计算机辅助建筑设计概述

王朔Email:shwang@2018.9计算机辅助建筑设计第一讲：简介计算机辅助设计课程简介计算机图形学的相关知识

图形绘制、图形变换、曲线/曲面、图形渲染……Rhino软件及Grasshopper参数化设计BIM及软件应用（Revit）课程主要内容：计算机辅助设计简介CAD(Computer-AidedDesign)计算机辅助设计(CAD)的定义是：使用计算机系统来辅助一项设计的建立、修改、分析或优化。计算机辅助设计系统包括硬件和软件系统，用以完成不同用户的专业设计功能。CAAD(ComputerAidedArchitecturalDesign)20世纪60年代，最初由波音公司的研究人员提出计算机图形学的名词时，指的是计算机生成图像（ComputerGeneratedimage）的技术，主要涉及将三维工件投影到二维平面的方法，用于计算机辅助设计。到20世纪80年代以来，越来越关注自然场景的逼真生成和显示，计算机仿真、计算机辅助训练、计算机动画、虚拟现实、增强现实等发展迅速。JobStam，TheArtofFluidAnimation.电子工业出版社，发展起点

1963年，美国麻省理工学院的博士研究生

IvanSutherland发表了他的博士学位论文《Sketchpad：一个人机通讯的图形系统》，并在计算机的图形终端上实现了用光笔绘制和修改图形，控制图形的缩放。这项工作被公认为计算机图形学方面的开创性工作，也为以后计算机辅助设计技术的发展奠定了理论基础。

IvanSutherlandattheconsoleoftheTX-2-SketchpadProject,MIT,1963

Dr.IvanSutherlandintheclassroom,CaliforniaInstituteofTechnology,1976

/classes/cs6751_97_fall/projects/abowd_team/ivan/ivan.htmlIvanSutherlandisconsideredbymanytobethecreatorofComputerGraphics.StartingwithhisPh.D.thesis,Sketchpad,SutherlandhascontributednumerousideastothestudyofComputerGraphicsandComputerInteraction.Ivanintroducedconceptssuchas3-Dcomputermodeling,visualsimulations,computeraideddesign(CAD)andvirtualreality.但是，人们还是认为计算机辅助建筑设计技术研究的起点始于1958年，这一年，美国的埃勒贝建筑师联合事务所(EllerbeAssociates)装置了一台BendixG15的电子计算机，进行了将电子计算机运用于建筑设计的首次尝试。BendixG15Computer(circa1958)TheBENDIXG-15computerwasmanufacturedbyBendixAviationCorporation,ComputerDivision,LosAngeles,California,inthemidtolate1950's.TheBENDIXG-15wasabout5x3x3feetandweighedabout950pounds.Thebasesystem,withoutperipherals,cost$49,500andwasavailableatamonthlyrentalfeeof$1,485.TheG-15couldutilizeahigh-speedpapertapepunchforoutput,punchedcards,oragraphplotter.Itusedmagnetictapestorage.Itutilizedpapertapeorpunchedcardinput.TheG-15Dcouldperformadditionorsubtractionfunctionsatabout2.5millisecondsandmultiplicationordivisionatabout20milliseconds.TheG-15hadvacuumtubesandgermaniumdiodes.180tubepacksand300diodepacks.putermuseum.li/Testpage/Bendix-G15-1950s.htm60年代60年代的CAAD系统是历史上第一代的CAAD系统，应用的计算机为大型机，体积庞大，图形显示以刷新式显示器为基础，CAD装置的价格昂贵绘图和数据库管理的软件比较原始，功能有限。