工程力学课件-第6章

第六章圆轴的扭转6.1圆轴扭转时的内力6.2圆轴扭转时的应力和强度6.3圆轴扭转时的变形与刚度6.4圆轴扭转超静定问题第六章圆轴的扭转6.1圆轴扭转时的内力轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、飞机发动机中的蜗轮轴等。第六章圆轴的扭转6.1圆轴扭转时的内力第六章圆轴的扭转6.1圆轴扭转时的内力受力特点

构件两端受到两个在垂直于轴线平面内的外力偶作用，两力偶大小相等，转向相反。且满足平衡方程:变形特点横截面形状大小未变，只是绕轴线发生相对转动.mmOBA第六章圆轴的扭转6.1圆轴扭转时的内力外力偶矩的计算

传动轴是机械设备中的重要构件，其功能是通过轴传递动力，对于传动轴等转动构件，工程实际中往往并不直接给出作用于轴的外力偶矩，而是给出轴的转速与其所传递的功率，因此，在传动轴的分析和设计中，首先需要根据转速和功率计算轴所承受的外力偶矩。第六章圆轴的扭转6.1圆轴扭转时的内力转速：n(转/分)输入功率：P(kW)m1分钟输入功：1分钟m作功：单位１、外力偶矩的计算第六章圆轴的扭转6.1圆轴扭转时的内力2.

扭矩

杆扭转时，其横截面上的内力，是一个在截面平面内的力偶，其力偶矩称为扭矩。用截面法求扭矩：mmmTx第六章圆轴的扭转6.1圆轴扭转时的内力

为使上述两种算法所得同一横截面处扭矩的正负号相同，特作如下规定：采用右手螺旋法则，拇指指向外法线方向。扭矩的转向与四指的握向一致时为正；反之为负。

MxMnnMxMnn第六章圆轴的扭转6.1圆轴扭转时的内力

在工程实际中常用一个图形来表示沿轴长各横截面上的扭矩随横截面位置的变化规律，这种图形称为扭矩图。扭矩图和轴力图相似，也采用截面法求各个截面上的扭矩，正的扭矩在x轴的上方，负的扭矩画在x轴的下方3、扭矩图第六章圆轴的扭转6.1圆轴扭转时的内力

一传动系统的主轴ABC，其转速n=960r/min，输入功率PA=27.5kW，输出功率PB=20kW，PC=7.5kW，不计轴承摩擦等功率消耗。试作ABC轴的扭矩图。

例1MAMBMCABC

解1)计算外力偶矩。第六章圆轴的扭转6.1圆轴扭转时的内力

2)计算扭矩。将轴分为两段，逐段计算扭矩。由截面法可知Mn1=-MA=-274Nm

Mn2=-MA+MB=-75Nm3)画扭矩图。根据以上计算结果，按比例画扭矩图。由图看出，在集中外力偶作用面处，扭矩值发生突变，其突变值等于该集中外力偶矩的大小。最大扭矩在AB段内，其值为Mnmax=274NmMAMBMCABCMAMBABMAA第六章圆轴的扭转6.1圆轴扭转时的内力直接求扭矩图的简便方法：从杆件最左端直接画扭矩图，外力偶向上为正，扭矩上升；外力偶向下为负，扭矩下降。（若从杆件最右端直接画扭矩图，则外力偶向下为正，扭矩上升；外力偶向上为负，扭矩下降。）外力偶作用点即为扭矩突变点，其扭矩突变值为该外力偶的值，扭矩的大小为该外力偶与前一扭矩依次相加的代数值。

待画完扭矩图后可检查扭矩图两端的扭矩与两端外力偶是否相对应，以确保扭矩图正确无误。第六章圆轴的扭转6.1圆轴扭转时的内力例2某传动轴如图，转速n=700r/min，主动轮的输入功率为PA=400kW，从动轮B、C和D的输出功率分别为PB=PC=120kW，PD=160kW。试作轴的扭矩图。

第六章圆轴的扭转6.1圆轴扭转时的内力3.282.181.64第六章圆轴的扭转6.2圆轴扭转时的应力与强度等直圆杆横截面应力①变形几何方面②物理关系方面③静力学方面一、等直圆杆扭转实验观察：为了研究圆轴横截面上应力分布的情况，可先进行实验观察。在圆轴表面画若干垂直于轴线的圆周线和平行于轴线的纵向线，两端施加方向相反、力偶矩大小相等的外力使圆轴扭转。当扭转变形很小时，可观察到：

第六章圆轴的扭转6.2圆轴扭转时的应力与强度

1）各圆周线的形状、大小及两圆周线的间距均不改变，仅绕轴线作相对转动；各纵向线仍为直线，且倾斜同一角度，使原来的矩形变成平行四边形。

2）由上述现象可认为：扭转变形后，轴的横截面仍保持平面，其形状和大小不变，半径仍为直线。这就是圆轴扭转的平面假设。

则可以得到如下推论：1）横截面上无正应力2）横截面上有剪应力第六章圆轴的扭转6.2圆轴扭转时的应力与强度二、等直圆杆扭转时横截面上的应力1、变形几何关系：则距圆心为任一点处的与到圆心的距离成正比。——扭转角沿长度方向变化率。同一横截面来说，为一常数第六章圆轴的扭转6.2圆轴扭转时的应力与强度2、物理关系：胡克定律：代入上式得：则同一横截面内部，剪应力也与扭转半径成正比切变模量第六章圆轴的扭转6.2圆轴扭转时的应力与强度3、静力学关系：令代入物理关系式

