机械系统弹性动力学

机械系统弹性动力学1第一页，共八十七页，2022年，8月28日本章内容5.1弹性体振动5.2传递矩阵法5.3动力学问题有限元法5.4基于Ansys的弹性动力学分析

2第二页，共八十七页，2022年，8月28日5.1弹性体振动弹性体系统具有连续分布的性质，弹性体内任一质点的运动，不仅与时间有关，而且与位置坐标有关。因此需要用偏微分方程（PDE）来描述。3第三页，共八十七页，2022年，8月28日解：设张力T不变，则恢复力为所以微分方程为：故有建立离散系统振动方程的方法:如图所示，以张紧弦上的集中质量振动为例4第四页，共八十七页，2022年，8月28日建立连续系统振动方程的方法:以直杆的纵向振动为例5第五页，共八十七页，2022年，8月28日由材料力学知6第六页，共八十七页，2022年，8月28日共同点：以牛顿定律为出发点。微元段的运动方程为7第七页，共八十七页，2022年，8月28日5.1.1扭转自由振动如图所示，由材料力学得8第八页，共八十七页，2022年，8月28日微元段的平衡方程为代如整理得用分离变量法求解以上方程，设9第九页，共八十七页，2022年，8月28日求导可得整理得10第十页，共八十七页，2022年，8月28日上式左边是坐标的函数，右边是时间的函数，两边要想相等只能等于常数。令该常数为则有解以上两个方程得11第十一页，共八十七页，2022年，8月28日因此可得到扭转振动的通解当边界条件已知时，可求出固有频率。12第十二页，共八十七页，2022年，8月28日例5-1如图所示为一端固定的圆轴，试求固有频率。解：根据题意知，左端位移为0，右端外力为0。故有边界条件如下13第十三页，共八十七页，2022年，8月28日代入可得14第十四页，共八十七页，2022年，8月28日固有频率为振型15第十五页，共八十七页，2022年，8月28日5.1.2梁的横向振动16第十六页，共八十七页，2022年，8月28日17第十七页，共八十七页，2022年，8月28日18第十八页，共八十七页，2022年，8月28日19第十九页，共八十七页，2022年，8月28日20第二十页，共八十七页，2022年，8月28日21第二十一页，共八十七页，2022年，8月28日22第二十二页，共八十七页，2022年，8月28日23第二十三页，共八十七页，2022年，8月28日5.2传递矩阵法5.2.1轴的纵向振动（集中质量法）24第二十四页，共八十七页，2022年，8月28日如图所示，一端固定的轴作纵向自由振动时，我们可把此轴分为n个单元，对每个单元用集中质量法研究。将每个单元简化为质量和弹簧，当单元足够小时，可以保证工程上所需的精度。取任一单元，用位移和力表示状态向量，则质量右端状态向量为质量左端状态为25第二十五页，共八十七页，2022年，8月28日由牛顿定律对于简谐振动故有26第二十六页，共八十七页，2022年，8月28日写成矩阵形式27第二十七页，共八十七页，2022年，8月28日对于弹簧有用传递矩阵表示如下28第二十八页，共八十七页，2022年，8月28日综合上述关系，有Ci为第i个子结构的传递矩阵。29第二十九页，共八十七页，2022年，8月28日连续运用传递关系，有30第三十页，共八十七页，2022年，8月28日边界条件为31第三十一页，共八十七页，2022年，8月28日频率方程为解方程可求固有频率32第三十二页，共八十七页，2022年，8月28日5.2.2轴的扭转振动（集中质量法）如图所示，方向符合右手定律。33第三十三页，共八十七页，2022年，8月28日对图示扭转系统对旋转轮盘，点矩阵为34第三十四页，共八十七页，2022年，8月28日对扭转弹簧，场矩阵为综合可得传递矩阵为35第三十五页，共八十七页，2022年，8月28日5.3动力学问题有限元法5.3.1引言有限元方法是20世纪中叶在电子计算机诞生之后，在计算数学、计算力学和计算工程料学领域诞生的最有效的计算方法。经过40年的发展不仅使各种不同的有限元方法形态相当丰富，理论基础相当完善，而且已经开发了一批使用有效的通用和专用有服元软件，使用这些软件已经成功地解决了整机、机械、土建、桥梁、机电、造船、宇航、核能、地震、气象、水文、物理、力学、电磁学以及国际工程等领域众多的大型科学和工程计算难题，并且取得了巨大的经济和社会效益。36第三十六页，共八十七页，2022年，8月28日（1）有限单元法的基本思想有限单元法的基本思想是将问题的求解域划分为一系列单元，单元之间仅靠节点连接。单元内部点的待求量可由单元节点量通过选定的函数关系插值求得。由于单元形状简单，易于由平衡关系或能量关系建立节点量之间的方程式，然后将各个单元方程“组集”在一起而形成总体代数方程组、计入边界条件后即可对方程组求解。单元划分越细，计算结果就越精确。37第三十七页，共八十七页，2022年，8月28日（2）有限元计算步骤1离散化；2单元分析；3单元合成；4求解；5分析结果。简言之：“一分一合”38第三十八页，共八十七页，2022年，8月28日（3）有限元法的基本方法和理论1直接有限元方法；2虚功原理方法；3能量变分原理方法；4迦辽金方法（加权残数法）。39第三十九页，共八十七页，2022年，8月28日有限元的数学含义：无论任何方法，静力有限元法要得到并求解如下方程：而动力有限元法要得到并求解如下方程：40第四十页，共八十七页，2022年，8月28日5.3.2一维有限元模型41第四十一页，共八十七页，2022年，8月28日建立单元动力学方程时，要求出质量矩阵和刚度矩阵，首先需要确定单元运动模式，可参考静态位移模式进行。在振动方程中令时间为常数，即42第四十二页，共八十七页，2022年，8月28日所以有43第四十三页，共八十七页，2022年，8月28日44第四十四页，共八十七页，2022年，8月28日45第四十五页，共八十七页，2022年，8月28日质量矩阵可以通过动能求得46第四十六页，共八十七页，2022年，8月28日质量矩阵可以通过动能求得47第四十七页，共八十七页，2022年，8月28日单元动能为48第四十八页，共八十七页，2022年，8月28日所以49第四十九页，共八十七页，2022年，8月28日50第五十页，共八十七页，2022年，8月28日对于纵向振动，轴向单元如图所示51第五十一页，共八十七页，2022年，8月28日建立刚度矩阵和质量矩阵与扭转振动相似52第五十二页，共八十七页，2022年，8月28日2.轴的横向振动如图为横向振动梁单元53第五十三页，共八十七页，2022年，8月28日单元刚度矩阵推导如下54第五十四页，共八十七页，2022年，8月28日55第五十五页，共八十七页，2022年，8月28日56第五十六页，共八十七页，2022年，8月28日57第五十七页，共八十七页，2022年，8月28日58第五十八页，共八十七页，2022年，8月28日59第五十九页，共八十七页，2022年，8月28日60第六十页，共八十七页，2022年，8月28日61第六十一页，共八十七页，2022年，8月28日5.4基于Ansys的弹性动力学分析5.4.1Ansys简介有限元方法是20世纪中叶在电子计算机诞生之后，在计算数学、计算力学和计算工程料学领域诞生的最有效的计算方法。经过40年的发展不仅使各种不同的有限元方法形态相当丰富，理论基础相当完善，而且已经开发了一批使用有效的通用和专用有服元软件，使用这些软件已经成功地解决了整机、机械、土建、桥梁、机电、造船、宇航、核能、地震、气象、水文、物理、力学、电磁学以及国际工程等领域众多的大型科学和工程计算难题，并且取得了巨大的经济和社会效益。目前常用的商品化软件有：Ansys，Nastran，Adina，Marc等。62第六十二页，共八十七页，2022年，8月28日63第六十三页，共八十七页，2022年，8月28日ANSYS中处理器有64第六十四页，共八十七页，2022年，8月28日65第六十五页，共八十七页，2022年，8月28日5.4.2分析过程与实例66第六十六页，共八十七页，2022年，8月28日例1：弹簧—质量系统分析。已知：质量为2kg，刚度为8N/m。67第六十七页，共八十七页，2022年，8月28日建立模型68第六十八页，共八十七页，2022年，8月28日FINISH69第六十九页，共八十七页，2022年，8月28日/SOLUANTYPE,MODALMODOPT,SUBSP,1D,1,ALL,0D,2,UX,0SOLVEFINISH70第七十页，共八十七页，2022年，8月28日！检查结果/POST1SET,LISTSET,1,1PLDISPFINISH71第七十一页，共八十七页，2022年，8月28日例2：模态分析。已知：m=0.1kg,E=207Gpa,

