机械工程控制基础系统的稳定性

机械工程控制基础系统的稳定性第一页，共八十六页，2022年，8月28日5.1系统稳定性的初步概念5.1.1系统不稳定现象的发生

如图所示的液压位置随动系统，从油源来的压力为Ps的压力油，经伺服阀和两条软管以流量进入或流出油缸，阀芯相对于阀体获得输入位移后，活塞输出位移，此输出再经活塞与阀体的刚性联系，即经反馈联系B反馈到阀体上，从而改变了阀芯与阀体的相对位移量，这样就组成一个闭环系统，它保证活塞跟随阀芯的运动而运动。第二页，共八十六页，2022年，8月28日

阀芯受外力右移，即输入位移后，控制口2、4打开，控制口3，1关闭，压力油进入左缸，右缸接通回油，活塞向右移动。当外力去掉后，阀芯停止运动,活塞滞后于阀芯,继续右移,直至控制口2关闭，回到原来的平衡位置。因而使控制口1，3打开，2，4关闭，压力油反过来进入右缸，左缸接能回油，这使活塞反向（向左）移动，并带动阀体左移，直至阀体与阀芯回复到原来的平衡位置。因移动的活塞有惯性，在伺服阀的平衡位置，活塞仍不能停止，继续右移。第三页，共八十六页，2022年，8月28日但活塞因惯性继续左移，使油路又反向……这样，阀芯在原位不动的情况下，活塞与阀体相对阀芯反复振荡。由于所选择的系统各参数（如质量、阻尼和弹性等）不同，当系统是线性系统时，这种振荡可能是衰减的（减幅的），也可能是发散的（增幅的）或等幅的，如图（a）、（b）、（c）所示。当这种自由振荡是增幅振荡时，就称系统是不稳定的。第四页，共八十六页，2022年，8月28日系统的不稳定现象值得注意几点：首先，线性系统不稳定现象发生与否，取决于系统内部条件，而与输入无关。如上例，系统在输入撤消后，从偏离平衡位置所处的初始状态出发，因系统本身的固有特性而产生振动的线性系统的稳定性只取决于系统本身的结构与参数，而与输入无关（非线性系统的稳定性是与输入有关的）。其次，系统发生不稳定现象必有适当的反馈作用。如原系统是稳定的，那么加入反馈后就形成为闭环系统，可能产生不稳定；如原系统是不稳定的，加入反馈后就形成为闭环系统，更可能不稳定。第五页，共八十六页，2022年，8月28日当输入Xi(s)撤消后，此闭环系统就以初始偏差E(s)作为进一步运动的信号，产生输出Xo

(s)，而反馈联系不断将输出Xo

(s)反馈回来，从输入Xi(s)中不断减去（或加上）Xo

(s)。若反馈的结果，削弱了E(s)的作用（即负反馈），则使Xo

(s)越来越小，系统最终趋于稳定；若反馈的结果，加强了E(s)的作用（即正反馈），则使Xo(s)越来越大，此时，此闭环系统是否稳定，则视Xo(s)是收敛还是发散而定。第六页，共八十六页，2022年，8月28日

第三，控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性。即讨论输入为零，系统仅存在有初始状态不为零时的稳定性，即讨论系统自由振荡是收敛的还是发散的；或者：讨论系统初始状态为零时，系统脉冲响应是收敛的还是发散的。至于用激振或加外力方法施以强迫振动或运动，因而造成系统共振（或称谐振）或偏离平衡位置越来越远，这不是控制理论所要讨论的稳定性。第七页，共八十六页，2022年，8月28日5.1.2稳定的定义和条件若系统在初始状态下（不论是无输入时的初态，还是输入引起的初态，还是两者之和）的时间响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于零（即回到平衡位置），则称该系统为稳定的；反之，若在初始状态影响下，由它所引起的系统的时间响应随时间的推移而发散（即偏离平衡位置越来越远），则称该系统为不稳定的。

第八页，共八十六页，2022年，8月28日第九页，共八十六页，2022年，8月28日第十页，共八十六页，2022年，8月28日第十一页，共八十六页，2022年，8月28日第十二页，共八十六页，2022年，8月28日第十三页，共八十六页，2022年，8月28日5.2Routh（劳斯）稳定判据判别系统的稳定性，也就是要解出系统特征方程的根，看这些根是否均具有负实部。在实际工程系统中，根的求解就较困难，通过讨论特征根的分布，看其是否全部具有负实部，以此来判别系统的稳定性，由此形成了一系列稳定性判据。其中最重要的一个判据就是1884年由提出的Routh判据。Routh判据是基于方程根和系数的关系建立的，它是判别系统稳定性的充要条件---代数判据。第十四页，共八十六页，2022年，8月28日5.2.1系统稳定的必要条件设系统特征方程为：将式（5.2.1）中各项同除以an并分解因式，得式中，为系统的特征根，再将式（5.2.2）右边展开，得:（）（）（）第十五页，共八十六页，2022年，8月28日比较式（5.2.2）与式（5.2.3）可看出根与系数有如下的关系：（）第十六页，共八十六页，2022年，8月28日

