材料力学梁的变形

材料力学梁的变形第一页，共二十一页，2022年，8月28日1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用y表示。向下为正，反之为负。

2.转角：横截面绕其中性轴相对于原位置转动的角度。用表示，顺时针转动为正，反之为负。二、挠曲线：变形后，轴线变为连续光滑曲线，该曲线称为挠曲线。平面弯曲时，梁的挠曲线为在外力作用平面内的平面曲线。一、度量梁变形的两个基本位移量FxyCqC1yq横截面上其他点的位置随之确定。注：上述正负号规定是相对于图示坐标系而言的。第二页，共二十一页，2022年，8月28日三、挠度与转角的关系1.梁的挠曲线方程沿梁轴线方向各横截面挠度的变化规律。2.转角方程3.小变形时，挠度与转角的关系四、计算弯曲变形的方法积分法；叠加法；能量法。第三页，共二十一页，2022年，8月28日7.2梁的挠曲线近似微分方程1.平面弯曲时，弯矩与曲率间的物理关系

公式推导中应用了胡克定律，并不计剪力对弯曲变形的影响，故适用于线弹性范围、小变形的情况。2.高等数学中，平面曲线的曲率公式小变形，梁的挠曲线是一条平缓曲线，转角很小，。故第四页，共二十一页，2022年，8月28日3.梁的挠曲线近似微分方程yxM>0yxM<0

梁的挠曲线近似微分方程(1)不计剪力对弯曲变形的影响；(2)忽略项。4.正负号选取第五页，共二十一页，2022年，8月28日7.3用积分法求梁的挠度和转角

一、求挠曲线方程的积分法由挠曲线的近似微分方程，积分两次，即得梁截面的转角和挠度方程。挠度方程转角方程二、积分法的特征1．适用于细长梁在线弹性范围、小变形情况下的平面弯曲。第六页，共二十一页，2022年，8月28日二、积分法的特征FABCFD三、变形的几何相容条件2.积分应遍及全梁。在梁的弯矩方程或抗弯刚度不连续处，其挠曲线的近似微分方程应分段列出，并相应地分段积分。3.积分常数由变形的几何相容条件确定。包括边界支座位移条件和变形光滑、连续条件。

4.积分法的优点是普遍适用于求解等截面或变截面梁在各种载荷情况下的转角、挠度方程。当仅需计算个别截面的挠度、转角时，其计算过程显得繁冗．支座位移条件：连续、光滑条件第七页，共二十一页，2022年，8月28日F例求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。FLa第八页，共二十一页，2022年，8月28日例解：建立坐标系并写出弯矩方程写出微分方程的积分并积分xyFLa第九页，共二十一页，2022年，8月28日1.分段连续弯矩方程必须从原点沿x的正向依次写出；2.对含（x-a）项不可展开，把它视为新变量积分；3.中间的分布载荷应延伸到中断，并加上反向分布力；4.按上述方法积分，中间各段积分常数相等。注意：第十页，共二十一页，2022年，8月28日7.4按叠加原理求梁的挠度与转角

一、求挠度、转角的叠加法

1.叠加原理：梁在各种载荷同时作用下任一截面的挠度或转角，等于同一梁在每种载荷下、同一截面挠度和转角的总和。

2.叠加原理的限制：叠加原理仅适用于线性函数。为此，要求挠度、转角为梁上载荷的线性函数，即

(1)弯矩M与载荷成线性关系，要求梁的变形为微小变形，即略去各载荷引起梁的水平位移；(2)曲率与弯矩M成线性关系，要求梁处于线弹性范围，即满足胡克定律。(3)挠曲率与M成线性关系，要求梁的变形为微小变形，即其截面转角，且与1相比很小，可略去不计。第十一页，共二十一页，2022年，8月28日二、叠加法的特征1.各载荷同时作用下挠度、转角，等于单独作用下挠度、转角的总和，应该是几何和(矢量和)。同一方向的几何和即为代数和。

2.梁在简单载荷作用下的挠度、转角应为巳知，或有变形表，可供查找。

3．叠加法适宜于求梁个别截面的挠度、转角值。三、叠加方法示例1.直接叠加法第十二页，共二十一页，2022年，8月28日例按叠加原理求A点转角和C点挠度。第十三页，共二十一页，2022年，8月28日2.间接叠加法

结构形式叠加

（逐段刚化法)原理说明。第十四页，共二十一页，2022年，8月28日一、梁的刚度计算其中[]称为许用转角；[f/L]称为许用挠跨比。通常依此条件进行如下三种刚度计算：

、校核刚度：

、设计截面尺寸；、设计载荷。(但：对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位。特殊构件例外）7.5梁的刚度计算第十五页，共二十一页，2022年，8月28日例第十六页，共二十一页，2022年，8月28日二、提高梁弯曲刚度的一些措施1.增大梁的抗弯刚度EI2.调整跨长和改变结构FL/2L/2Mx+PL/4F=qLL/54L/5对称MxqL2/10第十七页，共二十一页，2022年，8月28日调整跨长和改变结构MxqLL/5qL/5402qL502qL-Mx第十八页，共二十一页，2022年，8月28日

同类材料，“E”值相差不多，“jx”相差较大，故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性。

不同类材料，E和G都相差很多（钢E=200GPa,铜E=100GPa），故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳定性的目的。但是，改换材料，其原料费用也会随之发生很大的改变！五、选用高强度材料，提高许用应力值第十九页，共二十一页，2022年，8月28日7.6用力法解简单超静定梁

静不定的次数：凡未知反力(或内力)数超过静力平衡方程数的个数，称为静不定的次数。多余约束：在静不定梁中多于维持静力平衡(且满足几何不变形)的约束称为多余约束。静不定梁必存在多余约束，且其多余约束的数目等于静不定的次数。多余约束反力：相应于多余约束的约束反力。一、几个概念基本静定体系：静不定梁解除多余约束后的静定系统，称为原体系的基本静定体系二、基本静定体系的选择原则1.基本静定体系应是能维持静力平衡和几何不变的系统。2.基本静定体系应便于计算，其截面位移可在弯曲变形表中查得。3.的基本静定体系的选取可以是不同的，但其解答是唯一的。第二十页，共二十一页，2022年，8月28日

三、静不定梁的解题步骤1.选择多余约束，确定基本静定体系。基本静定体系上应作用有原静不定粱的载荷以及未知的多余约束反力。2.比较基本静定体系与静不定梁在多余约束处的变形，并用叠加法列出相应的变