在当时，CAAD中的“D”，与其说是Design，还不如说是Drawing或Drafting。因此第一代的CAAD系统不太合建筑师的口味，而且整个CAD装置的价格昂贵。许多建筑师仍然不知道计算机能够帮他们干些什么，有的甚至对CAAD怀有敌意。整个建筑业界普遍仍然使用“趴图板”方式搞建筑设计。但不管怎样，计算机技术已经引起人们的注意。事实上到了60年代末，在西方已经有建筑师事务所开始应用CAAD系统。70年代

DEC公司的PDP系列16位计算机问世，在20世纪70年代初，计算机的性能价格比大幅度提高美国波士顿出现了第一个商业化的CAAD系统——ARK-2，该系统运行在PDP15计算机上，可以进行建筑方面的可行性研究、规划设计、平面图及施工图设计、技术指标及设计说明的编制等。美国著名的SOM建筑师联合事务所为了承接大型项目，在1975年引进了全套CAAD系统，随后应用CAAD系统设计沙特阿拉伯的吉达航空港、阿卜杜拉•阿齐兹国王大学以及一些高层建筑获得了成功并取得了巨大的经济效益。他们的举动，对信息技术在建筑设计中的应用产生了很大的影响。DigitalEquipment'sPDP15Brochure70年代在英国，也开发了几个著名的用于公共建筑设计的CAAD系统，例如用于医院设计的HARNESS系统和OXSYS系统，爱丁堡大学也开发了一个SSHA系统，主要用于住宅设计。日本也在70年代就开展CAAD系统的研制工作。这时出现的CAAD系统以专用型的系统为多，同时还有一些通用性的CAD系统，例如COMPUTERVISION、CADAM等，被用作计算机制图。这个时期出现的CAAD系统大多数只是极为简单的线框造型系统，这种初期的线框造型系统只能表达基本的几何信息，不能有效地表达几何元素间的拓扑关系，更谈不上渲染效果图的生成。这一时期CAAD的图形技术还是以二维为主，用传统的平面图、立面图、剖面图来表达建筑设计，以图纸为媒介进行技术交流。CAAD的二维绘图技术一直平稳地发展。直到今天，二维绘图仍然占有相当大的比重。DigitalEquipment'sPDP15Brochure80年代

在80年代对信息技术发展影响最大的是微型计算机的出现，由于微机的价格已经降到人们可以承受的程度，建筑师们将设计工作由大型机转移到微机上。软件工程学的诞生，使CAAD系统的研制有了理论指导。基于16位微机开发的CAAD系统就是在这样的环境下出现的，AutoCAD、MicroStation、ArchiCAD等软件都是应用于16位微机上具有代表性的软件。但基本还是以二维绘图为主。计算设备的的日益普及及化及小型型化网络化、普普适化及物物联网通过增强学学习不断自自我进化。。在拿地强强排过程中中，小库会会寻找最优优的建筑业业态组合，，设计师点点赞则引入入了非标准准化的主观观美学观点点，同时考考虑人文诉诉求。久而而久之，小小库的算法法模型持续续丰富，生生成的方案案将更切合合场景。大数据如何何产生：智慧城市在在广义上指指城市信息息化，即通通过建设宽宽带多媒体体信息网络络、地理信信息系统等等基础设施施平台，整整合城市信信息资源、、建立电子子政务、电电子商务、、劳动社会会保险等信信息化社区区，逐步是是实现城市市国民经济济和社会的的信息化。。IBM“智慧地球球”“数字城市市”的新的的发展阶段段数字城市+物联网+云计算智慧城市：：传感器网络络接入网络共享服务服务智慧交通智慧医疗智慧建筑智慧能源物联网与智智慧城市：：BAS3DFM整合BIM的建筑物业管管理系统：：最近这15年是是信息技术高速速发展的年代，，其特征是：高高速而且功能强强大的CPU芯片、高质量的的光栅图形显示示器、海量存储储器、因特网、、多媒体、面向向对象技术……等。随着个人计计算机的拥有量量迅速增加，计计算机技术和计计算机知识也得得到了空前的普普及。