-1倍，第四行加上第一行的5倍”的变换，得=首先交换第二行与第三行，然后作“第三行加上第二行的4倍，第四行加上第二行的-8倍”的变换，得=再作“第四行加上第三行的倍”，化成三角形行列式，其值就是对角线上的元素乘积，即==（关于矩阵行列式，有一个重要结论请大家记住.）定理2.1对于任意两个方阵A，B，总有即方阵乘积的行列式等于行列式的乘积.（在上一讲中，我们介绍了矩阵的加法、减法和乘法运算，那么矩阵是否有除法运算呢？这就是这下面要介绍内容.）二、逆矩阵定义定义2.11对于n阶矩阵A，如果有n阶矩阵B，满足AB=BA=I（2-5-1）则称矩阵A可逆，称B为A的逆矩阵，记作.（由定义可知：）满足公式（2-5-1）的矩阵A,B一定是同阶矩阵.例3设矩阵A=，B=验证A是否可逆？解因为AB==BA==即A,B满足AB=BA=I.所以矩阵A可逆，其逆矩阵=B.可以验证：单位矩阵I是可逆矩阵；零矩阵是不可逆的.(1)单位矩阵I是可逆矩阵.证因为单位矩阵I满足：II=I所以I是可逆矩阵，且.(2)零矩阵是不可逆的.证设O为n阶零矩阵，因为对任意n阶矩阵B，都有OB=BO=O所以零矩阵不是可逆矩阵.可逆矩阵具有以下性质：(1)若A可逆，则是唯一的.证设矩阵B1,B2都是A的逆矩阵，则B1A=I，AB2=I，且B1=B1I=B1(AB2)=(B1A)B2=IB2=B2故是唯一的.(2)若A可逆，则也可逆，并且=A若A可逆，则也可逆，并且=A.证由公式（2-5-1）可知，A=A=I，故是A的逆矩阵，同时A是的逆矩阵，即=A.(3)若A可逆，数k0，则kA也可逆，且=若A可逆，数k0，则kA也可逆，且=证因为kA()=()()=I()kA=()()=I所以，kA可逆，且=(4)若n阶方阵A和B都可逆，则AB也可逆，且证因为A和B都可逆，即和存在，且(AB)()=A(B)=AI=A=I()(AB)=B(A)=BI=B=I根据定义2.11，可知AB可逆，且.性质(4)可以推广到多个n阶可逆矩阵相乘的情形，即当n阶矩阵A1,A2,…,Am都可逆时，乘积矩阵A1A2…Am也可逆，且(A1A2…Am=特别地，当m=3时，有(A1A2A3=问题：若n阶方阵A和B都可逆，那么A+B是否可逆？答：尽管n阶矩阵A和B都可逆，但是A+B也不一定可逆，即使当A+B可逆，例如A=，B=都是可逆矩阵，但是A+B=是不可逆的.而A+A=2A可逆，但是===2(5)若A可逆，则也可逆，且=.若A可逆，则也可逆，且=.证因为矩阵A可逆，故存在，且======根据定义2.11，可知也是可逆的，且=.三、可逆矩阵的判定若方阵A可逆，则存在，使.于是1=（定理2.1）得.把满足的方阵A称为非奇异的（或非退化的），否则就称为奇异的（或退化的）.（由此可以得到定理2.2：）定理2.2方阵A可逆的必要条件为A是非奇异的，即.（定理2.2结论是很重要的，但要注意，它是方阵A可逆的必要条件，不是充分条件.因此，大家就会想到若，方阵A是否可逆呢？要回答这个问题，需要引进伴随矩阵的概念）定义2.12对于n阶方阵A=，称n阶方阵为A的伴随矩阵，记作，其中为行列式中元素的代数余子式.（注意：伴随矩阵中各元素的位置秩序与常规的不一样，是由常规秩序经过转置后获得的.）（利用伴随矩阵可以证明：）定理2.3若方阵A是非奇异的，即，则A是可逆矩阵，并且有（定理2.3的证明请看教材.该定理不仅给出了可逆矩阵的一种判别方法，即当方阵A的行列式时，A是可逆矩阵；若，则A不是可逆矩阵.而且还给出了求逆矩阵的一种方法——伴随矩阵法，即若A可逆，那么只要求出它的伴随矩阵，再除以它对应的行列式的值，就能获得逆矩阵.）例4设矩阵判别A是否可逆？解因为==1即，所以A是可逆矩阵.例5设，问：当a,b,c,d满足什么条件时，矩阵A可逆？当A可逆时，求.解因为当时，由，（由定理2.3知道）得A可逆.又，，，（问题：2阶矩阵的伴随矩阵与原矩阵中的元素之间有什么联系？）所以，==（把定理2.2和定理2.3合在一起，得到判别矩阵A是否可逆的充分必要条件.）定理2.4矩阵A为可逆矩阵的充分必要条件是，且有.第4章可逆矩阵习题习题4.1考虑空间解析几何中平面，，的焦点问题，写出该问题确定的线性方程组以及所对应的系数矩阵，常数项和增广矩阵。考虑高三学年语文、数学、英语三门课程4次模拟高考成绩，用矩阵方法建立个人成绩档案。对本节股市中数据表格问题中的矩阵，给出一组调研数据并用矩阵表示出来。用三种不同面值的硬币分别作4、6、10次投掷实验，用数字1表示正面，表示反面，用矩阵形式把实验记录下来。习题4.2对下列矩阵计算：（1）；（2）。计算矩阵乘积或方幂：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）。