毕业：复变函数的孤立奇点及其应用(完整版)资料

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毕业：复变函数的孤立奇点及其应用（完整版）资料(可以直接使用，可编辑优秀版资料，欢迎下载）论文题目：复变函数的孤立奇点及其应用学生姓名：学生学号：专业班级：学院名称：2011年4月7日复变函数的孤立奇点及其应用摘要孤立奇点的应用在复变函数的教学以及学习中有着重要的作用。而留数的计算是复变函数中经常碰到的问题，本文主要探讨了孤立奇点在留数计算中的应用。函数在不同的孤立奇点的不同类型处，其计算的方法也不同，所以首先我们要对其做出判断。再根据孤立奇点类型的不同对应不同的留数求法，分别从可去奇点，本质奇点处留数的求法，极点处留数的求法，无穷远点的留数的求法，其中在本文中因为考虑极点处的留数求法又根据：单极点、二阶极点、阶极点的求法不同，结合例子给出极点阶数的判断方法。另外，还采用了变量替换的方法，增加了一个计算留数的公式。关键字：孤立奇点；可去奇点；极点；本质奇点；留数；IsolatedsingularitiesanditsapplicationAbstractIsolatedsingularpointintheapplicationofcomplexfunctionofteachingandlearningplaysanimportantrole.Theresidueofthecalculationiscomplexfunctionoftenencounterproblems,thepaperfocusedonasingularpointinisolationremaininthecalculationofthenumberofapplications.Differentfunctionsintheisolationofthedifferenttypesofsingularpoint,thecalculationmethodsarealsodifferent,sofirstofallwehavetomaketheirjudgement.Accordingtoisolatedifferenttypesofsingularpointtodifferentstayforafew,weretogofromthesingularpointis,inessence,tostayafewcriticalpointsforthelaw,thenumberofPolesseekingtostaythelaw,infinitenumberofpointstostayforthelaw,whichinthispaperInviewofthePolestostayforafewinaccordancewithlaw:aunipolarpoint,second-orderpole,thepole-ordersolutiondifferent,withexamplesgivenpoleorderofthejudgementmeans.Inaddition,thevariablesusedtoreplacethemethod,anincreaseofaformulaforcalculatingthenumberofstay.Keywords:isolatedsingularpoint;singularpointtogo;pole;natureofsingularityandreservations目录摘要…………………ⅡAbstract…………Ⅱ孤立奇点的定义3孤立奇点的判别方法4孤立奇点的应用6参考文献10第一章孤立奇点的定义假设X是一个代数簇，P∈X是X上的一个奇点，如果存在一个包含P的开邻域（又称开集)U，使得U中不在包含其他的奇点，那么就称P是孤立奇点。f（z）在0＜｜z－a｜≤R上解析，即a是f（z）的孤立奇点留数定理及其应用，则称积分值（1／2πi）∫｜z－a｜＝Rf（z）dz为f（z）关于a点的留数，记作Res[f（z），a]。如果f（z）是平面流速场的复速度，而a是它的旋源点（即旋涡中心或源汇中心），则积分∫｜z－a｜＝Rf（z）dz表示旋源的强度——环流量，所以留数是环流量除以2πi的值。由于解析函数在孤立奇点附近可以展成罗朗级数：f（z）＝∑ak（z－a）k，将它沿｜z－a｜＝R逐项积分，立即可见Res[f(z)，a]＝a-1，这表明留数是解析函数在孤立奇点的罗朗展式中负一次幂项的系数。函数不解析的点为奇点.如果函数f(z)虽在z0不解析,但在z0的某一个去心邻域0<|z-z0|<d内处处解析,则z0称为f(z)的孤立奇点.如果在洛朗级数中不含z-z0的负幂项,则孤立奇点z0称为f(z)的可去奇点如果在洛朗级数中含有无穷多个z-z0的负幂项,则孤立奇点z0称为f(z)的本性奇点.不恒等于零的解析函数f(z)如果能表示成f(z)=(z-z0)mj(z),其中j(z)在z0解析且j(z0)0,m为某一正整数,则z0称为f(z)的m级零点.留数是复变函数论中重要的概念之一，它与解析函数在孤立奇点处的洛朗展开式、柯西复合闭路定理等都有密切的联系.设是解析函数的孤立奇点，我们把在处的洛朗展开式中负一次幂项的系数称为在处的留数.记作，即=.显然，留数就是积分的值，其中C为解析函数的的去心邻域内绕的闭曲线.