FacilityManagementGenerativeDesignGeographicInformationSystemIntegratedBuildingModelsHumanComputerInteractionKnowledgeManagementinDesignTrendsandCasestudiesinPracticeVirtualArchitectureVirtualRealityinDesignandPlanningWeb-basedDesignandCommunicationCase-basedReasoningComputer&DesignPedagogyCollaborativeDesigntoolsandmethodsCityModelingDigitalDesignStudioTeachingDigitalMethodsofConstructionDesignProcess&MethodsEnvironmentalSimulationFutureDirections&Visions计算机图形学部部分简介：计算机图形学的的研究内容庞杂杂而繁多，凡是是与计算机绘图图相关的内容都都是图形学研究究的对象。本讲义选取有助助于建筑专业同同学理解及掌握握计算机辅助设设计相关概念和和应用的知识加加以介绍。为什么讲述计算算机图形学知识识：类比：模型-视图-控制器（MVC模式）计算机图形学=表示+绘制+交互基本的计算机绘绘图知识：1、各类绘图软件件：AutoCAD,SketchUP,Rhino,3DSMax,Photoshops等。2、专用的绘图语语言及开发包：：OpenGL、DirectX3D等。3、基于PARASOLID、Acis几何引擎的商商业CAD软件。3、各类开发语言言提供的简单绘绘图功能。位图(光栅图像)图形(矢量图)基础知识：位图(光栅图像)光栅图像(Image)与图形（Graphics,Shape,矢量图）对一个视域中的的光强变化以有有限的精度进行行抽样，会产生生连续强度表面面的一种近似。。在计算机存储储器中可以用整整数的阵列表示示，其中每一个个整数表示一个个亮度。用这种种方法编码和存存储的图像称为为位映射图像（（bitmappedimage）。图片来源:《数字设计媒体》WilliamJ.Mitchell著王国泉霍霍新民译清华华大学出版社CBitmapb;CDCd;b.LoadBitmap(IDB_BITMAP1);d.CreateCompatibleDC(pDC);d.SelectObject(&b);pDC->BitBlt(0,0,768,432,&d,1,1,SRCCOPY);unsignedk;for(inti=1;i<100;i=i+5)for(intj=1;j<100;j=j+5){k=pDC->GetPixel(i,j);chars[32];sprintf_s(s,"%d",k);pDC->TextOutW(i*15,j*5+500,CString(s));}1_3_BMP图形(Graphics,Shape)矢量图图像可能会被看看成是不同光强强和色彩的点的的集合，而对于于设计师而言，，他们一般会创创建高度结构化化形式的图，并并把他们看成是是诸如直线，圆圆弧、封闭多边边形这样一些几几何实体的集合合。在工程制图图中，会使用直直尺和圆规一类类的绘图工具精精确的画出几何何实体，并通过过几何制图的方方法精确的确定定他们的关系。。同样，计算机机图形软件提供供了特定的精确确处理和准确表表示几何实体的的工具。图片来源:《数字设计媒体》WilliamJ.Mitchell著王国泉霍霍新民译清华华大学出版社使用CDC类函数绘制基本本的图形（不使用任何软软件工具，直接接写一个运行程程序）1、绘制一个简单单的矩形DrawRectangleDoc*pDoc=GetDocument();ASSERT_VALID(pDoc);if(!pDoc)Return;CPenmyPen;myPen.CreatePen(PS_SOLID,10,RGB(255,40,0));pDC->SelectObject(myPen);intw=500;inth=300;pDC->MoveTo(50,50);pDC->LineTo(50+w,50);pDC->LineTo(50+w,50+h);pDC->LineTo(50,50+h);pDC->LineTo(50,50);1-1DrawRectangle//TODO:adddrawcodefornativedatahereCPenmyPen;myPen.CreatePen(PS_SOLID,10,RGB