计算矩阵多项式：（1）；（2）。证明：矩阵的乘法和加法还适合分配律，即本节（9）、（10）两式成立。矩阵乘法的消去律不成立，即当时，即使也不一定有。试针对矩阵举出例子。在下列各题中，求与矩阵可交换的所有矩阵：（1）；（2）；（3）；（4），其中。对任意正整数，给出的条件，并加以证明。证明：如果一个级矩阵与所有级矩阵作乘法都是可以交换的。那么这个矩阵一定是数量矩阵。证明：任何级矩阵总可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。设是对称矩阵，证明：也对称的充分必要条件是可交换。即设是实对称矩阵，证明：。证明：两个上（下）三角的乘积仍然是上（下）三角矩阵。这个性质对于对称（反对称）矩阵成立吗？试对矩阵情形讨论。习题4.3计算下列各题中矩阵乘积的行列式：（1）；（2）；（3）。判定上题中矩阵的退化性。如何仿照推论2来建立上题中（3）情形的判定？习题4.4求下列矩阵的逆矩阵：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）。求下列矩阵方程中：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）。证明：对于级方阵，如果那么就都是可逆的并且它们互为逆矩阵。证明：如果，那么可逆，并且证明：如果，那么、都可逆。设为可逆矩阵，证明：对称（反对称）对称（反对称）。对反对称情形，必然为偶数，为什么？设为可逆矩阵，证明：的伴随矩阵具有性质（1）；（2）设为可逆矩阵，证明：上（下）三角矩阵上（下）三角矩阵。习题4.5用分块方法计算下列矩阵的乘积：（1）；（2）；（3）。用分块方法计算下列矩阵的逆矩阵：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。仿照例2推导（9）。设分别为级可逆矩阵，证明：是可逆矩阵，给出其逆矩阵计算公式。利用上题结果，计算的逆矩阵：（1）；（2）。习题4.61.按定理6，写出矩阵与初等矩阵乘积的结果：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。2．用行初等变换方法求下列矩阵的逆矩阵：（1）；（2）；（3）；（4）；3．用行初等变换方法解下列矩阵方程：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。4．仿照定理9，类比求解矩阵方程的列初等变换方法。5．用列初等变换方法解下列矩阵方程：（1）；（2）。6．设为矩阵，，证明：存在级初等矩阵与级初等矩阵使其中是矩阵的标准形。习题4.71.设分别是和矩阵，计算或证明：1）；2）；3）；4），其中。2．设可逆，试证：如果可逆，则存在,并求。3．设都是矩阵，可逆并且，证明：1）；2）。浅谈分块矩阵在行列式中的应用引言:在行列式的计算中,计算方法不胜枚举,它们都是以整个行列式为对象，计算不免有些麻烦，我们能否将其分成若干块，即分块矩阵来计算整个行列式的值呢？满足这种情况的行列式有怎样特殊的性质呢？我们知道行列式有如下性质：1行列式的某一行加上另一行的倍，行列式的值不变。（性质6）2用一个数乘以行列式等于行列式的某一行或某一列。（性质2）3互换行列式中两行的位置，行列式反号。（性质4）在课本中我们计算过的值。通过按某行某列展开可得，若设，则有后又推广为=这里我们已经运用了分块矩阵的思想，下面来介绍分块矩阵的某些性质。设方阵是由如下分块矩阵组成其中都是阶矩阵，又是任一阶方阵性质1：若,则证明：由行列式的性质得性质2:若，则有.证明：此性质就相当于行列式的性质2.性质3：设，则有，m为自然数。依据行列式的性质4，可得证。计算行列式.解：设，则这里的可推广为任一阶矩阵.==证明:设都是阶方阵,其中并且,则有.证明:由性质可得又故得证。矩阵代数典型例题一、矩阵1.设矩阵A=，B=，计算(BA)-1．解因为BA==(BAI)=2.设矩阵，是3阶单位矩阵，求．解：由矩阵减法运算得利用初等行变换得即3.设矩阵，求．解：利用初等行变换得即由矩阵乘法得二、线性方程组1．设齐次线性方程组的一般解为（其中是自由元）求此齐次线性方程组的一个基础解系并求通解。解：由方程组中一般解（其中是自由元）令，得；令，得。是方程组的一个基础解系。方程组的通解为，其中是任意常数。2．当取何值时，线性方程组有解？在有解的情况下求全部解。解：因为当时，方程组有解，且一般解为（其中是自由元）令，得到一个特解为相应齐次线性方程组的一般解为（其中是自由元）令，得，为一个基础解系。方程组的全部解为（其中k1是任意常数）。