控制系统的数学模型及其转换

控制系统的数学模型及其转换第一页，共三十五页，2022年，8月28日

按系统性能分：线性系统和非线性系统；连续系统和离散系统；定常系统和时变系统；确定系统和不确定系统。1、线性连续系统：用线性微分方程式来描述，如果微分方程的系数为常数，则为定常系统；如果系数随时间而变化，则为时变系统。今后我们所讨论的系统主要以线性定常连续系统为主。2、线性定常离散系统：离散系统指系统的某处或多处的信号为脉冲序列或数码形式。这类系统用差分方程来描述。3、非线性系统：系统中有一个元部件的输入输出特性为非线性的系统。下面来分析各种数学模型的MATLAB表示形式3.1系统的类型第二页，共三十五页，2022年，8月28日对线性定常系统，式中s的系数均为常数，且a1不等于零，这时系统在MATLAB中可以方便地由分子和分母系数构成的两个向量唯一地确定出来，这两个向量分别用num和den表示。

num=[b1,b2,…,bm,bm+1] den=[a1,a2,…,an,an+1]

注意：它们都是按s的降幂进行排列的。3.2传递函数描述一、连续系统的传递函数模型连续系统的传递函数如下：第三页，共三十五页，2022年，8月28日(1)递函数的Maltab模型num=[b1,b2,…,bm,bm+1]den=[a1,a2,…,an,an+1]可用命令tf()建立一个传递函数模型，或将零极点增益模型或状态空间模型转变为传递函数模型。第四页，共三十五页，2022年，8月28日(2)传递函数模型命令tf()调用格式sys=tf(num,den）

sys=tf(mum,den,Ts)

％用于生成离散传体函数，Ts为采样时间。

sys=tf(M)％用于生成静态增益s传递函数，

sys=tf(‘s’)%用于生成拉普拉斯变量s的有理传递函数

tfsys=tf(sys)

sys=tf(num,den,’Property1’,Value1,……,’PropertyN’,ValueN)：用于生成传递函数模型，同时定义传递函数的属性值。传递函数的属性值可用get（sys）命令来查看

例3.1

第五页，共三十五页，2022年，8月28日(3)多输入多输出系统（MIMO）传递函数模型对多输入多输出系统，分子、分母为元胞类型向量。元胞数组：元胞数组的基本元素是元胞，元胞可以存放任何类型数据，而且同一个元胞数组的各元胞（cell）中的内容可以不同。元胞数组的定义符是{},例：A={[01],3;‘thisisbook’,[25]}。元胞数组元素内容的访问用{},如：A{1,1},结果得到[01]，或者使用单下标，如A{2}，结果是“thisisbook”。第六页，共三十五页，2022年，8月28日例：给定一个多入多出系统：试生成其仿真模型解：命令如下：num={11;2[12]};den={[11],[12];1,[12]};sys=tf(num,den)注意：元素sys(i,j)表示输入j对输出i的传递函数。第七页，共三十五页，2022年，8月28日（4）传递函数模型生成方法（二）利用拉普拉斯变量因子“s”直接生成传递函数模型。例：已知传递函数模型如下，利用拉普拉斯变量因子“s”直接生成传递函数模型。解：命令如下：s=tf('s');%定义拉普拉斯变量ssys=(s+1)/(s*(s^2+s+2))第八页，共三十五页，2022年，8月28日零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式，其原理是分别对原系统传递函数的分子、分母进行分解因式处理，以获得系统的零点和极点的表示形式。在MATLAB中零极点增益模型用[z,p,K]向量组表示。生成零极点增益模型的matlab函数为zpk（）：z=[z1,z2,…,zm]p=[p1,p2,...,pn]K=[k]二、零极点增益模型K为系统增益，zi为零点，pj为极点第九页，共三十五页，2022年，8月28日（1）零极点增益模型zpk函数调用格式sys＝zpk(z,p,k)％生成零极点增益模型sys＝zpk(z,p,k,Ts)sys=zpk(M)％生成静态增益s传统函数sys=zpk(s)％生成拉普拉斯因子szsys=zpk(sys)%将传递函数、状态空间模型转换为零极点增益模型第十页，共三十五页，2022年，8月28日1）例：建立下述传递函数模型的matlab表示》num=[12,24,0,20];den=[24622];sys=tf(num,den)借助多项式乘法函数conv来处理：num=4*conv([1,2],conv([1,6,6],[1,6,6]));den=conv([1,0],conv([1,1],conv([1,1],conv([1,1],[1,3,2,5]))));sys=tf(num,den)2）第十一页，共三十五页，2022年，8月28日3）零极点增益模型：4）零极点增益模型：z=[];p=[-1,-2,-3-4j,-3+4j];k=5;sys=zpk(z,p,k)z=[-3,0];p=[-1,50,-10];k=1;sys=zpk(z,p,k)第十二页，共三十五页，2022年，8月28日例题3.5matlab表示给出零极点增益模型解：命令如下z={[];-0.5}p={0.3;[0.1-j,0.1+j]}k=[1;2]sys=zpk(z,p,k,[])第十三页，共三十五页，2022年，8月28日状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，又称为动态方程，经典控制理论用传递函数将输入—输出关系表达出来，而现代控制理论则用状态方程和输出方程来表达输入—输出关系，揭示了系统内部状态对系统性能的影响。（三）状态空间模型在MATLAB中，系统状态空间用（A,B,C,D)矩阵组表示，函数为ss()。第十四页，共三十五页，2022年，8月28日(1)状态空间模型函数调用格式(1)Sys=ss(A,B,C,D)%生成状态空间模型Sys=ss(A,B,C,D，Ts)%生成离散的状态空间模型Sys_ss=ss(sys)%将其它模型转换为状态空间模型例3.7状态空间模型用matlab表示第十五页，共三十五页，2022年，8月28日例：系统为一个两输入两输出系统A=[16910;31268;47911;5121314];B=[46;24;22;10];C=[0021;8022];D=zeros(2,2);第十六页，共三十五页，2022年，8月28日模型转换的函数包括：[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)：状态空间模型转换为传递函数模型[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D)：状态空间模型转换为零极点增益模型[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)：传递函数模型转换为状态空间模型[z,p,k]=tf2zp(num,den)：传递函数模型转换为零极点增益模型[A,B,C,D]=zp2ss(z,p,k)：零极点增益模型转换为状态空间模型[num,den]＝zp2tf(z,p,k)：零极点增益模型转换为传递函数模型3.3 模型的转换第十七页，共三十五页，2022年，8月28日传递函数、状态空间、零极点模型之间转换示意图第十八页，共三十五页，2022年，8月28日用法举例：1）已知系统状态空间模型为：A=[01;-1-2];B=[0;1];C=[1,3];D=[1];[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,iu)％iu用来指定第n个输入，当只有一个输入时可忽略。[num,den]=ss2tf(A,B,C,D）》num=1.00005.00002.0000den=121[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D)》z=-4.5616p=-1k=1-0.4384-1第十九页，共三十五页，2022年，8月28日2）已知一个单输入三输出系统的传递函数模型如下，求其状态空间模型解：num=[00-2;0-1-5;120];den=[16116];[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)》A=-6-11-6B=1C=00-2D=010000-1-5001001200第二十页，共三十五页，2022年，8月28日3）系统的零极点增益模型如下，试求其传递函数模型及状态空间模型：解：命令如下：z=[-3];p=[-1,-2,-5];k=6;[num,den]=zp2tf(z,p,k)num=00618den=181710[a,b,c,d]=zp2ss(z,p,k)》a=-1.000000b=12.0000-7.0000-3.1623103.162300c=001.8974d=0注意：零极点的输入可以写成行向量，也可以写成列向量。第二十一页，共三十五页，2022年，8月28日3.4、系统模型的连接