(255,40,0));pDC->SelectObject(myPen);pDC->Ellipse(30,20,500,300);voidCMy1_2_MouseLineView::OnLButtonDown(UINTnFlags,CPointpoint){//TODO:Addyourmessagehandlercodehereand/orcalldefaultm_StartPoint=point;CView::OnLButtonDown(nFlags,point);}voidCMy1_2_MouseLineView::OnLButtonUp(UINTnFlags,CPointpoint){//TODO:Addyourmessagehandlercodehereand/orcalldefaultCPenmyPen;myPen.CreatePen(PS_SOLID,5,RGB(255,40,0));CClientDCdc(this);dc.SelectObject(myPen);dc.MoveTo(m_StartPoint);dc.LineTo(point);CView::OnLButtonUp(nFlags,point);}for(inti=0;i<628*2;i++){inty=100*sin(float(i)/100);pDC->SetPixel(i,y+120,0);//pDC->Ellipse(i-r,y-r+120,i+r,y+r+120);Sleep(10);}voidDrawCurve(doublep[3],CDC*pDC,intp_x,intp_y){doubler=150.0,h=3;doublex[628],y[628],z[628],xe[628],ye[628],ze[628],xs[628],ys[628],zs=200,a,b,c,u,v;intm=0;a=p[0];b=p[1];c=p[2];u=sqrt(a*a+b*b+c*c);v=sqrt(a*a+b*b);for(doublet=0;t<62.8;t=t+0.1){x[m]=r*cos(t);y[m]=r*sin(t);z[m]=h*t;m++;}xe[0]=-b/v*x[0]+a/v*y[0];ye[0]=-a*c/(u*v)*x[0]-b*c/(u*v)*y[0]+v/u*z[0];ze[0]=-a/u*x[0]-b/u*y[0]-c/u*z[0]+u;xs[0]=xe[0]*zs/ze[0]+p_x;ys[0]=ye[0]*zs/ze[0]+p_y;pDC->MoveTo(xs[0],ys[0]);//pDC->Ellipse(xs[0],ys[0],xs[0]+100,xs[0]+100);for(inti=1;i<628;i++){xe[i]=-b/v*x[i]+a/v*y[i];ye[i]=-a*c/(u*v)*x[i]-b*c/(u*v)*y[i]+v/u*z[i];ze[i]=-a/u*x[i]-b/u*y[i]-c/u*z[i]+u;xs[i]=xe[i]*zs/ze[i]+p_x;ys[i]=ye[i]*zs/ze[i]+p_y;pDC->LineTo(int(xs[i]),int(ys[i]));}}在工业业设计计中遇遇到的的形状状，一一般可可以分分为两两类：：（1）定形形形状状（第第一类类形状状），，通常有有平面面、二二次曲曲面或或其他他规则则曲面面所构构成。。（2）自由由形状状（第第二类类形状状），，一般来来说，，包含含了自自由曲曲线和和自由由曲面面，设设计时时通常常由给给定的的一系系列型型值点点来定定义期期形状状，某某些复复杂的的零件件及汽汽车、、飞机机的外外形曲曲面均均属于于这类类形状状。一般来来说用用常规规的三三视图图的方方法，，对第第一类类形状状是适适合的的，但但是将将三维维形状状在二二维平平面上上描述述进行行形状状信息息的传传递，，即使使采用用多面面视图图及其其它的的表达达方法法，对对某些些形状状来说说，也也仍然然是难难于做做好的的。第二类类形状状所包包含的的信息息更多多，用用传统统的工工程图图学的的方法法有一一定的的困难难，在在CAGD中则是是用数数学方方法来来定义义、描描述及及传递递形状状信息息[Hu1987]。[Hu1987]胡瑞安安主主编.计算机机辅助助几何何设计计[M].