收稿日期:2004208209作者简介:董同武(19682,男(汉族,湖北监利人,工程师,学士,从事化工设备设计及施工管理工作。文章编号:100027466(20050120038203热力管道的补偿设计及典型问题分析董同武(荆门炼化工程设计,湖北荆门448039摘要:简要论述了管道热补偿的基本原理,强调了在补偿设计中应注意的问题,并对近几年来一些工程项目中出现的典型问题进行了分析说明。关键词:管道;补偿设计;热应力;支架中图分类号:TQ055.8文献标识码:BCompensatingdesignandtypicalproblemsanalysisonthermalpipelinesDONGTong2wu(JingmenRefineryandChemicalEngineeringDesignCo.Ltd.,Jingmen448039,ChinaAbstract:Thebasicprincipleofthermodynamiccompensatingwasintroduced,andproperlayoutandpipesupportwasrecom2mended,atthesametime,sometypicalproblemsoccurredinengineeringinrecentyearswereanalyzedandexplained.Keywords:pipe;compensatingdesign;thermalstresses;bracket热胀冷缩是自然界的基本规律。在管道设计中,必须考虑管道的热胀或者冷缩,并且应该采取相应的措施,否则,由此产生的作用力将通过管道系统传递到固定支架和相关连的设备上,对设备以及管道的安全运行构成一定的威胁。充分认识管道推力产生的机理,对设计、施工及管道管理的各级人员都是相当重要的。文中结合近年来有关管道工程中出现的一些事故进行了分析说明,以引起相关人员的重视。1热应力与补偿111热应力若管线两端不固定,允许其自由变形,则热伸长对管子的强度没有什么影响。但在管线两端都固定的情况下,管子不能自由伸长,由于工作温度的影响迫使它产生热伸长时,在管子内部就会产生附加的热应力σ,根据虎克定律:σ=Eε=EαlΔt/l=αEΔt式中,E为管线材料的弹性模量,MPa;ε为管线材料的应变;α为管线材料的线膨胀系数,1/℃;l为管线安装时的长度,m;Δt为工作温度与安装温度之间的差值,℃。对于两端固定的直管,其热膨胀必须予以吸收(补偿,否则热应力对固定点的推力将使管线、固定点、设备以及接管的相关部分受到破坏。在工作温度为200℃时,单位长度的219mm×6mm的20无缝钢管,在直段两端固定情况下,根据虎克定律可知管子的应力附加值σ=412MPa>120MPa。120MPa为20钢管在200℃的许用应力值。由此可以看出,管子附加热应力已远超出许用应力值。此时,管道已经产生屈服并且处于不安全状态。按219mm×6mm管子截面积A′=4.01×103mm2计算,此时作用到固定点的推力F′=A′σ=1.65×106N。如此大的推力是任何设备或者支架都无法承受的。112管道热补偿为了吸收和消除管道所产生的热应力,在配管设计中,必须考虑管道的热补偿,从而使管道具有足够的弹性,以满足设备或支架的受力要求。管道的弹性指的是管道在力的作用下出现弹性变形,当力停止以后又恢复到原状的能力。在一定的变形下所需的力越小,则管道的弹性就越大。特定的管道系统是否能够依靠自身的弹性变形来吸收热膨胀,必须通过计算进行判定,一般采用ANSI提供的公式进第34卷第1期2005年1月石油化工设备PETRO2CHEMICALEQUIPMENTVol134No11Jan12005行核算[1]:DNΔ(L-r2≤21083式中,DN为管道的公称直径,Δ为管系总变形量,cm;L为管系在两固定端之间的展开长度,r为管系在两固定点之间的直线距离,m。如果满足上述判断式,则说明管系具有足够的弹性,热膨胀导致的端点位移所产生的热应力在许可范围之内,可不再进行详细的应力计算。精确的管道应力计算是相当繁琐和复杂的,必须借助于一些专用的计算软件,目前常用的有CASEARⅡ管道应力分析程序。热力管道补偿设计的核心是管道的应力分析计算,其它内容还有管道的走向布置及支架和吊架的设置等。采用应力分析计算软件进行应力计算时的一般步骤为:①以固定支架或设备划定需要计算的管道系统。②输入管系的各项计算参数,如设计压力、设计温度、管径、介质特性以及所需的管件、支架和吊架形式及其位置等。需要说明的是管系的法兰压力等级除了应满足工作介质的要求外,还更应满足管道的受力要求。有时计算结果要求的工艺管道法兰的压力等级会远高于设备本体结构法兰的压力等级,最后应由应力分析计算结果来确定。