统计质量控制理论和方法研讨

第四章统计质量控制理论和方法

1

2000版ISO9000

族标准将统计技术提升为质量管理体系的一个基础，强调的不是统计技术本身，而是“统计技术的作用”，即将统计技术作为分析、解决问题，提高质量管理体系有效性和促进持续改的一种工具。2全面质量管理运用数理统计方法大致按照如下工作程序进行：

（一）针对所要解决的质量问题用科学方法收集数据。

（二）将收集的数据整理归纳，形成能说明问题的图、表或计算出特征值，如平均值、百分比、标准差等。

（三）对这些经过整理的数据、图、表进行观察、分析、找出其中的统计规律。

（四）根据统计规律的启示，找出影响质量的主要问题。

（五）针对找出的问题采取措施，达到提高质量的目的。

3质量管理活动中运用数理统计方法的工作程序如图：收集数据整理归纳数、表、图形或特征值观察分析统计规律主要问题组织、协调专业技术提高质量4第一节质量控制的统计学基础一、质量特性值（数据的分类）测量或测定质量指标所得的数值，一般称为数据注：1、质量特性值通常表现为各种数值指标，即质量指标。2、一个具体产品常需用多个指标来反映它的质量。3、根据质量指标性质的不同，质量特性值可分为计数值和计量值两大类。5计数值:当质量特性值只能取一组特定的数值，而不能取这些数值之间的数值时，这样的特性值称为计数值。计数值数据是只能按0，1，2，……数列取值计数的数据（非负整数），属于离散型变量。它一般由计数(数数）得到计数值可进一步区分为计件值和计点值。对产品进行按件检查时所产生的属性(如统计合格与不合格的产品件数)数据称为计件值。每件产品中质量缺陷的个数称为计点值。如棉布上的疵点数、铸件上的砂眼数等。6计量值:计数值和计量值当质量特性值可以取给定范围内的任何一个可能的数值时，这样的特性值称为计量值。如用各种计量工具测量的数据(长度、重量、时间、温度等)，就是计量值。计量值数据是可以连续取值的数据，属于连续型变量。7二、总体、个体与样本总体与个体

一般我们把研究对象的全体称为总体（或母体）而把每一个研究对象称为个体.

例，在研究某灯泡厂生产的灯泡质量时，该厂生产的灯泡全体构成的一个总体，其中每只灯泡都是个体；

我们通常关心某个总体的某个（某些）数量指标（或数量化的属性特征），一般用X表示所要考察的数量指标（如灯泡的寿命，零件的尺寸，儿童的身高等）。例，为了考察某批灯泡的质量，我们可以考察灯泡的寿命，而不考虑其形状、大小，这时我们就把该批所有的灯泡寿命视为一个总体，其中每个灯泡的寿命就是一个个体。8总体分布

对于一个总体来说,它的每一个数量指标对于不同的个体其指标值可能是不同的,也就是说数量指标X是一个随机变量。例，灯泡的寿命就是一个随机变量，整批灯泡的寿命X就可以用一个随机变量来表示总体是一个具有特定分布的随机变量，不同的总体，其分布也不同。因此，可以将对总体的研究归结为对随机变量X的分布及其主要数字特征的研究。9总体与样本（PopulationandSample）

对总体的研究，当然最好是对每个个体都研究，但这往往是不必要的，有时甚至是不可能的。例，当总体所含个体数量相当大时，若对每个个体都进行研究将浪费大量人力、财力若对总体的研究是破坏性的，如考察某批炮弹的杀伤力，则更不可能对每个个体都作实验

只能从总体中抽取一部分个体进行观察或试验，根据对这部分个体的观察结果来推断总体的分布情况。样本的抽取是随机的，在具体的抽样之前，哪些个体被抽取，不能预先确定，每个个体被抽取的机率是相等的。10样本是总体的代表与反映.但在抽取样本之后，我们并不立即利用样本进行推断，而需对样本进行一番“加工”和“提炼—对样本资料的数量特征及其分布规律进行描述

常用的统计量有：众数、中位数、算术平均数、调和平均数、几何平均数、极差、四分位差、标准差、方差、标准差系数等离散型随机变量常见的概率分布：0－1分布、二项分布、泊松分布、超几何分布连续型随机变量最常见的是正态分布，正态分布是概率统计中最重要的分布11三、数理统计常用的几个特征值及常见分布统计中常用的特征数有两类：一类是表示集中趋势的特征数－如平均数、众数、中位数一类是刻画离散程度的特征数－如方差、标准差、变异系数121、简单算术平均值（arithmeticmean

）：表示平均水平的数值某车队共有10辆车，某日行驶里程如下表：数理统计常用的几个特征值车号12345678910行驶里程(公里)247235245281213212260213219240平均车日行程==10247+235+245+281+213+212+260+213+219+240

=236.5（公里）X=——————————X1+X2+X3…….+Xnn132、加权算术平均数：weightedarithmeticmean用于分组资料的计算：=如，某汽车公司当日班车的行驶里程分组如下：行驶里程（公里）班车数220—23040230—24045240—25050250—26035=

==239.7公里Σ(x·f)

225×40＋235×45＋245×50＋255×35Σf

40＋45＋50＋35组中值225235245255f代表各组变量值出现的频数

143、中位数(Median):

将数据按大小顺序排列起来，形成一个数列，居于数列中间位置的那个数据。先将数据按大小排序：

则中位数就可以按下面的方式确定：~(用X表示)2、3、4、5、6、7中位数：4+5/2=4.51、2、3、6、7中位数是3153、中位数(Median):

将数据按大小顺序排列起来，形成一个数列，居于数列中间位置的那个数据。先将数据按大小排序：

二、数理统计常用的几个特征值则中位数就可以按下面的方式确定：~(用X表示)2、3、4、5、6、7中位数：4+5/2=4.51、2、3、6、7中位数是3164、众数（Mode）：一组数据中出现次数最多的那个数值

例：1，2，3，3，4—众数是31，2，3，4，5—没有众数1，2，2，3，3，4—众数是2和3众数代表一组数据的可靠性较差，不过，众数不受极端数据的影响，并且求法简便17小结：众数,中位数与平均数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.其中,又以平均数的应用最为广泛.