第二章孤立奇点的判别方法设函数在区域D内除有限个孤立奇点外处处解析，C是D内包围各奇点的一条正向简单闭曲线，那么.一般来说，求函数在其孤立奇点处的留数只须求出它在以为中心的圆环域内的洛朗级数中项系数就可以了.但如果能先知道奇点的类型，对求留数更为有利.例如，如果是的可去奇点，那么.如果是本性奇点，那就往往只能用把在展开成洛朗级数的方法来求.若是极点的情形，则可用较方便的求导数与求极限的方法得到留数.函数在极点的留数法则1：如果为的简单极点，则（5.4）法则2：设，其中在处解析，如果，为的一阶零点，则为的一阶极点，且.（5.5）法则3：如果为的m阶极点，则.（5.6）无穷远点的留数定义5.5设为的一个孤立奇点，即在圆环域内解析，则称（）为在点的留数，记为，这里是指顺时针方向（这个方向很自然地可以看作是绕无穷远点的正向）.如果在的洛朗展开式为，则有.这里，我们要注意，即使是的可去奇点，在的留数也未必是0，这是同有限点的留数不一致的地方.定理5.8如果在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为，则在各点的留数总和为零.关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则.法则4：.孤立奇点的应用例1指出下列函数在零点z=0的级：（1）（2）.解（1）用求导数验证：记，不难计算即故为函数的四阶零点.由泰勒展式：由展开式可知其中内解析，.故为函数的四阶零点.（2）由展开式可知其中在内解析，.故是函数的15阶零点.例2证明不恒为零的解析函数的零点是孤立的.即若不恒为零的函数在内解析，，则必有a的一个领域，使得在其中无异于a的零点（解析函数零点的孤立性）.分析由于解析函数不恒为零且，所以利用在点a的泰勒展开式可知，总存在自然数，使，（否则独所有m，，由泰勒定理矛盾）.于是可设a为的m阶零点，然后由零点的特征来讨论.证（不妨设）a为的m阶零点，其中内解析，.因在a处解析，则有，可取，存在着，当时，，由三角不等式便知当时即有，故在a的邻域内使.例3确定函数的孤立奇点的类型.解因为，所以是分母的六阶零点，从而是函数的六阶极点.例4判别函数的有限奇点的类型.解因为在没有定义，更不解析，所以是的奇点，在内，展开为洛朗级数：

，有无穷多负幂项，故是的本性奇点.例5考察函数在点的特性.解因为是分母的零点，所以这些点是的极点..从而知是这些极点的极限点，不是孤立奇点.例6求出函数的全部奇点，并确定其类型.解分母有四个一阶零点，它们不是分子的零点，因此是函数的一阶极点.又，所以是的可去奇点.例7求出函数的全部奇点，并确定其类型.解容易求得是的一阶极点，这是因为.当，而 ，所以，是函数的可去奇点，是的一阶极点.又是极点当时的极限点，不是孤立奇点.例8求所有孤立奇点处的留数：解：函数有孤立奇点0和，而且易知在内有洛朗展开式这既可以看成是函数在的去心邻域内的洛朗展开式，也可以看成是函数在的去心邻域内的洛朗展开式.所以.参考文献：[1]高等教育出版社《高等代数》[2]对外经济贸易大学出版社《考研数学基础训练经典题集》[3]实变函数与泛函分析基础（第3版）程其襄[4]复变函数论(第三版)全程导学及习题全解王玉玉目录摘要……………1引言……………2一凸函数概念及其定义………3（一）凸函数的几种不同定义………………3（二）几种不同定义之间的相互联系………5二凸函数的有关结论…………6（一）凸函数的运算性质……………………6（二）凸函数的其它性质……………………7（三）凸函数的充要条件……………………9三对数性凸函数的定义及其性质……………11（一）对数性凸函数的定义…………………12（二）对数性凸函数的基本性质……………13（三）与对数性凸函数的性质相关的定理…………………14（四）对数性凸函数性质的应用……………15结束语…………17参考文献………………………17浅谈凸函数及其应用摘要：凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于jensen著作中它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划，对策论数理经济学，变分学和最优控制学科的理论基础和有力工具。为了理论上的突破，加强他们在实践中的应用，产生了广义凸函数。本文由凸函数的定义出发，研究了凸函数的判定及其应用，总结了凸函数的许多重要性质，列举了凸函数的几个著名的不等式引入对数性凸函数的概念,获得了对数性凸函数的若干基本性质,并讨论了对数性凸函数的基本性质的一些应用,受文[1]的启发,在文[1]的基础上,在本文中,我们获得了对数性凸函数的七个基本性质，并讨论了对数性凸函数性质的应用。其中包括应用比较广泛的詹森（Jensen）不等式、赫尔德（Hölder）不等式、闵可夫斯基（Minkowski）不等式及一些初等不等式.