此时需要调整管道走向,改变补偿结构或者改变支架、吊架的形式和位置以满足管系应力计算结果合格。2管道应力分析程序计算中需注意的几个问题理论上热力管道的补偿设计过程和方法都是比较简单和清晰的,但实际的配管设计仍然是相当复杂的。一个完善的管道系统设计仍然需要设计人员具有相当的理论和实际工作经验。笔者根据近年来工程实际中频繁出现的一些事故,提出了在热补偿设计方面应引起注意的几个问题。211支架的设置在管系设计中应避免选用多个波形(或承插补偿器,除了两端设备外,中间支架应全为滑动管托。为避免选用多个补偿器,配管设计时应首先简化管道系统,再确定管道的位移、固定支架及其受力分布情况,最后确定承重和导向支架。选用补偿器的前提应是初步设定管道固定支架的位置,其目的是由固定支架将管道系统分割成简单的、可以独立膨胀的管段。由于热伸长是不可消除的,而固定支架的作用在于限制和控制其位移量,因此,热补偿通过安装在2个固定支架之间的补偿器来吸收。任何情况下都不要在管段的2个固定支架之间安装多个单式膨胀节[2,3]。212管道膨胀节的应用管道膨胀节作为专用的补偿元件,在应用时必须考虑内压推力和波纹管的轴向弹力。内压作用在波纹管壁上产生的反作用力称为波纹补偿器的内压推力,可按F″=pA=0.785pDi2计算。式中,F″为内压推力,N;p为管道内压力,MPa;A为膨胀节的有效面积,mm2;Di为波纹管中径,mm。内压推力可沿波纹管壁传到固定支架上,使支架承受相应的推力。为了使固定支架免受巨大的推力,可用连杆、铰链或平衡环将膨胀节的两端连接起来。如某输运管道直径为1450mm,其管内压力为010981MPa,波纹管中径为1500mm,根据计算其内压推力F″=173269N。这对管道支架或设备元件都将构成很大威胁。可见,在大直径管道上使用波形膨胀节时,内压推力和波纹管变形力(轴向弹力会很大。为此,必须仔细考虑以下问题:①对设备或支架的推力是否允许。②对压力平衡型或铰链型膨胀节,所有附属部件,如铰链板、销轴和平衡环都应仔细地进行强度核算,其中铰链板和销轴的计算可用常规方法,而平衡环的计算则必须按曲梁理论,或按照有关标准规范进行设计计算[4]。某热电厂蒸汽管道的压力平衡型补偿器因附属部件未作强度核算,导致补偿器爆破、管线断裂和固定支架损坏的重大工程事故发生,造成了巨大的直接经济损失[5]。213内压流体对弯管的作用力在管线的末端、拐弯处、分支点以及装有阀门的地方,管道内流动的流体会对管道产生压力推力以及离心力。这种作用力会通过管道传递到相应的固定支架上,因此,管道的固定支架以及与其相连的结构都必须能承受作用在它们上面的所有的力。内压流体作用下90°弯管的受力见图1,图1中的受力计算如下:F=Fx2+Fy2Fx=p1A1+ρqVv1Fy=p2A2+ρqVv2式中,Fx为流体对弯管在x方向的分力,Fy为流体对弯管在y方向的分力,F为流体对弯管作用力,N;p1和p2为管道内流体压力,MPa;A1和A2为管道有效截面积,m2;ρ为流体密度,kg/m3;qV为通过管段的体积流量,m3/s;v1和v2为流体速度,m/s。・93・第1期董同武:热力管道的补偿设计及典型问题分析2004年某厂新建的CFB锅炉装置的一段抽汽管道放空线的出口处为1个90°弯头,在第1次放空时突然断裂,DN350mm的弯管飞出导致发生了一人当场死亡、装置紧急停工的重大恶性事故。事故的直接原因是由于没有考虑放空时流体对90°弯头产生的作用力,由于现场支架只能满足介质竖直向上排放的减震和受力要求,因此,由介质产生的巨大内压推力及离心力导致了DN350mm管段从根部断裂后飞出。图1内压流体对弯管的作用力图2挥发线热补偿结构示图图3管系固定点的设置示图214长拉杆复式膨胀节的支撑对长拉杆复式膨胀节中间管段应采取支撑措施。否则,由于中间管段重力(包括附件和保温材料的作用,将使复式膨胀节上、下2组波在高温时产生严重不均匀变形。中间管段可支撑在拉杆上,也可用弹簧支(吊架专门支撑。某炼油厂烟机入口管道的长拉杆复式膨胀节,由于未采取支撑措施,使用很短时间后就失效了[6]。215管系自补偿设计时应注意的问题某常压塔挥发线管道热补偿结构见图2[7],规格为377mm×10mm,此管道在正常操作时,由于各处温度一致,管系本身的弹性是满足要求的。但是,在开工时,由于塔体温度与挥发线温度不一致,上部支承点A阻碍了管道向下的弹性变形,整个管系的弹性被破坏,致使下部弯头焊缝处2次开裂。可见此挥发线热补偿结构是失败的。原因就在于对多种工艺状况考虑不周。因此,弹性自补偿设计需要综合考虑各个方面的因素[1,8]。