平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系,其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动.众数着眼于对各数据出现的频数的考察,其大小只与这组数据中的部分数据有关.当一组数据中有不少数据多次重复出现时,其众数往往是我们关心的一种统计量.中位数则仅与数据的排列位置有关,因此某些数据的变动对它的中位数没有影响.当一组数据中的个别数据变动较大时,可用它来描述其中趋势.184、极差（Range）

极差表示一组数据分布的范围，是指数据中最大值与最小值的差:

R=Xmax-Xmin1213141621

这组数的极差就是21－12＝9

极差又称全距,反映的是变量分布的变异范围和离散幅度，它体现s的是一组数据波动的范围。195、标准差（StandardDeviation）各数据偏离平均数的距离的平均数，反映一个数据集的离散程度

例：4名儿童的身高分别是110厘米，100厘米，120厘米和150厘米，若求4名儿童身高数据的标准差第1步：计算数据的平均数第2步：计算各数据与平均数之间的离差平方：，并求和∑=(110―120)2+(100―120)2+(120―120)2+(150―120)2=1400第3步：求标准差S：S=

一个较大的标准差，代表大部分的数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。

20结果计算

42-10.5110.25

46-6.542.2550-2.56.25

46-6.542.25629.590.25S2=550/8=68.756815.5240.2550-2.56.25S=8.29563.512.25合计4200550列表计算标准差21小结极差、方差、标准差主要用来反映一组数据的离散程度，也就是反映一组数据的波动大小极差只指明了测定值的最大离散范围，而未能利用全部测量值的信息，不能细致地反映测量值彼此相符合的程度，同时易受极端值的影响标准差也是用来表示一组数据的波动大小的量。方差虽然计算比较复杂，但可以比较全面地反映数据的离散程度，因此标准差实际的应用性强极差的优点是计算简单，含义直观，运用方便，因此某些时候可以作为总体标准偏差的有偏估计值22二项分布贝努利试验及其概率公式贝努利试验：对于n次独立的试验，如果每次试验结果出现且只出现对立事件A与之一，在每次试验中出现A的概率是常数p(0<p<1)，因而出现对立事件的概率是1-p=q，则称这一串重复的独立试验为n重贝努利试验，简称贝努利试验(Bernoullitrials)。重要的离散型分布只有两种可能结果的随机试验称为贝努利试验食品抽样中，产品合格或不合格，种子发芽或不发芽，施药后害虫死或活等等。23贝努利试验的概率公式

在贝努利试验中，事件A可能发生，也可能不发生，用随机变量x表示贝努利试验的两种结果，记A发生时取1，A不发生时取0。那么，贝努利试验的概率公式可以表示为：P（x＝1）＝pP（x＝0）＝q其中x＝1，A事件发生，成功0，A事件未发生，失败也称为两点分布24在n重贝努利试验中，事件A可能发生0，1，2，…，n次，现在我们来求事件A恰好发生k(0≤k≤n)次的概率Pn(k)。事件A在n次试验中正好发生k次共有种情况。由贝努利试验的独立性可知，A在k次实验中发生，而在其余n-k次试验中不发生的概率为二项分布的定义及其特点25一般，在n重贝努利试验中，事件A恰好发生k(0≤k≤n)次的概率为k=0,1,2…，n若把上式与二项展开式相比较就可以发现，在n重贝努利试验中，事件A发生k次的概率恰好等于展开式中的第k+1项，所以也把上式称作二项概率公式。26二项分布定义

设随机变量x所有可能取的值为零和正整数：0,1,2,…，n，且有=k=0,1,2…，n其中p＞0，q＞0，p+q=1，则称随机变量x服从参数为n和p的二项分布(binomialdistribution)，记为x～B(n，p)。二项分布是一种离散型随机变量的概率分布。参数n称为离散参数，只能取正整数；p是连续参数，它能取0与1之间的任何数值(q由p确定，故不是另一个独立参数)。27n值不同的二项分布比较28（2）当p值趋于0.5时，分布趋于对称，如图所示；（3）对于固定的n及p，当k增加时，Pn(k)先随之增加并达到其极大值，以后又下降。（4）在n较大，np、nq较接近时，二项分布接近于正态分布；当n→∞时，二项分布的极限分布是正态分布。二项分布由n和p两个参数决定，其特点是：（1）当p值较小且n不大时，分布是偏倚的。但随着n的增大，分布逐渐趋于对称，如图所示；29p值不同的二项分布比较30二项分布的应用条件：（1）各观察单位只具有相互对立的一种结果，如合格或不合格，生存或死亡等等，非此即彼；（2）已知发生某一结果(如死亡)的概率为p，其对立结果的概率则为1-P=q，实际中要求p是从大量观察中获得的比较稳定的数值；（3）n次观察结果互相独立，即每个观察单位的观察结果不会影响到其它观察单位的观察结果。31波松分布（Poisson）波松分布是一种可以用来描述和分析随机地发生在单位空间或时间里的稀有事件的概率分布。要观察到这类事件，样本含量n必须很大。所谓稀有事件即是小概率事件。在生物、医学等研究中，服从波松分布的随机变量也是常见的。例如，正常生产线中单位事件生产出不合格产品个数，单位事件内机器出现故障的次数，每升饮水中大肠杆菌数，计数器小方格中血球数，一批香肠中含有毛发的香肠数，1000袋面粉中含有金属物的袋数等等，都是服从或近似服从波松分布的。32波松分布的定义若随机变量x(x=k)所有可能取值是非负整数，且其概率分布为

其中λ＞0；e=2.7182…，则称x服从参数为λ的波松分布(Poisson‘sdistribution)，记为x～P(λ)。k=0，1，……33λ是波松分布所依赖的唯一参数。λ值愈小分布愈偏倚，随着λ的增大，分布趋于对称(如图所示)。当λ=20时分布接近于正态分布；当λ=50时，可以认为波松分布呈正态分布。所以在实际工作中，当λ≥20时就可以用正态分布来近似地处理波松分布的问题。波松分布重要的特征波松分布为离散型随机变量的概率分布，其平均数和方差相等，都等于常数λ，即μ=σ2=λ34不同λ的泊松分布35波松分布的概率计算由波松分布的概率计算公式可以看出，依赖于参数λ的确定，只要参数λ确定了，把k=0，1，2，…代入即可求得各项的概率。但是在大多数服从波松分布的实例中，分布参数λ往往是未知的，只能从所观察的随机样本中计算出相应的样本平均数作为λ的估计值，将其代替计算公式中的λ，计算出k=0，1，2，…时的各项概率。36随机变量常见概率分布正态分布（normaldistribution）正态分布是一种很重要的连续型随机变量的概率分布。自然现象中有许多变量是服从或近似服从正态分布的。如瓶装食品的重量、分析测定过程中的随机误差等等。许多统计分析方法都是以正态分布为基础的。因此在统计学中，正态分布无论在理论研究上还是实际应用中，均占有十分重要的地位。37对于波松分布，当λ→∞时，波松分布以正态分布为极限。在实际计算中，当λ≥20(也有人认为λ≥6)时，用波松分布中的λ代替正态分布中的μ及σ2，即可由后者对前者进行近似计算。38正态分布的定义及其特征