系统模型之间的并联分SISO系统模型的并联和MIMO系统模型的并联1、并联：parallel第二十二页，共三十五页，2022年，8月28日sys=parallel(sys1,sys2)：两个SISO系统模型的并联sys=parallel(sys1,sys2,in1,in2,out1,out2)：生成两个MIMO系统的并联模型，并联输入端口由向量in1和in2定义，并联的输出端口由向量out1和out2定义。in1和out1对应sys1用于并联的输入、输出端口向量，in2和out2对应sys2用于并联的输入、输出端口向量。MALTAB提供了求取子系统模型并联的函数parallel（），其调用格式如下：第二十三页，共三十五页，2022年，8月28日【例】在上图所示的SISO系统并联模型结构中，已知sys1、sys2的传递函数分别为：

s=tf('s');%定义拉普拉斯变量ssys1=(s+1)/(s*(s^2+s+2));%定义SISO系统sys1的传递函数模型sys2=5/(5*s+1);%定义SISO系统的sys2的传递函数模型disp('并联系统模型为')sys=parallel(sys1,sys2)%生成sys1与sys2的并联模型执行上述命令后在CommandWindows得如下结果：并联系统模型为Transferfunction:5s^3+10s^2+16s+1----------------------------5s^4+6s^3+11s^2+2s第二十四页，共三十五页，2022年，8月28日2、串联：series子系统之间的串连分SISO系统模型的串连和MIMO系统模型的串连第二十五页，共三十五页，2022年，8月28日函数调用格式：sys=series(sys1,sys2)：求SISO系统sys1和sys2的串连模型sys=series(sys1,sys2,outputs1,inputs2):求MIMO系统的串连，其中outputs1为sys1的输出端口数，inputs2为sys2的输入端口数。若MIMO系统有多个连接，在outputs1和inputs2为同维数向量。2、串联：series第二十六页，共三十五页，2022年，8月28日在上图所示的SISO系统并联模型结构中，已知sys1、sys2的传递函数分别为：G1=tf([11],[112]);G2=tf(5,[21])Sys=series(G1,G2)Transferfunction:5s+5-----------------------2s^3+3s^2+5s+2结果如下：第二十七页，共三十五页，2022年，8月28日3、反馈：feedback

系统模型的反馈连接分SISO系统模型反馈连接和MIMO系统模型反馈连接第二十八页，共三十五页，2022年，8月28日sys=feedback(sys1,sys2,sign)：生SISO系统sys1与sys2构成的反馈系统传递函数模型，sys2为反馈通道传递函数模型，反馈类型由sign指定，当sign=1为正反馈，当sign=-1为负反馈，此时sign可省略。sys=feedback(sys1,sys2,feedin,feedout,sign)：生成MIMO系统的部分反馈模型，feedin指定sys1中连入反馈回路的输入端口向量。Feedout指定sys1中连入反恐回路中的输出端口向量。feedback（）调用格式第二十九页，共三十五页，2022年，8月28日注意：（1）在很多书籍中依然提到用cloop命令来生成闭环系统模型，在MATLAB7.0以后的版本中，已经废除cloop命令，其功能完全可以由feedback命令来代替。（2）有关模型混合连接，建议采用Simulink仿真。第三十页，共三十五页，2022年，8月28日*3.5模型实现(本节课后自习)Matlab提供的状态空间模型实现函数有：sysT=ss2ss(sys,T)——相似变换[csys,T]=canon(sys,’type’)——状态空间的正则变换[Abar,Bbar,Cbar,T,k]=ctrbf(A,B,C)——可控阶梯形函数[Abar,Bbar,Cbar,T,k]=obsvf(A,B,C)——可观阶梯形函数Csys=canon(sys,’t