又如图3所示的情况,在图3a中,将固定点上移则可取消“象鼻弯”,如图3b所示;在图3c中L的设置应能吸收竖管的热胀、端点位移以及设备的不均匀沉降。若管段质量很大时,应在L范围内装设弹簧支(吊架支撑。3结语由于管道热力补偿设计不合理或是施工不当,都会严重影响到整个装置的正常安全生产,因此,管道的施工安装也必须严格遵循有关标准,并且予以实施。文中所述是笔者在工程中遇到的容易被忽视的问题,希望能引起同行们的重视。参考文献:[1]张德姜,王怀义,刘绍叶.石油化工装置工艺管道安装设计手册(第一篇[M].北京:中国石化出版社,1994.[2]章忻.膨胀节在管道上的应用[J].石油化工设备技术,1998,19(6:12213.[3]黎廷新.膨胀节[J].化工炼油机械通讯,1977,6(2:51268[4]于济民.平衡环膨胀节的平衡环计算[J].石油化工设备技术,1990,11(6:51253.[5]章彤.热电厂波纹管及管网破坏原因分析[J].压力容器,1994,11(1:68270.[6]魏淑英,齐凯.烟机入口管线膨胀节[J].石油化工设备技术,1990,11(5:25227.[7]党飞鹏.常压塔挥发线热位移补偿结构改造[J].石油化工设备,1998,27(5:52254.[8]炼油装置工艺管线安装设计手册编写小组1炼油装置工艺管线安装设计手册(下册[M].北京:石油工业出版社,1978.(许编・04・石油化工设备2005年第34卷第一章误差分析与向量与矩阵的范数一、内容提要本章要求掌握绝对误差、相对误差、有效数字、误差限的定义及其相互关系；掌握数值稳定性的概念、设计函数计算时的一些基本原则和误差分析；熟练掌握向量和矩阵范数的定义及其性质。1．误差的基本概念和有效数字1）．绝对误差和相对误差的基本概念设实数x为某个精确值，a为它的一个近似值，则称x-a为近似值a的绝对误差，简称x-a为误差．当x≠0时，x称为a的相对误差．在实际运算中，精确值x往往是未知的，所x-a以常把a作为a的相对误差．2）．绝对误差界和相对误差界的基本概念设实数x为某个精确值，a为它的一个近似值，如果有常数ea，使得x-a≤eaeaa称ea为a的绝对误差界，或简称为误差界．称是a的相对误差界．此例计算中不难发现，绝对误差界和相对误差界并不是唯一的，但是它们越小，说明a近似x的程度越好，即a的精度越好．3）．有效数字设实数x为某个精确值，a为它的一个近似值，写成a=±10k⨯0.a1a2an它可以是有限或无限小数的形式，其中ai(i=1,2,)是0,1,,9中的一个数字，a1≠0,k为整数．如果x-a≤1⨯10k-n2则称a为x的具有n位有效数字的近似值．如果a有n位有效数字，则a的相对误差界满足：4）．函数计算的误差估计如果y=f(x1,x2,,xn)为n元函数，自变量x1,x2,,xn的近似值分别为a1,a2,,an，则x-a1≤⨯101-n。a2a1⎛∂ff(x1,x2,,xn)-f(a1,a2,,an)≈∑k=1⎝∂xkn⎫⎪⎪(xk-ak)⎭a∂f⎫∂其中⎛⎪=f(a1,a2,,an)，所以可以估计到函数值的误差界，近似地有⎪⎝∂xk⎭a∂xk⎛∂ff(x1,x2,,xn)-f(a1,a2,,an)≤ea≈∑k=1⎝∂xkn⎫⎪⎪eak⎭a如果令n=2，设x1,x2的近似值分别为a1,a2，其误差界为x1-a1≤ea和x2-a2≤ea2，1取y=f(x1,x2)为x1,x2之间的四则运算，则它们的误差估计为，ea1±a2≈ea1+ea1；ea1⋅a2≈a1ea1+a2ea1；ea1≈a2a1ea1+a2ea1a2，a2≠0。数相加或减时，其运算结果的精度不会比原始数据的任何一个精度高．对于两个数作相减运算时，由于其相对误差界：ea1±a2a1-a2≈ea1+ea2a1-a2。如果x1和x2是两个十分接近的数，即a1和a2两个数十分接近，上式表明计算的相对误差会很大，导致计算值a1-a2的有效数字的位数将会很少。对于两个数作相除运算时，由于其相对误差界：ea1≈a2a1ea1+a2ea1a2。从关系式中可以看出，如果x2很小，即a2很小，计算值5）．数值稳定性的概念、设计算法时的一些基本原则a1的误差可能很大。a2⑴算法的数值稳定性：一个算法在计算过程中其舍入误差不增长称为数值稳定。反之，成为数值不稳定。不稳定的算法是不能使用的。⑵在实际计算中应尽量避免出现两个相近的数相减。⑶在实际计算中应尽力避免绝对值很小数作除数。⑷注意简化运算步骤，尽量减少运算次数。⑸多个数相加，应把绝对值小的数相加后，再依次与绝对值大的数相加。2．向量和矩阵范数把任何一个向量或矩阵与一个非负实数联系起来，在某种意义下，这个实数提供了向量和矩阵的大小的度量。