1.正态分布的定义若连续型随机变量x的概率分布密度函数为

其中μ为平均数，σ2为方差，则称随机变量x服从正态分布，记为x～N(μ,σ2)。相应的概率分布函数为

(3-12)39分布密度曲线如图所示。正态分布密度（函数）曲线402.正态分布的特征

（1）正态分布密度曲线是单峰、对称的悬钟形曲线，对称轴为x=μ；（2）f(x)在x=μ处达到极大，极大值（3）f(x)是非负函数，以x轴为渐近线，分布从-∞至+∞；下一张

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；41（4）曲线在x=μ±σ处各有一个拐点，即曲线在(-∞,μ-σ)和(μ+σ,+∞)区间上是下凸的，在[μ-σ,μ+σ]区间内是上凸的；（5）正态分布有两个参数，即平均数μ和标准差σ。μ是位置参数，当σ恒定时，μ愈大，则曲线沿x轴愈向右移动；反之，μ愈小，曲线沿x轴愈向左移动。σ是形状参数，当μ恒定时，σ愈大，表示x的取值愈分散，曲线愈“胖”；σ愈小，x的取值愈集中在μ附近，曲线愈“瘦”。42σ相同而μ不同的3个正态分布比较43μ相同而σ不同的3个正态分布比较大44（6）分布密度曲线与横轴所围成的区间面积为1，即：（7）正态分布的次数多数集中在平均数μ的附近，离均数越远，其相应次数越少，在3σ以外的极少，这就是3σ原理的基础。45正态分布是依赖于参数μ和σ2(或σ)的一簇分布，正态曲线的位置及形态随μ和σ2的不同而不同。这就给研究具体的正态总体带来困难，通常将一般的N(μ，σ2)转换为μ=0,σ2=1的正态分布。标准正态分布

μ=0,σ2=1的正态分布为标准正态分布(standardnormaldistribution)。46标准正态分布的概率密度函数及分布函数分别记作ψ(u)和Φ(u)，下一张

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μ＝0σ＝147随机变量u服从标准正态分布，记作u～N(0，1)，分布密度曲线如图所示。标准正态分布曲线48

对于任何一个服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量x，都可以通过标准化变换，u=(x-μ)／σ将其变换为服从标准正态分布的随机变量u。u称为标准正态变量或标准正态离差。

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x～N(μ,σ2)x～N(0,1)u=(x-μ)／σ49正态分布的概率计算1.标准正态分布的概率计算

设u服从标准正态分布，则u在[u1，u2）内取值的概率为：＝Φ(u2)－Φ(u1)Φ(u1)与Φ(u2)可由附表1查得。50【例】已知u～N(0，1)，试求：(1)P(u＜-1.64)＝?(2)P(u≥2.58)=?(3)P(｜u｜≥2.56)=?(4)P(0.34≤u＜1.53)=?51由标准正态分布概率计算式及正态分布的对称性可推出下列关系式：P(0≤u＜u1)＝

P(u≥u1)=

P(｜u｜≥u1)=

P(｜u｜＜u1）

＝

P(u1≤u＜u2)＝Φ(u1)-0.5Φ(-u1)2

Φ(-u1)(3-17)1-2

Φ(-u1)Φ(u2)-Φ(u1)52(1)P(u＜-1.64)=0.05050(2)P(u≥2.58)=Φ(-2.58)=0.024940(3)P(｜u｜≥2.56)=2Φ(-2.56)=2×0.005234=0.010468(4)P(0.34≤u＜1.53)=Φ(1.53)-Φ(0.34)=0.93669-0.6331=0.30389下一张

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532.一般正态分布的概率计算若随机变量x服从正态分布N(μ,σ2)，则x的取值落在任意区间[x1,x2）的概率，记作P(x1≤x＜x2)，等于图3—8中阴影部分的面积。即：正态分布的概率54

作变换u=(x-μ)／σ故有(3-18)其中，55表明服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量x在[x1，x2）内取值的概率，等于服从标准正态分布的随机变量u在[(x1-μ)/σ,(x2-μ)/σ）内取值的概率。因此，计算一般正态分布的概率时，只要将原区间的上下限作适当变换(标准化)，就可用查标准正态分布的概率表的方法求取某一区间的概率。56【例3-8】P53已知x～N（100，22），试求P(100≤x＜102)＝？。=P(0≤u＜1)=Φ(1)-Φ(0)=

0.8413-0.5000＝0.341357【例】设x服从μ=30.26,σ2=5.102的正态分布，试求P(21.64≤x＜32.98)。令则u服从标准正态分布，故=P(-1.69≤u＜0.53)=Φ(0.53)-Φ(-1.69)=0.7019-0.04551=0.6564

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58

前面讨论的三个重要的概率分布中，前两个属离散型随机变量的概率分布，后一个属连续型随机变量的概率分布。三者间的关系如下：

对于二项分布，在n→∞,p→0，且np=λ(较小常数)情况下，二项分布趋于波松分布。在这种场合，波松分布中的参数λ用二项分布的np代之；在n→∞,p→0.5时，二项分布趋于正态分布。在这种场合，正态分布中的μ、σ2用二项分布的np、np

q代之。在实际计算中，当p＜0.1且n很大时，二项分布可由波松分布近似；当p＞0.1且n很大时，二项分布可由正态分布近似。59检验是用计量、测定、试验等方法对检验对象进行测试，将其结果与质量标准进行比较，做出合格与否的判定，对能否适合下道工序使用或能否提供给用户做出处理的决策过程。抽样检验的基本概念60检验的类型1、全数检验所谓全数检验就是对全部产品逐个地进行测定，从而判定每个产品合格与否的检验。它又称全面检验、100%检验。其处理对象是每个产品。

全数检验的适用场合（1）生产过程不能保证达到预先规定的质量水平，不合格品率大时。（2）不合格的产品会造成严重的不良后果，如果漏检有可能造成人身事故或对下道工序或消费者带来重大损失，必须进行全数检验。如彩电、冰箱等家电的耐压特性。