得：第六章圆轴的扭转6.2圆轴扭转时的应力与强度4、公式讨论：①仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。②式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。

—该点到圆心的距离。

Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。第六章圆轴的扭转6.2圆轴扭转时的应力与强度③尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。对于实心圆截面：第六章圆轴的扭转6.2圆轴扭转时的应力与强度对于空心圆截面：第六章圆轴的扭转6.2圆轴扭转时的应力与强度④应力分布tmaxtmaxT（实心截面）（空心截面）Ttmaxtmax①根据应力分布规律，轴心附近处的应力很小，对实心轴而言，轴心附近处的材料没有较好地发挥其作用；

第六章圆轴的扭转6.2圆轴扭转时的应力与强度②从截面的几何性质分析，横截面面积相同的条件下，空心轴材料分布远离轴心，其极惯性矩Ip必大于实心轴，扭转截面系数Wp也比较大，强度可提高；

工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻,结构轻便，应用广泛。第六章圆轴的扭转6.2圆轴扭转时的应力与强度三、圆轴扭转时的强度条件1、强度条件受扭圆轴破坏的标志：塑性材料：首先发生屈服，在试样表面的横向和纵向出现滑移线，最后沿横截面被剪断。脆性材料：变形很小，在与轴线约成45º的面上断裂。第六章圆轴的扭转6.2圆轴扭转时的应力与强度一般强度条件：对于等截面圆轴：由知：当第六章圆轴的扭转6.2圆轴扭转时的应力与强度强度条件：2.强度计算的应用①校核强度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：第六章圆轴的扭转6.2圆轴扭转时的应力与强度例1

已知A轮输入功率为50kW，B、C、D轮输出功率分别为15kW、15kW、20kW，轴的转速为300r/min，[]=60MPa。试设计该轴直径d。BCAD第六章圆轴的扭转6.2圆轴扭转时的应力与强度解（1）计算外力偶矩，画扭矩图第六章圆轴的扭转6.2圆轴扭转时的应力与强度选：d=45mmTmax=955N·m（2）由强度条件设计轴直径第六章圆轴的扭转6.2圆轴扭转时的应力与强度例2

由无缝钢管制成的汽车传动轴AB，外径D＝90mm，壁厚t=2.5mm，材料为45钢，许用切应力[]=60MPa，工作时最大外扭矩Mn＝1.5kN·m。

1)试校核AB轴的强度。

2)如将AB轴改为实心轴，试在相同条件下确定轴的直径。

3)比较实心轴和空心轴的质量。

第六章圆轴的扭转6.2圆轴扭转时的应力与强度

解1)校核AB轴的强度。由已知条件可得

Mn=M=1.5103Nm故AB轴满足强度要求。

第六章圆轴的扭转6.2圆轴扭转时的应力与强度

2)确定实心轴的直径。若实心轴与空心轴的强度相同，则两轴的抗扭截面系数必相等。设实心轴的直径为Dl，则有第六章圆轴的扭转6.2圆轴扭转时的应力与强度3)比较实心轴和空心轴的质量。

轴的材料和长度相同，它们的质量比就等于面积比。设Al为实心轴的截面面积，A2为空心轴的截面面积，则有

第六章圆轴的扭转6.2圆轴扭转时的应力与强度结论：1）圆轴扭转时，横截面上只有剪应力，剪应力在横截面上线性分布，垂直与半径，指向由扭矩的转向确定。2）截面任一处截面外圆周处（表面）

tr=Tr/Ir

tmax=T/WP

3)则同一横截面内部，剪应力也与扭转半径成正比第六章圆轴的扭转6.3圆轴扭转时的变形与刚度由公式一、圆轴扭转时的变形

扭转变形是以任意两截面间相对转过的角度来表示的。知：长为

l一段杆两截面间相对扭转角

为1、扭转角T、G、Ip均为常量第六章圆轴的扭转6.3圆轴扭转时的变形与刚度2）单位扭转角：或G为材料的切变模量；GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。单位扭转角是单位长度上的扭转角，用符号

来表示，单位为rad/m,通常用来表示扭转变形的程度。第六章圆轴的扭转6.3圆轴扭转时的变形与刚度二、圆轴扭转时刚度条件或[]称为许用单位扭转角。[]的数值按照对机器的要求决定：精密机器的轴：一般传动轴：精度要求不高的轴：精度要求较低的轴：第六章圆轴的扭转6.3圆轴扭转时的变形与刚度一传动轴如图，直径d=40mm，材料的切变模量G=80GPa，载荷如图示。试计算该轴的总扭角。

解画出阶梯轴的扭矩图，AB和BC段的扭矩分别为

Mn1=1200NmMn2=-800Nm例1第六章圆轴的扭转6.3圆轴扭转时的变形与刚度圆轴截面的极惯性矩为BC段的扭角为

AB段的扭角为

第六章圆轴的扭转6.3圆轴扭转时的变形与刚度由此得轴的总扭角

第六章圆轴的扭转6.4圆轴扭转超静定问题解扭转超静定问题的步骤：平衡方程；①几何方程——变形协调方程；