关键词：凸函数;对数性凸函数；不等式;证明;应用ConvexFunctionanditsApplicationAbstract:convexfunctionisakindofimportantfunction,itsconceptformmostearlyinJenseninthewriting.IthasnumerousapplicationinbroadfieldsofpureMathematicsandappliedMathematics.Convexfunctionisnowplaysimportanttheoreticalbasicandusefultoolstomangsubjectssuchasmathematicalplanningtheory,responsetheory,numericaleconomics,changehotheoryandsub-optimalcontrolandsoon.Fortheoreticalbreakthrough,reinforcetheirapplicationinpractice,producedgeneralizedconvexfunction.Enumeratedconvexfunctionisintroducedseveralfamousinequalitylogarithmicratioconvexfunctionconcept,wonthelogarithmicratiosomebasicpropertiesofconvexfunction,anddiscussedthelogarithmicratioofbasicpropertiesofconvexfunctionbysomeoftheapplication,theinspirationof[1],[1]inthebasis,inthispaper,weobtainthelogarithmicsexconvexfunctionissevenbasicproperties,anddiscussesthepropertiesoflogarithmicratioconvexfunctionapplications.Thispaperinvestigatesthecriterionsofconvexfunctionanditsapplicationsbasedonthedefinitionofconvexfunction,summarizesmanyimportantpropertiesofconvexfunctions,andlistsseveralwell-knowninequalitiesofconvexfunction,includingJenseninequality,Hölder'sinequality,Minkowskiinequalityandsomeelementaryinequalities,whicharewidelyapplied.Keywords:convexfunction;Logarithmicallyconvexfunctionsex；inequality;proof;application引言一、凸函数的概念及其定义（一）凸函数的几种不同定义定义1如果函数在上连续，对上任意不同的两点，有,则称是上的下凸函数.定义2设为定义在区间上的函数，若对上任意两点和任意实数有，则称是区间上的下凸函数.定义3设函数定义在区间上，对于上任意三点，下列不等式中任何两个组成的不等式成立，，称是区间上的下凸函数.注：（1）若将定义1，2，3中的“”改为“”，则称为上的严格下凸函数.（2）若定义1，2，3中的“”改为“”，则称为区间上的上凸函数.定义4利用二阶导数判断曲线的凸向:例设函数在区间内存在二阶导数,则在内⑴在内严格上凸;⑵在内严格下凸.证法一(用Taylor公式)对设,把在点展开成具Lagrange型余项的Taylor公式，有其中和在与之间.注意到,就有于是,若有上式中,即严格上凸若有上式中,即严格下凸.证法二(利用Lagrange中值定理.)若则有严格单调增.不妨设,并设分别在区间和上应用Lagrange中值定理,有有，又由，，即，严格下凸.可类证情况.（二）几种不同定义之间的相互联系（1）在定义2中区间，为连续函数，当时，定义2即为定义1.（2）令，那么，令，代入定义3中任意一式，变形后即得定义2中的形式.二凸函数的有关结论（一）凸函数的运算性质性质1若为区间上的下（上）凸函数，为非负实数，则也为区间上的下（上）凸函数.性质2若均为区间上的下（上）凸函数，则也为区间上的下（上）凸函数.推论若均为区间上的下（上）凸函数，为非负实数，则也为区间上的下（上）凸函数.性质3若为区间上的下（上）凸函数,为上的下（上）凸增函数，且，则为区间上的下（上）凸函数.性质4若均为区间上的下（上）凸函数，则也是区间上的下（上）凸函数.（二）凸函数的其他性质定理1设为区间上的严格下凸函数,若有是的极小值点，则是在上唯一的极小值点.证明若有异于的另一极小值点，不妨设，由于是区间上严格下凸函数,故对于任意的,都有

.于是对任意,只要充分接近1，总有但是,.这与是的极小值点矛盾，从而是在上唯一的极小值点.定理2设为开区间上的凸函数，则对任何上满足Lipchitz条件，即存在,对任何，成立.证明当取定后，因为是开区间，必能在中选取四点满足.任取,现令则有，,由于上述常数与中的点无关，因此在上满足Lipchitz条件：存在,使得,对.定理3设是上的下凸函数,则在上处处存在左、右导数,且证明，记.任意且定义3得即在上单调递增;再在QUOTE右方任取一定点,由定义3得所以在上单调递增且有上界,故由单调原理极限QUOTE存在,即存在;同理可证,极限存在,即存在,任意由定义3有在上式中令，,则有（三）凸函数的充要条件定理4设为上的可微函数,则如下三者互相等价:为区间上的下凸函数;为区间上的递增函数;对区间上任意两点,有.