对于每一个范数，相应地有一类矩阵函数，其中每一个函数都可以看作矩阵大小的一种度量。范数的主要的应用：一、研究这些矩阵和向量的误差估计。二、研究矩阵和向量的序列以及级数的收敛准则。1）向量范数定义存在R（n维实向量空间）上的一个非负实值函数，记为f(x)=x，若该函数满足以下三个条件：即对任意向量x和y以及任意常数α∈R（实数域）（1）非负性x≥0，并且x=0的充分必要条件为x=0;（2）齐次性nx=αx；（3）三角不等式x+y≤x+y．则称函数为R上的一个向量范数．n常用三种的向量范数设任意ｎ维向量x=(x1,x2,,xn)T，（x为向量x的转置），Tx1=∑xi，向量的1-范数i=1n⎛n2⎫x2=∑xi⎪⎝i=1⎭x∞1≤i≤n=xT⋅x=(x,x，向量的2-范数1=maxxi，向量的∞-范数一般情况下，对给定的任意一种向量范数，其加权的范数可以表为xW=x，其中W为对角矩阵，其对角元作为它的每一个分量的权系数。向量范数的连续性定理R上的任何向量范数x均为x的连续函数。向量范数的等价性定理设⋅α和⋅为R上的任意两种向量范数，则存在两个与向量βnnx无关的正常数c1和c2，使得下面的不等式成立c1x2).矩阵范数定义存在R任意的A,B∈Rn⨯nβ≤xα≤c2xβ，其中∀x∈Rn.（n⨯n维复矩阵集合）上的一个非负实值函数，记为f(A)=，对均满足以下条件：n⨯n（1）非负性：对任意矩阵A均有A≥0，并且A=0的充分必要条件为A=O;（2）齐次性：A=A，α∈C；（3）三角不等式：A+B≤A+B,A,B∈Rn⨯n；（4）相容性：AB≤A⋅B,A,B∈Rn⨯n，则称⋅为Rn⨯n上的矩阵范数。我们可定义如下的矩阵范数：Am=∑∑aij，矩阵的m1-范数1mni=1j=1⎛2⎫FAF=∑∑(aij)⎪⎪，矩阵的-范数（Frobenius）范数。⎝i=1j=1⎭mn12（矩阵范数与向量范数相容性定义）对于一种矩阵范数⋅果对任意n×n矩阵A和任意n维向量x,满足M和一种向量范数⋅V，如AxV≤AMxV，则称矩阵范数⋅M与向量范数V是相容的。3）矩阵的算子范数定理已知R上的向量范数V，A为n×n矩阵，定义AnM=maxx≠0Axx=AxVxV=1则AM是一种矩阵范数，且与已知的向量范数相容，称之为矩阵的算子范数。三种常用的矩阵的算子范数A1=max∑aij；(列范数)1≤j≤ni=1mA∞=max∑aij．(行范数)1≤i≤mj=1nA2TT=λma(xAA),（谱范数）T其中λmax(AA)表示矩阵AA的最大特征值。对任何算子范数，单位矩阵I∈Rn⨯n的范数为1，即I=1。可以证明：①任意给定的矩阵范数必然存在与之相容的向量范数；任意给定的向量范数必然存在与之相容的矩阵范数（如从属范数）．②一个矩阵范数可以与多种向量范数相容（如矩阵m1范数与向量p-范数相容）；多种矩阵范数可以与一个向量范数相容（如矩阵F-范数和矩阵2-范数与向量2-范数相容）。③从属范数一定与所定义的向量范数相容，但是矩阵范数与向量范数相容却未必有从属关系。（如，⋅F与向量2、m1与向量⋅1相容，但无从属关系）。④并非任意的矩阵范数与任意的向量范数相容。4）矩阵范数的性质①设为Rn⨯n矩阵空间的一种矩阵范数，则对任意的n阶方阵A均有ρ(A)≤A．其中ρ(A)=maxλdet(λI-A)=0为方阵A的谱半径。T注意：当A=A时，A2={}λmaxATA=λmaxA2=λmax(A)=ρ(A)。n⨯n②对于任给的ε>0,则存在R使得A③对于Rn⨯n上的一种算子范数M（依赖矩阵A和常数ε），M≤ρ(A)+ε．n⨯n上的一种算子矩阵范数，如果A∈R且A<1,则In±A可逆且(In±A)-1二、典型例题分析≤1．1-A例1．1：下列近似值的绝对误差限均为0.005，问它们各有几位有效数字？a=138.002，b=-0.0312，c=0.86⨯10-4解：现将近似值写成标准形式：a=0.138002⨯103,b=-0.312⨯10-1,c=0.86⨯10-4,在直接根据有效数字定义得出，x-a≤1⨯10-2⇒k-n=3-n=-2⇒n=5，即a有52位有效数字；x-b≤1⨯10-2⇒k-n=-1-n=-2⇒n=1，即b有1位有效数字；2x-c≤1⨯10-2⇒k-n=-4-n=-2⇒n=-2，即c无有效数字。2m例1．2：已知x的相对误差为0.003，求a的相对误差。解：此题要利用函数计算的误差估计，即取f(x)=xm，f'(x)=m⋅xm-1，则由f(x)-f(a)≈f'(a)(x-a)，可推出x-a≈m⋅ammm-1⋅(x-a)，故am的相对误差为xm-amx-a≈m⋅=0.003m。ama例1．3：此为减少运算次数达到避免误差危害的例子利用3位算术运算求f(x)=x3-6.1x2+3.2x+1.5在x=4.71处的值。