华中工工学院院出版版社.1987PrototypeofthedesigntheClay&SculptureStudioDesign入口及及玻璃璃幕墙墙调整整方案案2入口及及玻璃璃幕墙墙调整整方案案2入口细细布（（方案案2）入口室室内效效果MuseumofContemporaryArt&PlanningExhibitionArchitecturebyCoopHimmelb(l)au生成式式设计计(generativecomponents)来源:Pedit_Spline.dwg内插曲曲线拟合曲曲线•Mathematicalrepresentationofphysicalsplines•C2continuous•Interpolateallcontrolpoints•HaveGlobalcontrol(nolocalcontrol)NaturalSplines样条函函数是是美国国数学学家I.J.Shoenberg于1946年提出出的，，但当当时并并未引引起人人们的的重视视。直直到60年代，，人们们才开开始认认识到到样条条函数数在数数据拟拟合、、函数数逼近近、数数值微微分与与积分分等重重要作作用，，并广广泛的的用于于汽车车、航航空、、造船船等行行业的的几何何外形形设计计[]。最初，，样条条曲线线都是是借助助于物物理样样条得得到的的，放放样员员把富富有弹弹性的的细木木条(或有机机玻璃璃条)，用压压铁固固定在在曲线线应该该通过过的给给定型型值点点处，，样条条做自自然弯弯曲所所绘制制出来来的曲曲线就就是样样条曲曲线。。样条条曲线线不仅仅通过过各有有序型型值点点，并并且在在各型型值点点处的的一阶阶和二二阶导导数连连续，，也即即该曲曲线具具有连连续的的、曲曲率变变化均均匀的的特点点。Splines•Popularizedinlate1960sinUSAutoindustry(GM)–R.Riesenfeld(1972)–W.Gordon•Origin:thethinwoodormetalstripsusedinbuilding/shipconstruction•Goal:defineacurveasasetofpiecewisesimplepolynomialfunctionsconnectedtogetherSplines样条PierreBezierforhisfundamentalcontributionRobinForrestforhisinsightBillGordonforhismathematicalcontributionsCarldeBoorandMauriceCoxfortheCox-deBooralgorithmSteveCoonsforhismathematicalgeniusRichRiesenfeldforB-splinesElaineCohen,TomLycheandRichRiesenfeldfortheOsloAlgorithmsLewieKnappforrationalB-splinesKenVersprieforNURBSDr.PierreB´ezier.B´´ezierwasanengineerwiththeRenaultcarcompanyandsetoutintheearly1960’stodevelopacurveformulationwhichwouldlenditselftoshapedesign.贝塞尔曲线于1962年，由法国工程师师皮埃尔·贝塞尔（PierreBézier）所广泛发表，他他运用贝塞尔曲线线来为汽车的主体体进行设计。贝塞塞尔曲线最初由PauldeCasteljau(保尔·德·卡斯特里奥)于1959年运用deCasteljau算法开发，以稳定定数值的方法求出出贝塞尔曲线。Bezier曲线和曲面Bezier曲线定义给出型值点P0，P1，…，Pn，它们所确定的n次Bezier曲线是：涉及到的0!及00，按约定均为1。当n=1时是Bernstein多项式，调和函数在n=2时在n=3时①②③④Bezier曲线几何作图方法法两个控制点(LinearBezierSpline)只有两个控制点P、Q的Bezier曲线是什么样子的的？不难想像是线线段PQ，如下图：所以由控制点P、Q产生的Bezier曲线的方程是：C(u)=(1-u)P+uQ0<=u<=1曲线上参数为u的点是通过P和Q的线性组合得到的的。