证明在区间上任取两点及充分小的正数根据的凸性及定义3有.由的可微性,当时,有，所以为区间上的递增函数.

在以,为端点的区间上,应用拉格朗日中值定理,存在介于与之间的点,使得

.由于在区间上单调递增,设有,因而就有和最后合并上两式即得

设,为上任意两点,，令，则.由有分别用和分别乘以上面两式并相加得到从而,为区间上的凸函数.

推论设为区间上的二阶可导函数，则为下凸函数

.定理5为区间上下凸函数的充要条件是函数为上的凸函数,,.证明必要性.设为上的下凸函数,那么对任意的及,总有.充分性.设为上的下凸函数,那么对任意的,及，总有.由定义2知为上的下凸函数.三对数性凸函数的定义及其性质（一）对数性凸函数的定义定义1设为区间上的正值函数，如果在区间上为下凸函数，即对任意的和所有的实数(2)成立，则称在区间上为对数性下凸函数，如果对于，（2）式严格不等式成立，则称在区间上为严格对数性下凸函数。若（2）式中不等号反向，则称在区间上为对数性上凸函数。（二）对数性凸函数的基本性质引理若则，其中等式成立当且仅当.定理1设为区间上的正值函数，则在区间上为对数性下凸函数的充要条件是对任意的和所有的实数定理2设为区间上的正值函数且二阶可导，则在区间上为对数性下凸函数的充要条件是对任意有性质1如果函数为区间上的对数性下凸函数，则也为区间上的对数性下凸函数。推论1如果函数为区间上的对数性下凸函数，则也为区间上的对数性下凸函数。性质2如果函数为区间上的对数性下凸函数，则也为区间上的对数性下凸函数。推论2如果函数为区间上的对数性下凸函数，则也为区间上的对数性下凸函数。性质3如果函数为区间上的对数性下凸函数，则为区间上的对数性上凸函数。性质4设为定义在区间上的正值函数，为区间，为区间上严格增的对数性下凸函数且在区间上为下凸函数，则为区间上的对数性下凸函数。性质5如果一个正值函数在区间上为对数性下凸函数，则对所有的值是下凸函数。性质6如果任意为区间上的对数性下凸函数，则是区间上的对数性下凸函数。（三）与对数性凸函数的性质相关的定理推论1如果函数为区间上的对数性下凸函数，则（为正实数）也为区间上的对数性下凸函数。证明：令，由于为对数性下凸函数故两边同乘以正实数，则即故故由定理,为区间上的对数性下凸函数，同理也是区间上的对数性下凸函数。又由性质2有，为区间上的对数性下凸函数.推论2设和为区间上的正数,，，若在上是对数性下凸函数，则是下凸函数。证明：由于函数是对数性下凸函数，故对任意的和所有的实数，由定理1有因为所以=所以,由引理知即所以,是下凸函数。定理3设函数为区间上的对数性下凸函数，则函数在的任意闭子区间上有界。证明：设为任意闭子区间（Ⅰ）.下证在上有上界事实上，，因为区间上的对数性下凸函数,故由定理，知，其中（Ⅱ）.下证在上有下界记为a,b的中点,,设关于的对称点是，则.因为为区间上的对数性下凸函数,故由定义2,得所以,令,则，有，,.故,所以在有下界.定理4设为区间上的正值函数，则在区间上为对数性下凸函数的充要条件是对上任意三点，总有证明：必要性：，记，则，由于在区间上为对数性下凸函数，所以为下凸函数，故故即+整理，得即充分性：在上任取，在上任取一点，，则由于故整理，得由于，故，于是所以为区间上为对数性下凸函数。定理5设为区间上的正值函数，则在区间上为对数性下凸函数的充要条件是对上任意三点，都有证明：必要性：，记，则，由于在区间上为对数性下凸函数，所以为下凸函数，故故即将式用行列式表示，得充分性：在上任取，在上任取一点，，则由于所以整理，得即由于，故，于是故所以为区间上为对数性下凸函数。