（3）条件允许，能容易地进行质量检验,且费用低廉。

61（4）批量比较少，且批的大小和样本大小接近，没有必要进行抽样检验（5）同检验费用相比，产品价值特别昂贵，应进行全数检验如：飞机等全数检验的缺点（1）有些产品的检验具有破坏性（2）有些产品的产量很大，对其进行全数检验需花费大量的人力、物力、财力，不经济（3）在数量多、速度快、时间长等情况下，全数检验容易产生错检和漏检。（4）全数检验是一种消极的检验方法，不能引起生产者对产品质量的关心62抽样检验

抽样检验是从一批产品中随机抽取一部分产品，通过检验少量产品来对这批产品的质量进行评估，进而判断这批产品是否接收的活动。它不是逐个检验这批产品中的所有产品，而是按照规定的抽样方案和程序从一批产品中随机抽取部分单位产品组成样本，根据样本测定结果来判断该批产品是否接收。63抽样检验的适用场合（1）破坏性检验；（2）产量大而不能进行全数检查的时候（3）检验对象是连续体的检验，如对布匹、油的检验等；（4）检验项目过多、周期长，进行全数检验有困难（5）希望节省检验费用的场合64抽样检验常用的名词术语（1）单位产品：为实施抽样检验的需要而对产品划分的基本单位。单位产品是可单独描述和考察的事物。（2）检验批：为实施抽样检验而汇集在一起的一定数量的单位产品。构成检验批的所有产品应当是同一生产条件下所生产的同型号、同规格的单位产品。（3）批量：检验批中单位产品的数量。常用N表示。（4）缺陷：单位产品的质量特性不符合产品技术标准、工艺文件、图样所规定的技术要求65缺陷的分级：个体的缺陷往往不止一种，其后果不一定一样。应根据缺陷后果的严重性予以分级。致命缺陷（A类缺陷）：对使用、维护产品或与此有关的人员可能造成危害或不安全状况的缺陷：或可能损坏重要产品功能的缺陷叫致命缺陷。重缺陷（B类缺陷）：不同于致命缺陷，但能引起失效或显著降低产品预期性能的缺陷叫重缺陷。轻缺陷（C类缺陷）：不会显著降低产品预期性能的缺陷，或偏离标准差但只轻微影响产品的有效使用或操作的缺陷。66（5）批不合格品率p：批中不合格的单位产品所占的比例。D——批产品中不合格品的个数；Ｎ——批产品的总数（6）批平均不合格品率67实行抽样检验时，D是未知的，一般是用抽样检验结果的历史资料进行估计。（7）抽样方案：规定了每批应检验的单位产品数（样本量）和有关接收准则（包括接收数、拒收数等）的一个具体方案。68抽样检验方案的分类（1）按检验特性值的性质分类 1）计量抽样检验：是通过测量样本中的质量特性值并与标准进行比较，进而推断整批产品是否接收。抽样检验方案与随机抽样692）计数抽样检验：对检验批中每个个体记录有无某种属性，计算共有多少个体有（或无）这种属性；或者计算每个个体中的缺陷数的检验方法叫计数检验不合格品数计数抽检方式

例如从N=1000的群体中，随机抽取n=80的样本，样本中如发现2个或2个以下不合格品时，则判断群体为合格3个以上不合格品时，则判断群体为不合格这种抽检方式可表示为（N=1000，n=80，c=2）70缺陷数计数抽检方式例如从N=1000的群体中，随机抽取n=80的样本，计算样本的缺陷数，样本中如发现30个或30个以下缺陷数时，则判断群体为合格31个以上缺陷数时，则判断群体为不合格这种抽检方式可表示为（N=1000，n=80，c=30）71（2）按实施方式分类1）标准型该方案是在抽样方案中对供、购双方都规定质量保护和质量保证值，具有可满足供、购双方要求特点的抽样检验。适合于对产品质量不了解的场合，如：从新的单位购入的货品、或偶尔在市场上购买货品的验收。2）调整型该类方案由一组方案（正常方案、加严方案和放宽方案）和一套转移规则组成，根据过去的检验资料及时调整方案的宽严,以控制质量波动，并刺激生产方主动、积极地不断改进质量。72（3）按抽取样本的次数分类

1）一次抽样：根据一次抽取样本中的不合格品数来判断批产品的接收与否。2）二次抽样：根据二次抽取样本中的不合格品数来判断批产品的接收与否。3）多次抽样：抽取两个以上样本才对抽检批作出判断。73一次抽样方案一次抽检方案是最简单的计数抽样检验方案，通常用（N，n，c）表示。从批量为N的交验产品中随机抽取n件进行检验，并且预先规定一个合格判定数c。如果发现n中有d件不合格品，当d≤c时，则判定该批产品合格，予以接收；当d>c时，则判定该批产品不合格，予以拒收。

74例如：当N=100，n=10，c=1，则这个一次抽检方案表示为（100，10，1）。其含义是指从批量为100件的交验产品中，随机抽取10件，检验后，如果在这10件产品中不合格品数为0或1，则判定该批产品合格，予以接收；如果发现这10件产品中有2件以上不合格品，则判定该批产品不合格，予以拒收。

75二次抽样方案例如从N=1000的群体中，随机抽取n1=100的样本，样本中如发现d1个不合格品，当d1≤Ac1时，则判断群体为合格d1≥Re1时，则判断群体为不合格Ac1＜d1＜Re1时，再抽取n2=150的第二次样本如果第二次样本中发现d2个不良品，当d1+d2≤Ac2时，判断群体为合格d1+d2≥Re2时，判断群体为不合格76二次抽样方案N,n1,n2,Ac1,Re1,Ac2,Re2在N件中随机抽n1件，设检验出d1件不合格若d1≧Re1判定不合格若d1≦Ac1判定合格若Ac1<d1<Re1則再抽取n2件设检验出d2件不合格若d1+d2≦Ac2判定合格若d1+d2≧Re2判定不合格77多次抽样多次抽检方案是允许通过三次以上的抽样最终对一批产品合格与否作出判断。按照二次抽检方案的做法依次处理。注意：95%都采用一次抽样；并不存在结论认为多次抽样优于一次抽样78随机抽样随机抽样就是每次抽取样本时，批中所有的单位产品都具有同等被抽到的机会的一种抽样方法。1、简单随机抽样2、分层随机抽样3、系统随机抽样79⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙抽样简单随机抽样简单随机抽样是从批量为N的检验批中抽取大小为n的样本，如果批中每个单位产品被抽到的可能性都相等，则称为随机抽样。简单随机抽样时必须注意不能有意识抽好的或差的，也不能为了方便只抽表面摆放的或容易抽到的。