Bezier二次曲线(QuadraticBezierSpline)如果想得到一条弯弯曲的曲线，两个个控制点是不够的的，加上一个控制制点R，那么由控制点P、Q和R生成的Bezier曲线又是什么样子子的了？假设生成的曲线为为C(u)，其中0<=u<=1，对应于某个特定定的u，C(u)如何计算出来了？？我们先在PQ上求一点A(u)A(u)=(1-u)P+uQ在QR上求一点B(u)B(u)=(1-u)Q+uR再在生成的线段上上求C(u)C(u)=(1-u)A(u)+uB(u)对应于下图图，用这种种迭代的方方法求出的的点C(u)就是Bezier曲线上参数数为u的点！将A(u)和B(u)的公式代入入C(u)得到：C(u)=(1-u)A(u)+uB(u)=(1-u)[(1-u)P+uQ]+u[(1-u)Q+uR]=(1-u)^2P+2u(1-u)Q+u^2R(0<=u<=1)上面的公式式给出了从从三个控制制点P、Q和R，求取参数数u对于的曲线线上点的方方法，如果果u=0，则C(0)=P；如果u=1，则C(1)=R，说明曲线线通过P和R，与上图的的观察是一一致的；如果有四个个控制点P、Q、R和S，给定一个个参数值u，0<=u<=1，如何求u对应的Bezier曲线上的点点？还是用用上述迭代代的方法，，最后得到到的方程是是：C(u)=(1-u)^3P+3u(1-u)^2Q+3u^2(1-u)R+u^3S绘制出来的的曲线如下下图所示：：Bezier曲线(CubicBezierSpline)deCasteljau算法描述Bezier曲面若在空间给给定(m+1)(n十1)个控制点，，Vij，i=0，1，…，m，j=0，1，…，n，令上式曲面为为m×n次的Bezier曲面当m=n=1，公式成为为：设v00，v01，v10，v11四点依次是是(0，0，0)，(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，则可得P1,1(u，w)的坐标形式式的参数方方程为：消去参数，，就得马鞍面方程：当m=n=3，曲面成为为：Bezier曲线的次数数（degree）是有控制制点的个数数决定的（（n+1个控制点）），如果增增加曲线的的变化就需需要在这个个曲线的附附近增加控控制点，这这会增加曲曲线的次数数。也可以把不不同的Bezier曲线连接起起来，只要要第一条曲曲线的尾端端与第二条条曲线的首首端连接起起来并具有有相同的切切线方向，，至少可以以获得G1的连续性。。B-Spline需要一系列列的控制点点，一系列列的节点和和一系列的的系数，每每个系数对对应一个控控制点，从从而构造一一系列的曲曲线段连接接在一起，，满足某个个连续条件件。Hermite曲线Hermite曲线Hermite曲线为给定定两端点及及两端点切切向量所得得的三次曲曲线。已知曲线的的两个端点点坐标P0、P1，和端点处处的切线R0、R1，确定的一一条曲线。。令：则：给定边界条条件：结论：只要要给定Gh，就可以在在[0,1]范围内求出出Q(t)，即可绘制制出Hermite曲线，对于于不同的初初始条件，，Gh是不同的，，而T、Mh均是相同的的。B样条曲线B样条曲线（（构造具有有局部性的的调和函数数）给定n+1个控制点P0，P1，…，Pn，它们所确确定的k阶B样条曲线是是：其中Ni，k(u)递归定义如如下：这里u0，u1，…，un+k，是一个非递减的序列，称称为节点，，(u0，u1，…，un+k)称为节点向量。定义中可可能出现，，这这时约定为为0。贝塞尔基函函数用作权权重。B-样条基函数数也一样，，但更复杂杂。但是它它有两条贝贝塞尔基函函数所没有有的特性，，即(1)定义域被节节点细分（（subdivided）；(2)基函数不是是在整个区区间非零。。实际上，，每个B样条基函数数在附近一一个子区间间非零，因因此，B-样条基函数数具有局部支撑性性。1）设U是m+1个非递减减数的集合合，u0<=u1<=u2<=u3<=…<=um,u0称为节点（（knots），集合U称为节点向向量（Knotsvector），半开区区间[ui,ui+1)称为第i个节点区间间。2）节点可以以被认为是是分隔点，，区间[u0,um]被细分为节节点区间，，所有的B样条基函数数被定义在在[u0,um]上。3）为了定义义B-Spline基函数，还还需要一个个参数，基基函数的次次数（degree），第i个P次的B-Spline基函数记为为Ni,p(u)。