L=0.12m,Area=0.003m2,h=0.05m,I=6.25E-7m-4。72第七十二页，共八十七页，2022年，8月28日建立模型73第七十三页，共八十七页，2022年，8月28日74第七十四页，共八十七页，2022年，8月28日！求解/SOLUANTYPE,MODALMODOPT,REDUD,1,ALL,0

!第一节点约束M,2,DY,4,1

!定义第二至第四节点,UY为主自由度方向SOLVEFINISHEXPASSONEXPAN,2!扩展两个模态SOLVEFINISH75第七十五页，共八十七页，2022年，8月28日！检查结果/POST1SET,LISTSET,1,1PLDISPSET,1,2PLDISPFINISH76第七十六页，共八十七页，2022年，8月28日例3：多自由度动力学分析。77第七十七页，共八十七页，2022年，8月28日建立模型：78第七十八页，共八十七页，2022年，8月28日N,1,0,0 $N,2,1,0 $N,3,2,0N,4,3,0 $N,5,4,0 TYPE,1 $REAL,1E,1,2 $E,4,5TYPE,1 $REAL,2E,2,3 $E,3,4TYPE,2 $REAL,3E,2REAL,4E,3REAL,5E,4FINISH79第七十九页，共八十七页，2022年，8月28日！求解/SOLUANTYPE,MODALMODOPT,SUBSP,3D,1,ALL,0,,5,4SOLVEFINISH80第八十页，共八十七页，2022年，8月28日！检查结果/POST1SET,LISTSET,1,1PLDISPSET,1,2PLDISPFINISH81第八十一页，共八十七页，2022年，8月28日例4：机翼的模态分析。82第八十二页，共八十七页，2022年，8月28日/FILNAM,MODAL/TITLE,ModalAnalysisofaModelAirplaneWing/PREP7ET,1,PLANE42 !DefinePLANE42aselementtype1ET,2,SOLID45 !DefineSOLID45aselementtype2MP,EX,1,38000MP,DENS,1,1.033E-3MP,NUXY,1,.3建立模型83第八十三页，共八十七页，2022年，8月28日K,1 !Definekeypoint1at0,0,0K,2,2 !Definekeypoint2at2,0,0K,3,2.3,.2 !Definekeypoint3at2.3,.2,0K,4,1.9,.45 !Definekeypoint4at1.9,.45,0K,5,1,.25 !Definekeypoint5at1,.25,0LSTR,1,2 !Createastraightlinebetweenkeypoints1and2LSTR,5,1 !Createastraightlinebetweenkeypoints5and1BSPLIN,2,3,4,5,,,-1,,,-1,-.25 !CreateaB-spline84第八十四页，共八十七页，2022年，8月28日AL,1,3,2ESIZE,.25AMESH,