80常用的简单随机抽样方法有（1）抽签法（2）随机骰子法将被抽取的一批产品，事先编成号码，哪一个产品编号数与郑出骰子的点数相同，该产品被抽取。（3）随机数表法国际上通用的随机数表，是将0到9的数字，以相同被抽取的机会排成1位数、2位数、3位数等的数表。优点是抽样误差小，缺点是手续繁琐。81++++++++++++++++**********************################$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$+++***###$$$分层抽样法分层抽样是将一批产品按不同的生产班组、加工设备、不同的操作者、不同的操作方法进行分层，并使同一层内的产品质量均匀一致，然后在各层内分别随机抽取一些单位产品，合在一起构成一个样本，对其质量进行评估时的一种抽样方法。

82

系统随机抽样是一种从总体中每隔k个个体抽取一个样本的抽样方法，其中k值是抽样比值。比值是总容量N与样本容量n之比，即k=N/n。系统随机抽样法例：今有总体1000个，欲自其中抽取50个样本，试问如何执行系统抽样？自1~1000对总体编号取k=1000/50=20在1~20中随意取一个数，如果取出来的是1，那么就取1,21,41,61,81…..981号。83计数抽样检验的基本原理一、批质量的判断在批质量检验时，首先要确定一个合格的批质量水平pt，如果p≤pt，则认为这批产品可接受；如果p＞pt，则认为这批产品不可接收。实际上通过抽样检验不可能精确得到批不合格率p，除非进行全数检验。所以在保证样本量n对批量N有代表性的前提下，可以用样本中包含的不合格品数d来推断整批质量，并与标准要求进行比较来判断批的接收与否。84二、接收概率与抽检特性曲线1、样本中出现不合格品的概率设交验批的批量N为有限值，其中包含D个不合格品，从中随机地抽取大小为n的样本时，则该样本中出现的不合格品数d的概率是一个随机变量，其概率分布符合超几何分布852、接收概率接收概率是指根据规定的抽样方案(n、c)，把具有给定质量水平的检验批判为接收的概率。通常记为L（p）L(p)为抽检方案（n、c）的特性函数，其几种表达式为：（1）超几何分布表达式86（2）二项式分布表达式当N较大，n/N<0.1时可以用二项分布来简化计算。当批量N较大时，抽取一个产品后对这批产品的不合格率影响不大，可以认为每次抽取一个产品时，这批产品的不合格率是不变的，因此可以近似地用二项分布来计算。87（3）泊松表达式当N较大，n/N<0.1,且p较小，np在0.1-10之间时，可以用泊松分布来进一步简化。88抽检特性曲线（OC曲线）在实际中，检验批的不合格品率p是未知的，而且不是固定的值。对于一定的抽样方案，每一个不同的p值有一个对应的接收概率L（p），它们之间的变化规律称为抽样特性。表示抽样特性的曲线就称为抽样特性曲线。一般来说，抽检特性曲线是指给定抽样方案时，表示接收概率与实际质量函数关系的曲线，简称OC曲线。89（1）理想抽检方案的OC曲线如果规定，当批的不合格品率p不超过p0时，这批产品可接收，那么，理想的抽样方案应当满足：当p≤p0时，接收概率L（p）=1；当p＞p0时，接收概率L（p）=0。理想的OC曲线在实际中是不存在的，即使采用全数检验也难免采用出现错检和漏检。902）线性抽检方案的OC曲线抽样方案（1，0）的OC曲线为一条直线，线性OC曲线的鉴别能力很差，当批的不合格品率p达到50%时，接收概率仍有50%。91（3）实际的OC曲线一个好的OC曲线应当是：当这批产品质量较好，如p≤p0时，能以高概率判为接收；当批质量差到某个规定的界限p≥p1时，能以高概率判为不接收；当产品质量变坏时，如p0＜p＜p1时，接收概率应迅速减小。92生产方风险α：对于给定的抽样方案，当批质量水平（如不合格品率）为某一指定的可接收值（如可接受质量水平）时的拒收概率。即好的质量批被拒收时生产方所承担的风险，一般取0.05；使用方风险β：对于给定的抽样方案，当批质量水平（如不合格品率）为某一指定的不满意值（如极限质量水平LQL）时的接收概率，即坏的质量批被接收时使用方所承担的风险，一般取0.10；93抽检方案的评价标准：一是可靠性；二是经济性。可靠性是指抽检方案的抽检特性是否满足订货和供货双方的要求；经济性是指抽检费用，表现为使用的平均样本量大小。抽检方案的评价好的抽样方案是在一定生产条件和保证产品质量的要求下，要有很强的辨别能力（两种错判概率尽可能小），抽检的数量尽量少。941、抽检方案一定，批量大小对OC曲线的影响样本量n和合格判定数c不变时，批量N对OC曲线的变化影响不大。952、合格判定数c一定，样本量n对OC曲线的影响批量N和合格判定数不变时，样本量n愈大，OC曲线愈陡，生产方危险率越大，使用方危险率越小。963、样本大小一定，合格判断数c对OC曲线的影响批量N和样本量n不变时，合格判定数c愈小，OC曲线愈陡，生产方危险率越大，使用方危险率越小。974、百分比抽检法的OC曲线百分比抽样方案就是不论产品的批量N如何，均按同一百分比抽取单位产品(样品)组成样本，而对样本中的不合格判断数都规定为0。因此百分比抽样方案为(n=pN，c=0)，p为一固定比例。例：供方有批量不同但批质量相同(P=5%)的三批产品交检，均按10%抽取样品检验，于是可得到下列三种方案：①N=900,n=90,c=0②N=300,n=30,c=0③N=90,n=9,c=0.OC曲线如图所示:98表面上看，这种百分比抽样方案似乎很公平合理，但比较一下它们的OC曲线就会发现，在批质量相同的情况下，批量N越大，n越大，L(p)越小，方案越严，生产方危险率越大；而N越小，L(p)越大，方案越松。这等于对N大的检验批提高了验收标准，而对N小的检验批却降低了验收标准，因此百分比抽样方案是不合理的。99计数标准型抽样检验计数标准型抽样检验就是同时规定对生产方的质量要求和对使用方的质量保护的抽样检验过程。原理：给定接收上限p0、拒收下限p1以及两种错判概率α，β，控制优质批（p≤p0）错判为不合格的概率不得超过α，劣质批（p≥p1）错判为合格的概率不得超过β。计数标准型抽检方案的OC曲线必须通过预先规定的两个点（p0，1-α