Cox-deBoor递归公式Cox-deBoor递归公式B样条克服了了Bezier曲线的一些些缺点，Bezier曲线的每个个控制点对对整条曲线线都有影响响，也就是是说，改变变一个控制制点的位置置，整条曲曲线的形状状都会发生生变化，而而B样条中的每每个控制点点只会影响响曲线的一一段参数范范围，从而而实现了局局部修改.B-Spline1.Ni,p(u)是一个在u上的p次多项式2.非负性--对所有的i,p和u,Ni,p(u)是非负的3.局部支撑（（LocalSupport）--Ni,p(u)是在[ui,ui+p+1)上的非零多多项式4.在任一区间间[ui,ui+1),最多有p+1个p次的基函数数非零，即即:Ni-p,p(u),Ni-p+1,p(u),Ni-p+2,p(u),...,和Ni,p(u)5.单位分解（（PartitionofUnity）--所有非零的的p次基函数在在区间[ui,ui+1)上的和（sum）是1。6.如果节点数数是m+1,基函数的次次数是p,而p次基函数的的数目是n+1,，那么m=n+p+1。7.基函数Ni,p(u)是p次多项式的的复合曲线线，连接点点在[ui,ui+p+1)上的节点处处。8.在一个有重重复度k的节点处，，基函数Ni,p(u)是Cp-k连续的。增增加加重复度减减小连续性性的层次（（level），增加次次数增加连连续性。上上述2次基函数N0,2(u)在节点2和3处是C1连续的，因因为它们是是简单节点点。B样条曲面（（双三次B样条曲面））0≤u≤1，0≤w≤1，0≤k≤K，0≤l≤L每一个曲面面片Qkl(u，w)由16个控制点确确定。NURBS(Non-UniformRationalB-Splines):DefinitionNURBS曲线可以由由任意数量量的控制点点来定义（（就是说，，任何大于于3的数），这这样反过来来就意味着着这整个曲曲线是由很很多相连的的片段所组组成的。下下面的图释释展示了一一个有10个控制点的的D3曲线。所有有独立的片片段都给予予了一个不不同的颜色色。你可以以看到，每每一个片段段都有一个个非常简单单的形状；；一个你可可以看作近近似于一条条传统的4点贝塞尔曲曲线的形状状。片段与片段段之间的小小圆圈代表表着这个曲曲线的节点点向量。这这条D3曲线拥有10个控制点和和12个节点（0~11）。这并非非一个巧合合，节点的的数量直接接取决于点点的数量和和度数：K=P+(D-1)非均匀有理理B样条曲线(NURBS)，是一种用用途广泛的的样条曲线线，它不仅仅能够用于于描述自由由曲线和曲曲面，而且且还提供了了包括能精精确表达圆锥曲线曲面在内各各种几何体体的统一表表达式。自自1983年，SDRC公司成功地地将NURBS模型应用在在它的实体体造型软件件中，NURBS已经成为计计算机辅助助设计及计计算机辅助助制造的几几何造型基基础，得到到了广泛应应用。NURBSaresimplyanotherfaceofB-splinecurves.ConsidercontrolpointsPwi=(wixi,wiyi,wizi,wi).Thispointhasfourcomponentsandcanbeconsideredasapointinthefour-dimensionalspace,and,consequently,C(u)belowbecomesaB-splinecurveinthefour-dimensionalspace:曲线的连续性性（Continuity）样条曲线是由由多项式曲线线段连接而成成的曲线，在在具体的应用用中，要求连连接线段的连连接处满足特特定的连续性性条件，来保保证曲线整体体的光顺。组合参数曲线线在连接处具具有直到n阶的连续导矢矢，这类光顺顺性称之为Cn或n阶参数连续性性（parametriccontinuity）；几何连续性（（geometriccontinuity）是指组合曲曲线在连接处处满足不同于于Cn的某一组约束束条件称之为为具有n阶的几何连续续性，简称为为Gn。曲线的连续性性（Continuity）（1）0阶连续两个相邻线段段S1(t1)和S2(t2)在连接处的位位置连续，即即S1(1)=S2(0)。记为C0连续。（2）1阶连续相邻的两个曲曲线段S1(t1)和S2(t2)不仅满足C0连续，而且在在连接处的一一阶导数成正正比，即S1'(1)=kS2'(0)(k为任意实数)（曲线的切矢矢方向相同，，大小可能不不同）。