（四）对数性凸函数性质的应用例1.证明：，其中证明：令，则，故所以为对数性上凸函数,因此.例2.如果则，其中等式成立当且仅当.证明：（1）.当时，显然成立，（2）.当时，构造函数，则所以由定理2可知，函数为对数性上凸函数。又因为，故由定理1,有,于是（3）..“”.当显然成立.“”.对求的偏导数，得,即,,故.例3.证明：.证明：构造函数，则.由定理2,为对数性上凸函数，于是由定理,令，则而故即结束语凸函数的应用领域非常广泛，在许多证明题中我们常常遇到一些不等式的证明，其中有一类不等式应用凸函数的性质证明可以非常简洁巧妙.本文把凸函数的定义及其性质充分运用于各类不等式的证明之中,从而显示出凸函数在数学历史上的迅速发展以及凸函数在各个领域上的广泛应用.参考文献[1]刘芳园等编：对数性凸函数的一些性质，新疆，《新疆师范大学学报》，2006.[2]田宏根等编：数学分析[M]（上册），北京，高等教育出版社，2002.[3]刘玉琏,傅沛仁：数学分析讲义[M]（上册第三版），北京，高等教育出版社，1998.[4]裴礼文等编：数学分析中的典型问题与方法，北京，高等教育出版社，2005.[5]梅向明等编：华东师范大学数学系.数学分析[M]，北京，高等教育出版社，1980.[6]吴良森等：数学分析习题精解[M]，北京，科学出版社,2001.

摘要本文首先提出了凸函数的几种等价定义并说明凸函数的几何意义，接着探讨了凸函数的几条定理及其在经济学中的应用，比如最优化应用及风险态度应用，以及函数的凸性在有关经济学问题中发挥的作用，并从数学的角度详细说明了经济学教材中一些结论的来源，如对经济曲线的分析.关键字：凸函数；曲线分析；最优化；风险态度 目录TOC\o"1-2"\h\z\u1.引言 12.凸函数的定义及几何意义 12.1凸函数的几种定义 12.2凸函数的几何意义： 33.凸函数的判定定理 34.函数凸性在经济学中的应用 74.1凸函数在经济函数曲线分析中的应用 74.2凸函数在经济优化中的应用 114.3凸函数在风险态度中的应用 145.总结 17参考文献 181.引言凸函数是一个十分重要的函数，它的定义最早是由Jensen给出.凸函数具有较好的几何和代数性质,它在判定函数的极值、研究函数的图像以及证明不等式等方面都有广泛的应用.利用函数凸性分析经济问题是在十九世纪五十年代以后随着数学规划、最优控制论、数理经济学等应用学科的兴起而发展起来的.经济学中所涉及的函数大多数都有一定的凸性，从而凸函数在经济学中的最优化问题的研究成为了当今的一大热点.人们经常用它来研究系统中人、财、物的组织管理、筹划调度等问题，以发挥最大的经济效益.2.凸函数的定义及几何意义2.1凸函数的几种定义定义1:设函数在区间上有定义，从几何上来看，若的图像上任意两点和之间的曲线段总位于连接这两点的线段之下（上），则称该函数是凸（凹）.参见图1.定义2：设函数在开区间上有定义，若有则称在区间是下凸函数或简称函数在区间是凸的.若记，则.由的凸性可知：从而有即，整理后可得 这就是凸函数的另一种定义.定义3：在区间上有定义且连续，称为上的凸函数，如果,有将“”改为“”，函数便成为严格凸函数.定义4：在区间上有定义且连续,称为上的凸函数，如果，有.2.2凸函数的几何意义：当时，点表示了区间中的某一点，即.在下图中弦的方程是：将代入上式得：图1但因此不等式（1）在几何上表示为也就是说，曲线在弦下方，呈现为下凸的形状，而上凸函数的图象则呈现为上凸的形状.