）与（p1，β

）100生产方风险点A：OC曲线上对应于规定生产方风险质量和生产方风险的点；使用方风险点B：OC曲线上对应于规定使用方风险质量和使用方风险的点；希望不合格品率为p1的批尽量不接收，其接收概率L（p1）=β；希望不合格品率为p0的批尽量接收，其不接收概率1-L（p0）=α，一般规定α=0.05,β=0.10。101计数标准型抽样方案的特点：1）通过选取相应于p0、p1的α、β值，同时满足供需双方的要求，对双方提供保护。2）适用于来源不明、不了解以往的质量情况的孤立批的检验，企业外购、外协件的检验和从流通领域购入产品的检验，由于同时对双方实施保护，在同等质量要求的前提下，所需抽取的样本量较大，故特别适用于大批量的检验。3）同时适用于破坏性检验和非破坏性检验102计数标准型一次抽样检验的抽检步骤（1）规定质量标准对于单位产品，应明确规定区分合格品与不合格品的标准界限。（2）规定p0、p1及α，β

①p1，p0值应由供需双方协商决定②作为选取p1，p0的标准，一般取α=0.05，β=0.10。③确定p0时,应考虑不合格品的性质。通常，A类不合格品的p0值要选得比B类的要小，B类的要比C类的要小。103P1的选取，一般应使p1，p0拉开一定的距离，以α=0.05，β=0.10为准，p1=（4~10）p0。

（3）确定批量N

同一批内的产品应当是在同一制造条件下生产的。批量大小应适宜。104（4）确定方案（n，c）（5）检验α，β（6）抽取样本抽取样本时，必须采用随机抽样法，抽取代表检验批的样品。（7）测定产品特性值根据规定的质量标准，对样本中的每一个单位产品进行测定，并统计不合格品个数。（8）对检验批进行判断若d小于或等于c，则判定检验批合格若d大于c，则判定检验批不合格（9）处理检验批105计数调整型抽样检验

计数调整型抽样检验是由一组方案（正常方案、加严方案和放宽方案）和一套转移规则组成，根据过去的检验资料及时调整方案的宽严,以控制质量波动,促使生产方提供合格产品的一种抽样检验方法。当批产品质量正常时，采用一个正常的抽检方案进行检验；当批产品质量下降或生产不稳定时，改用加严方案进行检验，以减小使用方承担的风险；当批产品质量上升时，改用一个放宽方案进行检验，以加强对供货方的保护

106合格质量水平的确定可接受质量水平（AcceptableQualityLimit,AQL）是当一个连续系列批提交验收抽样时，可允许的最差过程平均质量水平。可接收质量水平是调整型抽检方案的基本参数，也是选择方案时依据的质量标准。GB2828-87中AQL称为合格质量水平。合格质量水平（AQL值）是调整型抽检方案的基本参数，是生产方和使用方共同认为满意的判定批合格或不合格的过程平均不合格品率（或百单位缺陷数）的上限值。107过程平均不合格品率是指对生产方提供的20个批以上产品的初次检验时发现的平均不合格品率。式中ni——第i批样本量；di——第i批样本中的不合格品数；k——批次108注：（1）在实践中，p值是不易得到的，一般利用抽样检验的结果来估计；（2）p值可用来预测最近将要交检的产品不合格率；（3）批数一般不应少于20批；如是新产品，开始时可以用5~10批的抽检结果估计，以后应不少于20批。当p≤AQL时，应使用正常方案进行检验；当p＞AQL时，使用加严方案，以降低使用方风险；当p＜＜AQL时，使用放宽检验，以带来良好的经济性。109AQL一般在技术标准中确定，也可在生产方及使用方的订货合同中规定，一般遵守下面三条原则：（1）军用产品AQL<工业产品AQL<民用产品AQL。（2）严重不合格项AQL<一般不合格项AQL<轻微不合格项AQL（3）订货方可根据要求提出满意的AQL值，但必须考虑生产方的生产能力，AQL值提的过严，会使生产方的成本增加，故确定AQL值应与产品性能水平一致。110确定AQL值的方法：

（1）按用户要求的质量确定当用户根据使用要求、经济条件发出必须保证的质量水平（不合格品率好或百单位缺陷数）时，将其质量要求定为AQL值。（2）按缺陷级别（不合格类别）确定要求AQL值A类＜B类＜C类，也可在同类不合格的不同项目再规定可接收质量水平；

111（3）根据过程平均确定用以往的检查数据求平均值，在此基础上决定AQL。对批量生产来讲，当质量信息颇多时，常采用此方法决定AQL（4）与生产方协商确定供需双方商定AQL比较妥当，这种确定AQL的方法，对新产品且非常缺乏质量信息时，常常采用。112抽检水平的确定抽检水平又称检查水平，它是反映批量N与样本量n之间关系的等级。GB2828-1981标准中规定检查水平有七级。（1）一般检查水平分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三个检验水平。水平Ⅱ为正常检验水平，无特殊要求时，均采用该水平。当需要的判别力比较低时，可规定使用一般检验水平Ⅰ，当需要的判别率比较高时，可规定使用一般检验水平Ⅲ。（2）特殊检查水平分为S-1，S-2，S-3，S-4四个检验水平。特殊检查水平所抽取的样品较少，仅适用于破坏性检验或检验费用高的情况。113检验水平变化对OC曲线的影响如图所示：检验水平nAcReS-31301Ⅰ5012Ⅱ12534Ⅲ20056检验水平越高判别优质批和劣质批的能力越强。114检验水平的选择应考虑以下几方面：