当k=1时，即S1'(1)的末端切矢和和S2'(0)的首端切矢方方向相同，长长度相等，记记为C1连续；当k≠1时，S1'(1)的末端切矢和和S2'(0)的首端切矢方方向相同，长长度不同，记记为G1连续。（3）2阶连续两个相邻的曲曲线段满足条条件S2''(0)=aS1''(1)+bS2''(1)(a，b均为为任意实实数)记为G2连续。当a=1，b=0时，S2''(0)=S2''(1)，记为C2连续。曲线光顺度量量C0、C1、C2和G0、G1、G2的定义和区别别曲线的光顺有有两种不同的的度量：一种是多年沿沿用的函数曲曲线的可微性性，组合参数数曲线在连接接处具有直到到n阶的连续导矢矢，这类光顺顺性称之为Cn或n阶参数连续性性（parametriccontinuity）；另一种称为几几何连续性（（geometriccontinuity）,组合曲线在连连接处满足不不同于Cn的某一组约束束条件称之为为具有n阶的几何连续续性，简称为为Gn。曲线：C0与G0是一致的；；C1与G1是不一致的的，G1表示具有公公共单位切切矢；G2表示具有公公共曲率矢矢。曲面：C0与G0是一致的；；C1与G1是不一致的的，G1表示具有公公共切平面面；G2表示在连接接线处具有有公共切平平面，和公公共的主曲曲率。几何连续性性，简称连连续性。用用2条曲线【曲面】举例：只要要两条曲线线【曲面】的端点相交交，那么就就可以判断断这2条曲线【曲面】有连续性，，连续级别别最少是G0。_CurvatureGraph曲率Command:_GConFirstcurve-selectnearend:Secondcurve-selectnearend:Curveenddifference=0Radiusofcurvaturedifference=114.07Curvaturedirectiondifferenceindegrees=134.097Tangentdifferenceindegrees=45.9029CurvesareG0.使用Curve指令分别改改变阶数为为2、3、4、5，使用Curve指令，设定定阶数为1。以CurvatureGraphOn指令(分析菜单：：曲线>打开曲率图图形)打开其中一一条曲线的的曲率图形形。曲率图图形显示的的是曲线的的曲率变化化，曲率是是曲率圆半半径的倒数数(1/r)，曲线曲率率圆半径越越小的点的的曲率越大大。参考文献：：[1]/wiki/%E8%B2%9D%E8%8C%B2%E6%9B%B2%E7%B7%9A#.E7.B7.9A.E6.80.A7.E8.B2.9D.E8.8C.B2.E6.9B.B2.E7.B7.9A[2]PaulBourke:Béziercurves,

.au/~pbourke/curves/bezier/DonaldKnuth:Metafont:theProgram,Addison-Wesley1986,pp.123-131.Excellentdiscussionofimplementationdetails;availableforfreeaspartoftheTeXdistribution.[3]DrThomasSederberg,BYUBéziercurves,

/resources/class_notes/Bezier_curves.pdfBIM部分简介：：有关建筑信信息模型(BuildingInformationModeling，BIM)和建筑生命命周期管理理(BuildingLifecycleManagement，BLM)的观念正在在给建筑设设计信息化化技术的发发展带来新新的推动力力。新一代代基于建筑筑信息模型型的建筑设设计软件如如Revit、TriForma、ArchiCAD已经崭露头头角。BIM&BLMBiddingandNegotiationConstructionCloseOutFacilitiesManagementPlanningPreliminaryDesignDesignDevelopmentConstructionDocumentationBuildingLifecycleManagementAutoCADAutoCADRevitSeriesBuzzsawDWFComposerCivil3DMapGuideBIM的含义建筑信息模模型建筑师结构工程师师设备工程师师建造商业主BuildingInformationModeling,BIM–在一个建筑筑项目的设设计和建造造过程中，，创