表中给出了传统的方法的计算的中间结果。在这里我们使用了两种取值法：截断法和舍入法。精确值xx2x36.1x23.2x4.7122.1841104.487111135.3230115.07210410413513515.015.13位数值（截断法）4.7122.13位数值（舍入法）4.7122.1精确值：f(4.71)=104.487111-135.32301+15.072+1.5=-14.2638993位数值（截断法）：f(4.71)=((104-134)+15.0)+1.5=-13.53位数值（舍入法）：f(4.71)=((105-135)+15.1)+1.5=-13.4上述3位数值方法的相对误差分别是作为另一种办法，用秦九韶方法（嵌套法）可将f(x)写为f(x)=x3-6.1x2+3.2x+1.5=((x-6.1)x+3.2)x+1.5那么，3位数值（截断法）：f(4.71)=((4.71-6.1)4.71+3.2)4.71+1.5=-14.2=(-1.38⨯4.71+3.2)⨯4.71+1.5=(-6.54+3.2)⨯4.71+1.5=-3.34⨯4.71+1.5=-15.7+1.5=-14.23位数值（舍入法）：f(4.71)=((4.71-6.1)4.71+3.2)4.71+1.5=-14.2=(-1.38⨯4.71+3.2)⨯4.71+1.5=(-6.55+3.2)⨯4.71+1.5=-3.35⨯4.71+1.5=-15.8+1.5=-14.3则相对误差分别是可见使用秦九韶方法（嵌套法）已将截断近似计算的相对误差减少到原方法所得相对误差的10%之内。对于舍入近似计算则改进更大，其相对误差已减少95%以上。多项式在求值之前总应以秦九韶方法（嵌套法）表示，原因是这种形式使得算术运算次数最小化。本例中误差的减小是由于算术运算次数从4次乘法和3次加法减少到2次乘法和3次加法。减少摄入误差的一种办法是减少产生误差的运算的次数。例1．4：已知近似值a1=1.21，a2=3.65，a3=9.81均为有效数字，试估计如下算术运算的相对误差。a1⋅a2+a3解：由已知，x1-a1≤令1111⨯10k-n=⨯10-2；x2-a2≤⨯10-2；x3-a3≤⨯10-2。2222f(x1,x2,x3)=x1⋅x2+x3，f(a1,a2,a3)=a1⋅a2+a3，由函数运算的误差估计式f(x1,x2,x3)-f(a1,a2,a3)≈fx'1(a1,a2,a3)(x1-a1)+fx'2(a1,a2,a3)(x2-a2)+fx'3(a1,a2,a3)(x3-a3)=a2(x1-a1)+a1(x2-a2)+(x3-a3)从而，相对误差可写成f(x1,x2,x3)-f(a1,a2,a3≤a2x1-a1+a1x2-a2+x3-a3fa1,a2,a3fa1,a2,a3≤1.21+3.65+11⨯⨯10-2=0.06﹟1.21⨯3.63+9.812若x=3.000，a=3.100，则绝对误差x-a=-0.1，相对误差为：x-a-0.100==-0.0333=-0.333⨯10-1；x3.000若x=0.0003000，a=0.0003100，则绝对误差x-a=-0.1⨯10，相对误差为：-4x-a-0.000100==-0.333⨯10-1；x0.000300044若x=0.3000⨯10，a=0.3100⨯10，则绝对误差x-a=-0.1⨯10，3x-a-0.1⨯103==-0.333⨯10-1；相对误差为：4x0.3000⨯10这个例子说明绝对误差有较大变化时，相对误差相同。作为精确性的度量，绝对误差可能引起误解，而相对误差由于考虑到了值的大小而更有意义。例1．5：在R中用图表示下面的点集，并指出它们的共同性质。2S1=xx≤1,x∈R2，S2=xx2≤1,x∈R2，S3=xx∞≤1,x∈R2解：这些点集的共同性质是：它们都是有界、闭的、凸的，关于原点对称的。例1．6：xp⎛np⎫=∑xi⎪,⎝i=1⎭{}{}{}p1≤p<+∞．其中xi表示xi的模．此范数→x∞。称p-范数，而且１，2范数为当ｐ＝１，2时的范数。而当p→∞时，有xp证明：事实上，x两边开p次方得p∞=maxxi≤∑x≤n⋅xi=n⋅x∞1≤i≤ni=11≤i≤npnpppx∞≤(∑x)≤n⋅x∞，由于limn=1，故xpnp1p1pi=1p→∞p→x∞。例1．7：证明2为C空间上向量范数。