（1）产品的复杂程度与价格。（2）过程的稳定性。产品质量稳定，差异小时，选用低的检查水平（3）是否破坏性检验。

破坏性检查或严重降低产品性能的检查，选用低的检查水平。

115（4）保证AQL的重要性。为保证AQL，使得劣于AQL的产品批尽可能少的漏过去，宜选用高的检查水平。

（5）各批之间的质量差异程度。产品质量不稳定，波动大时，选用高的检查水平。（6）批内质量波动幅度大小。（7）检验费用包括人力、物力、时间等较低时，选用高的检查水平。检查费高时，选用低的检查水平116宽严程度的转移规则在GB/T2828.1-2003中规定有三种不同严格程度的检验方案：正常检验、加严检验和放宽检验。正常检验当过程平均优于AQL时抽样方案的一种使用方法。加严检验具有比相应正常检验抽样方案接收准则更严厉的接收准则的抽样方案的一种使用方法。放宽检验具有样本量比相应正常检验抽样方案小，接收准则和正常抽样检验方案的接受准则相差不大的抽样方案的一种使用方法。117GB/T2828.1-2003规定三种检验方案之间的转移规则如下:（1）从正常检验转到加严检验。当正在采用正常检验时，只要初次检验中连续5批或少于5批中有2批是不可接收的，则转移到加严检验。这里不考虑再提交批。（2）从加严检验转到正常检验。当正在进行加严检验时，如果初次检验的连续5批已被认为是可接收的，应恢复正常检验。118（3）从正常检验到放宽检验。当正在进行正常检验时，如果下列各条件均满足，应转移到放宽检验：①连续10批（不包括再次提交检验批）正常检查合格；②从这连续的10批中抽取的样本，其中不合格品总数（或缺陷总数）是在放宽检查界限以下；③生产稳定；④检查员或主管者认为放宽检验可取。119（4）从放宽检验转到正常检验。当正在进行放宽检验时，如果初次检验出现下列任一情况，应恢复正常检验：①一个批未被接收；②生产不稳定或延迟；③认为应恢复正常检验的其他情况。（5）暂停检验。进行加严检验时，如果连续10批均停留在加严检验时，应暂时停止检验，只有在供方采取了改进产品质量的措施后，并经负责部门同意后，才可恢复检验。恢复检验应从加严检验开始。120开始连续10批合格；连续10批的样本中不合格品（或不合格）总数小于或等于LR；生产过程稳定；主管质量部门同意以上条件同时成立一批放宽检验不合格；生产过程不稳定；主管质量部门认为有必要回到正常检验；以上任一条件成立连续5批合格连续不超过5批中有2批不合格正常检验质量达到或超过要求，主管质量部门同意加严检验累计10批停留在加严检验停止检验放宽检验121第二节质量管理统计工具概述老“QC”七法：分层法因果图法排列图法调查表法直方图法散布图（也叫相关图）法控制图法新”QC“七法关系图法KJ法系统图法矩阵图法矩阵数据分析法PDPC法箭条图法122一、分层法(Stratification)根据产生数据的特征（何人、何处、何种方法、何种设备等）而将数据划分成若干组，也就是将分门别类。目的是把错综复杂的质量影响因素分析清楚，使数据能更加明确地反映质量活动规律。应用分层法的关键：使一层内的数据波动幅度尽可能小，各层之间的差异尽可能大。过程控制中分层的标志：操作者、设备、原材料、操作方法、时间、检测手段、缺陷项目。123

分层法(Stratification)124二、调查表法

(worksheet)

调查表：也称检查表，利用调查表（统计图表）进行数据收集、整理和粗略分析的一种方法。常用的调查表：

1、缺陷位置调查表。调查产品各部位的缺陷情况，在调查图表中的产品示意图上标示缺陷位置。2、缺陷项目调查表。调查产品缺陷的种类和所占比重，对不良项目分门别类进行调查统计。3、缺陷原因调查表。以操作者、操作设备、操作方法、加工对象、时间等为标志进行分层调查，弄清不良品发生原因，找出关键影响因素。4、过程分布调查表。对过程中加工对象的技术特征进行检测和记录，并进行调查数据的分布分析，掌握过程分布的特征。125案例一：缺陷位置调查表

分析：不仅关注产品所发生的不良数量，同时关注不良所处的位置而在产品示意图上，利用不同标识来记录所发生数量和所处位置的记录方式。

▲●◎◎◎◎◎●欠品×连锡▲立件××调查表法

(worksheet)126案例二：缺陷项目调查表

分析：事先已对不良项目有明确的划分，通过列表，让现场操作员在工作进行之中,进行划记号(每一划代表1件不良品)来简单记录所发现的不良品数量。

缺陷频数缺陷项目小计欠品连锡假焊部品破损其它合计SW浮高322394879127调查表法

(worksheet)127案例三：缺陷原因调查表

分析：将不良发生的相关方面给予不同的标识规定后，在相关的表单上记录的方法，特点是可在问题提出后，直接确定主要原因进行纠场操作员在工作进行之中进行纠正。

4月6日4月7日●欠品×连锡▲立件原因设备工人上午下午上午下午上午下午日期项目代号名称4月8日放大镜AB7205－05－302外观检查DISPLAYPWB▲●●●××●●××●●●●×××●●●××●●●●▲▲●●●●▲调查表法

(worksheet)128案例四：工序分布检查表

分析：对于了解计量型产品特性的分布情况能一目了然，在记录完成后能直接体现直方图同等效果。可利用坐标方格纸直接使用。

规格要求50±0.06020253035405101550.0050.0649.9449.9850.0250.0449.9649.9250.08调查表法

(worksheet)129三、排列图法(pareto)又称主次因素分析图或帕累托图原理：帕累托法则：有关收入分布的法则揭示了“关键的少数和无关紧要的多数”的规律。帕累托法则应用于许多领域，又称为ABC分析法排列图的组成：两个纵坐标轴、一个横坐标轴、顺序排列的直方块和一条累计百分率曲线。用途：將該原理用于在質量管理中，用來寻找主要問題或影响質量的主要原因。130横坐标表示影响产品质量的因素或项目左边的纵坐标表示频数，即不合格品的件数、次数等。右边的纵坐标表示频率，即不合格品的百分比直方块高度表示该因素的影响程度（频数）曲线表示各影响因素影响程度比重的累计百分率

排列图法(pareto)131

排列图法(pareto)用排列图分析时，把影响产品质量的因素分为A、B、C三类：A类：累计百分率在80%以内的诸因素；B类：累计百分率在80%-90%之中的诸因素；C类：累计百分率在90%-100%的诸因素。A类因素为质量改进的主要因素。132序号原因频数（班次）频率（%）累计频率（%）1驾驶员责任4647472车况不良3031783发车员责任1111894道路阻塞44935气候不好33966其他原因44100合计：98100例：某客运车站某月晚点班次数为98班，经分析晚点原因主要是：①驾驶员责任；②发车员责任；③车况不良；④道路阻塞；⑤气候不好，还有一些其他原因。试作排列图分析。将98个晚点班次按不同原因分层统计，作出分层统计表作分层统计表时注意将影响因素从大到小顺序排列，“其他”一栏放在最后

13320

40608010050%100%2040608010050%100%画出两个纵坐标和一个横坐标，在左边纵坐标的最高点标上100（略高于晚点班次数98）。在右边纵坐标与左边刻度98齐平的地方标上100%，因为分层统计共有六项，所以将横坐标六等份，并表上序号

以各项目的频数为高度，依次画出直方，如第一项驾驶员责任为46次，则以右边横坐标46的高度画出第一个直方，以下类推134频率（%）50%100%20406080100N=9847%78%89%93%画出帕累托曲线，在第一个直方图的右上角点一个点，标出该直方的百分比“47%”，把第二个直方的右边线延长，在第二项与第一项的累计频率78%的高度打一个点，并表上“78%”，以下类推，将所有的点连接起来即为帕累托曲线。135因果分析图法(causeandeffectdiagram)

从产生的质量问题出发，先找大类因素，针对各个大类因素，展开到中因素、小因素，直至找到最终原因。针对根本原因，制订和采取有效的对策。图形状象树枝或鱼刺，也叫树枝图或鱼刺图、石川图.