（图1）图1凸函数除了上面的定义以外，还可以给出连续函数在区间上为凸函数的等价性定义.如下所示：3.凸函数的判定定理定理1设函数在开区间上可导，函数在区间上是凸函数当且仅当.证明：根据中值定理对一切及必存在使得：又由凸函数定义得在上是凸函数.任取满足.我们来证明：及在区间上严格增加，设从中存在数使得，根据的严格下凸条件得：即上式表明的函数在严格增加.由此可见记起并以此类推可得在严格增加..定理2设在开区间上可导，则下述论断相互等价：1）为上凸函数；2）为上的增函数；3）对上的任意两点，有（3）证明:若在是凸函数，则由定理1有在上单调增加有同理可证明当时也有若有令则对有：对有：从而：即在是凸函数.定理3如果函数在上有存在二阶导函数,若对，有，则函数在上是一个凸函数.证明：在区间内任取两点，令函数在的泰勒公式是当时：当时 有即于是或，因此内是凸函数.定理4（极值的第二充分条件）设在点的某邻域内一阶可导，在处二阶可导，且，.1）若，则在取得极大值.2）若，则在取得极小值.证明：1）由于，故存在一个的邻域，在此邻域内有：当时，有，则必须大于0，即因此在的左邻域内单调递增，即当时，同理可知道在的右邻域内递减，有故当时，有在取得极大值.同理可证2）.4.函数凸性在经济学中的应用4.1凸函数在经济函数曲线分析中的应用无差异曲线的凸性分析无差异曲线用来表示消费者偏好相同的两种商品的所有组合.如下图所示，横轴和纵轴分别表示商品1的数量和商品2的数量，曲线、分别表示两条不同商品组合的无差异曲线.曲线是连续的，并在轴上的具有二阶导数，二阶导数又是大于零的，所以无差异曲线是凸函数.商品1对商品2的边际替代率的定义公式为：式中和分别表示为商品1和商品2的变化量.当商品数量的变化趋于无穷小时，则商品的边际替代率公式为：从上式可以看出，无差异曲线上某一点的边际替代率就是无差异曲线在该点上的斜率的绝对值.利用上图来具体说明商品的边际替代率递减规律和无差异曲线形状之间的关系.在图中，当消费者沿着既定的无差异曲线由点运动到点时，商品1的增加量为10，相应的商品2的减少量为20.这两个变量的比值的绝对值为.在图中，由于无差异曲线是凸函数，并且斜率是负的，这就保证了当商品1的数量一单位一单位地逐步增加时，即由点经、、运动到的过程中，每增加一单位的商品1所需放弃的商品2的数量是递减的，也就是说两个变量的比值的绝对值是逐渐减小的.这就是在两商品的代替过程中普遍存在的边际曲线代替率递减规律.随着一种商品的消费数量的逐步增加，消费者想要获得更多的这种商品的愿望就会递减，从而他为了多获得一单位的这种商品而愿意放弃的另一种商品的数量就会越来越少.经济活动中，我们可以根据市场调查利用无差异曲线和预算线等的关系来得到商品的需求曲线，厂商会根据需求曲线获得最大的利润的生产组合，而消费者也可以得到最满意的商品组合.所以利用凸函数的性质描绘无差异曲线在买卖双方的交易活动中起到很大的作用.生产函数曲线的凸性分析短期生产函数表示在资本投入量固定时，由资本投入量变化所带来的最大产量的变化.由该生产函数可以得到相应的资本总产量、平均产量和边际产量相互之间的关系，它们的定义公式分别为：或者根据三者的定义，可以绘制下图中的函数图像来表示三者的关系.图中的横轴表示可变要素劳动的投入量，纵轴表示产量，、、三条曲线顺次表示劳动的总产量曲线、平均产量曲线和边际产量曲线.由图可以清楚地看到，对一种可变生产要素的生产函数来说，边际产量递减规律决定了边际产量表现出先上升而最终下降的特征.