Tn证明：（1）对任给ｎ维向量x=(x1,x2,,xn)∈C，若x≠0，则x1,x2,,xn不全为n零，故x2=x1+x2++xn>0222（2）对任给α∈C，x=(x1,x2,,xn)T∈Cn，则⋅x2=⋅x1+⋅x2++⋅xn=⋅x1+x2++xn=⋅x2（3）对任给x=(x1,x2,,xn)T∈Cn，y=(y1,y2,,yn)T∈Cn则由Cauchy-Schiwatz不等式：(x,y)≤22222222(x,x)⋅(y,y)=x2⋅y2可得x+y2≤(x+y,x+y)=(x,x)+(y,x)+(x,y)+(y,y)≤x2+2(x,y)+y2≤x2+2x⋅y+y2,=(x2+y2)。由向量范数的定义，⋅2为C空间上的向量范数。例1．8设A=2n22222⎛100⎫⎪，求A⎪⎝024⎭3ijm1、AF、1、A∞和2。解：Am=1∑∑ai=1j=12i=1=1+2+4=7；AF===1,6}=6；A1=max∑aij=max{1,2,4}=4；A∞=max∑aij=max{1≤j≤n1≤j≤n31≤i≤nj=11≤j≤n⎛10⎫⎛100⎫⎪⎪100⎛⎫T48AA注意到，=⎪⎪，令024⎪⎪=⎭0816⎪04⎪⎝⎝⎭⎝⎭detλI-ATA=()λ-10000-8=(λ-1)(λ-4)(λ-16)-64(λ-1)=0λ-16=λmax(ATA)=20=2。λ-4-82T得，ρ(AA)=20，从而A1．3习题1、填空题(1)设A=⎛10⎫⎪,则A1A∞AFA2A的⎪⎝23⎭谱半径ρ(A)=3。(2)x=(3,0,-4,12)T∈R4，则xx3∞x23(3)记x=(x1,x2,x3)T∈R3，判断如下定义在R上的函数是否为R上的向量范数（填是或不是）.x=x1+2x2-x3（不是）x=x1+x2+x3不x=x1+2x2+3x3）是）。(4)使70=8.36660026534的近似值a的相对误差限不超过0.1％，应取几有效数字,a=.2、证明（1）x∞≤x1≤nx∞；（2）nn⨯nx∞≤x2≤nx∞是非奇异矩阵，定义x=Px，证明：算子3、设‖x‖为R上任一范数，P∈R-1范数Ap=PAP。4、设A为n阶非奇异矩阵，U为n阶酉矩阵.证明：(1)2=1；(2)AU2=2=A25、已知e=2.71828，问以下近似值xA有几位有效数字，相对误差是多少？（1）x=e,xA=2.7（2）x=e，xA=2.7（3）x=ee,xA=0.027,（4）x=,xA=0.02718.10010026、给定方程x-26x+1=0，利用≈12.961，求精确到五位有效数字的根。并求两个根的绝对误差界和相对误差界。7.在五位十进制计算机上求S=545494+∑ε+∑δii=1i=110050i，的和，使精度达到最高，其中εi=0.8,δi=2。8.在六位十进制的限制下，分别用等价的公式（1）f(x)=ln(x-x2-1)；（2）f(x)=-ln(x+x2-1)计算f(30)的近似值，近似值分别为多少？求对数时相对误差有多大？9.若用下列两种方法i⎛95i⎫-5*-5i5*⎪=x（1）e≈∑(-1)，=x1，（2）e≈∑2⎪i!i!i=0⎝i=0⎭9-1计算e的近似值，问那种方法能提供较好的近似值？请分析原因。10.计算f=(2-1)6，取2≈1.4，直接计算f和利用下述等式-512+1,(3-22),33+221,99-2；计算，那一个最好？11.如何计算下列函数值才比较准确。（1）1111-,对x<<1；（2）x+-x-,对x>>1；1+2x1+xxx（3）⎰N+1Ndx1-cosx,其中N,对x<<1。充分大；（4）2sinx1+x1.4习题解答1、解（1）有定义，A1=A∞AF=,A2=7+2及ρ(A)(2)x=(3,0,-4,12)∈R，则x=19,xT4∞=12,x2=13。⎛1⎫⎪2⎪。(3)（是）；为给定向量1-范数的加权的范数，其中取对角矩阵，W=3⎪⎝⎭（不是）；不满足向量范数性质1；（不是）；不满足向量范数性质1。(4)a=8.3667。因=8.36660026534，a1=8，要是得相对误差限不超过0.1%，即70-aa≤0.001，则70-aa101-n1≤=⨯101-n≤0.001时，有n=4。2a116n2、只就（2）证明，由定义可得，x∞=xk≤∑xk=x2≤∑maxxk=nx∞kk=1k=1k22n2222从而，x∞≤x2≤nx∞。P3、首先，证明x1）因P∈Rn⨯n=Px是一向量范数。事实上，是非奇异矩阵，故∀x≠0，Px≠0，故Px=0时，x=0，且当x=0时，=0，于是，x2）对∀α∈R，3）x+yP=Px≥0当且仅当x=0时，xP=Px=0成立；xP=P(αx=(Px=⋅Px=⋅xP；P=P(x+y=Px+Py≤+Py=xP+yP。故xP是一向量范数。再AP=maxx≠0AxPxPPAP-1PxPAx=max=max，x≠0x≠0PxPx()令y=Px，因P非奇异，故x与y为一对一，于是