因果分析图由原因和结果两部分组成。结果是我们所要分析的质量问题，原因由主干、大枝、中枝、小枝所组成.大原因(大枝)中原因(中技)(小技)小原因人机料结果法环136四、因果分析图法(causeandeffectdiagram)主干是指向质量原因的一条水平线。大枝是表示产生质量问题的几大类因素，一般从人、机、料、法、环五大因素分析原因.中枝是各类大原因中分析出的具体因素,小枝是在中原因的基础上进一步分析出的更具体的因素这种图反映的因果关系直观、醒目、条例分明，用起来比较方便，效果好大原因(大枝)中原因(中技)(小技)小原因人机料结果法环137一旦确定了因果分析图，项目团队就应该对之进行解释说明，通过数据统计分析、测试、收集有关问题的更多数据或与客户沟通来确认最基本的原因。确认了基本原因之后，项目团队就可以开始制定解决方案并进行改进了。

138五、散布图法

(scatterdiagram)

散布图：又称相关图（散点图），是判断两个变量之间是否存在相关关系的分布状态图形。散布图构成：由分布在直角坐标系中的一系列点构成，这些点表示所分析变量的若干对数据139应用散布图的步骤收集成对数据（X，Y）（至少不得少于30对）。标明X轴和Y轴。找出X和Y的最大值和最小值，并用这两个值标定横轴X和纵轴Y。描点（当两组数据值相等，即数据点重合时，可围绕数据点画同心圆表示）。判断（分析研究点子云的分布状况，确定相关关系的类型）。散布图的相关性判断对照典型图例判断法象限判断法相关系数判断法钢的淬火温度与硬度的相关关系判断54880265284011498403046820155086029458301452860285183013468302753870125084025538200578802442810954880235186085385022508707448102159890644820205485054983019458404558701848850355860175689024882016478101硬度（HRC）Y淬火温度（C0）x序号硬度（HRC）Y淬火温度（C0）x序号对照典型图例判断法81042444648505254565860820830840850860870880890●

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○硬度（HRC）淬火温度（℃）2.象限判断法－象限判断法又叫中值判断法、符号检定判断法。使用此法的步骤如下：在散布图上画一条与Y轴平行的中值线f，使f线的左、右两边的点子数大致相等；在散布图上画一条与X轴平行的中值线g，使g线的上、下两边的点子数大致相等；f、g两条线把散布图分成4个象限区域I、II、III、IV。分别统计落入各象限区域内的点子数；分别计算对角象限区内的点子数；判断规则；若nI＋

nIII＞

nII＋

nIV，则判为正相关若nI＋

nIII＜

nII＋

nIV，则判为负相关象限判断法8104244464850525456586082083084085086087088089081042444648505254565860820830840850860870880890●

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○81042444648505254565860820830840850860870880890●

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○硬度（HRC）淬火温度（℃）gfⅠ

Ⅱ

ⅢⅣ3.相关系数判断法相关系数判断法的应用步骤：简化X、Y数据。计算X’2，

Y’2，X’Y’、（

X’＋

Y’）和（

X’＋

Y’）2。计算∑

X’、∑

Y’、∑

X’Y’、∑X’2、∑Y’2

、∑（

X’＋

Y’）和∑（

X’＋

Y’）2。计算LX’X’

、LY’Y’

、LX’Y’

。LX’X’=∑

X’2－（∑X’）

2NLY’Y’

=∑

Y’2－（∑Y’）

2NLX’Y’

=∑

X’Y’

－（∑X’

）（∑Y’）N计算相关数据（γ

）。γ＝

LX’Y’LX’X’LY’Y’查出临界相关数据（γα

）。γα

可根据N－2和显著性水平α查表求得。判断。判断规则：若∣

γ

∣

＞

γα

，则X与Y相关若∣

γ

∣

＜

γα

，则X与Y不相关相关系数判断法相关系数判断法169133681169430804945317163778839312141合计256166010036106293241872144361262881918369632748422112196641482619614401001610425625251362896417824484221121966414823324186516925135222554161412136681644220144122781993194842210522549157184412190225361561710010166448216（

X’＋

Y’）2X’＋

Y’X’Y’Y’2X’2Y’X’NO注：①表中X’值是（X－800）1/10的简化值；Y’值是（Y－40）×1的简化值。

②表中X’＋

Y’、（

X’＋

Y’）2栏是校对栏，以免X’、Y’、X’2、Y’2

、X’Y’各栏计算错误，导致相关性结论错误。校核公式是：

∑（

X’＋

Y’）＝∑X’＋∑Y’

∑（

X’＋

Y’）2＝∑X’2＋2∑（

X’＋

Y’）＋∑Y’2计算LX’X’

、LY’Y’

、LX’Y’

。LX’X’=∑

X’2－（∑X’）

2NLY’Y’

=∑

Y’2－（∑Y’）

2NLX’Y’

=∑

X’Y’

－（∑X’

）（∑Y’）＝839

－

（141）

230＝176.3＝3778－

（312）

230＝533.2＝1716－

30＝249.6141×312计算相关系数（γ

）。γ＝

LX’Y’LX’X’LY’Y’＝176.3533.2249.6＝0.814查出临界相关数据（γα

）。查表求得γα＝0.361（α

＝0.05）γ＝

0.814

>γα＝0.361，所以钢的硬度与淬火温度呈强正相关。以上三种判断方法对同一实例进行分析判断的结论是一致的。相关系数检查表0.1810.1382000.4490.349300.2540.1951000.4560.355290.2670.205900.4630.361280.2830.217800.4700.367270.3020.232700.4780.374260.3250.250600.4870.381250.3540.273500.4960.388