根据边际产量的定义公式可知，过曲线任何一点的切线的斜率就是相应的值.曲线在的斜率大于零.曲线的一阶导数即为曲线的二阶导数.所以曲线在阶段的二阶导数大于零，即在阶段为凸函数.也就是说，边际产量曲线，在阶段上升，达到最大值后，然后再下降.所以相应的总产量曲线的斜率先是递增的，在到达拐点，然后再递减.通过上述分析可以发现：根据在边际报酬曲线递减规律作用下的边际产量曲线先上升，最终下降的特征，可以先描绘出曲线.由总产量和边际产量之间的关系可以描绘出曲线的图象.最后由平均产量和总产量之间的关系描绘出曲线的图象.凸函数在描述三者关系中间发挥了很大的作用，利用函数凸性可以描绘出生产函数图象.估算和研究生产函数，对于经济理论实践和生产实践又是前提.以上两种经济曲线的凸性分析，从数学的角度使我们对常见的经济现象有了更加深入的理解.经济教材中复杂的经济曲线，通常具有一定的凸性，所以掌握了这种分析方法，对以后的经济问题探索有很大的帮助.4.2凸函数在经济优化中的应用4.2.1利润最大问题利润最大化问题的求解取决于厂商的需求函数、成本函数以及生产组合情况，它们之间存在一定的函数关系.这个函数若是凸（凹）函数的话，就满足了凸（凹）函数的性质.可以用定理4中求极值的充分条件，得到生产关系中利润函数的最大值.例1北京一家商场的某商品的需求函数为（P的单位为元）；该商品的总成本函数为;且每件商品需要纳税2元，求出使销售利润最大的产品单价和最大利润额.解该商品的收入函数为，将代入得出总成本函数则利润函数为由得,又因为，则时，根据定理3，为凹函数，则在处取得极大值，由于是唯一的极值点，所以是最大值，当单价为101元时，销售利润取得最大，最大利润为元.在解决最大利润问题时，先找到利润和其它生产要素之间的函数关系式，对利润函数求一阶导数，得到利润函数的稳定点.再求利润函数的二阶导数，从而判断利润函数是否为凹函数,根据推论求得的利润函数是凹函数，则在稳定点的函数值即为极大值,即利润最大值.这样就把经济问题转化为了数学中常见的函数问题，经济中最优化问题看成简单的凸函数求极值的问题，这样可以使问题简单化，便于理解.4.2.2成本最小问题下面看一下成本最小问题.例2要做一个容量为的圆柱形饮料罐，当罐子的底半径为多少时，才能最省材料.解：设饮料罐的高为，底半径为，则表面积，由体积得，带入可得，由得，又因为，可知为凸函数，则当时，取得极小值，只有一个极小值点，既是最大值.当底半径为4.3cm时，用的材料最少.求成本最小问题时，首先建立起函数关系式，根据定理4极值的第二充分条件，判断函数关系式是凸函数，所以在稳定点求的函数值为极小值，即成本最小值.利用凸函数求极值来解决这类问题，可以在经济活动中节省资源，避免浪费.4.2.3最佳库存问题在生产与销售管理中，库存量一定要适度，库存太少，会造成供不应求，失去时机；库存太多，又会出现资金积压或货物过期等状况，生产厂家或销售公司要想维持正常的生产和销售,管理者必须确定物资的库存量，即何时补充库存，应该补充多少等.可以把库存问题转换化为函数关系表示，然后用凸函数求极值解决最佳库存问题.例3武汉某公司的A产品年销售量为10万件，假设这些产品分成若干批生产，每批需生产准备费100元；并假设产品的平均库存量为批量的一半，且每件产品库存一年需库存费0．05元.现想要使每年生产所需的生产准备费与库存费之和为最小，则每批的生产量是多少最合适.解：设每年的生产准备费与库存费之和为，批量为，则，由得，又因为，可知是凸函数.所以当时去的极小值，且是唯一的极小值，即为最小值,所以当每批生产2