按习惯，一般取为正值，因此，上述两个条件可归结为系统稳定的一个必要条件，即当然，由式（）还可看出，仅仅有各项系数,还不一定能判定均具有负实部，也就是说，系统要稳定，必须满足式（）；而满足），系统可能稳定，也可能不稳定。从式（5.2.4）可知，要使全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件，即系统稳定的必要条件:(1)特征方程的各项系数都不等于零，因为若有一系数为零，则必出现实部为零的特征根或实部有正有负的特征根，才能满足式（5.2.4）中各式。

(2)特征方程的各项系数的符号都相同，这样才能满足式(5.2.4)中各式。

（）第十七页，共八十六页，2022年，8月28日5.2.2系统稳定的充要条件1.Routh表（1）将系统的特征方程式（5.2.1）的系数按下列形式排成两行：

（2）列Routh计算表：如以六阶特征方程为例，设：则有：

第十八页，共八十六页，2022年，8月28日第十九页，共八十六页，2022年，8月28日

高于6阶时(一般不会)，见课本上通式。（3）若上表第一列中各元的符号都相同，即第一列各元间依次序数下来，符号的改变次数为零，则具有正实部特征根的个数等于零，系统是稳定的；若第一列各元符号不同，则系统是不稳定的，其各元间符号依序改变的次数等于具有正实部特征根的个数。2.Routh稳定判据根据Routh所表述条件，“Routh判据”即表示为：“系统稳定充要条件是，Routh表中第一列各元的符号均为正，且值不为零。”

第二十页，共八十六页，2022年，8月28日【例1】：系统的特征方程第一列各元符号改变次数为2，因此：（1）系统不稳定；（2）系统有两个具有正实部的特征根。（改变符号一次）（改变符号一次）第二十一页，共八十六页，2022年，8月28日低阶系统的劳斯稳定判据二阶系统劳斯阵列为：s2

a0

a2s1

a1 0s0

a2a0>0，a1>0，a2>0从而，二阶系统稳定的充要条件为：第二十二页，共八十六页，2022年，8月28日三阶系统劳斯阵列为：s3

a0

a2s2

a1

a3s1 0s0

a3从而，三阶系统稳定的充要条件为：特征方程的各项系数大于零，且：a1a2-a0a3>0第二十三页，共八十六页，2022年，8月28日例题例1：系统方框图如下，试确定开环增益K为何值时，系统稳定。Xi(s)Xo(s)解：系统闭环传递函数为：第二十四页，共八十六页，2022年，8月28日由三阶系统的稳定条件，有：此系统为三阶系统，特征方程为：即：当0<K<30时系统稳定。第二十五页，共八十六页，2022年，8月28日例2：单位反馈系统的开环传递函数为：求系统稳定时K和T的取值范围。解：系统闭环特征方程为：系统稳定条件为：第二十六页，共八十六页，2022年，8月28日【例2】：已知，试确定K取何值时，系统方能稳定。闭环传递函数闭环传递函数的特征方程为代入参数值第二十七页，共八十六页，2022年，8月28日（1）7500K>0,亦即K>0

（2）故能使系统稳定的参数K的取值范围为：0<K<34.6

第二十八页，共八十六页，2022年，8月28日5.2.3特殊情况（1）如果在Routh表中任意一行的第一个元为零，而其后元均不为零或部分地不为零，则在计算下一行第一个元时，该元必将趋于无穷大，于是，Routh表的计算将无法进行，为了克服这一困难，可以用一个很小的正数来代替第一列等于零的元，然后计算Routh表的其余元。第二十九页，共八十六页，2022年，8月28日例如：s4 1 3 2s3 3 3 0 1 1 0s2 2 2 1 1s1 (0)s0 1劳斯阵列第一列零()上下两项的符号相同，表明系统有一对虚根。系统临界稳定。事实上，系统特征根如下：－1、－2、±j第三十页，共八十六页，2022年，8月28日（2）如果当Routh表的任意一行中的所有元均为零时，系统的特征根中，或存在两个符号相异、绝对值相同的实根；或存在一对共轭纯虚根；或上述两种类型的根同时存在；或存在实部符号相异、虚部数值相同的两对共轭复数根。在这种情况下，可利用该行的上一行的元构成一个辅助多项式，并用这个多项式方方程的导数的系数组成Routh表的下一行。这样，Routh表中其余各元的计算才可能继续进行下去。这些数值相同、符号相异的成对的特征根，可通过解由辅助多项式构成的辅助方程得到，即2p阶的辅助多项式有这样的p对特征根。第三十一页，共八十六页，2022年，8月28日例设系统特征方程为试用Routh表判别系统的稳定性。解根据特征方程的系数，列Routh计算表如下：由第二行各元求得辅助方程（2p=4,p=2）上式表明，有两对大小相等符号相反的根存在。这两对根通过解F(s)＝0可得到。取F(s)对s的导数，得新方程：第三十二页，共八十六页，2022年，8月28日s3行中各元，可用此方程中的系数，即8和96代替，继续进行运算，最后得到如下的Routh计算表：

（改变符号一次）此表第一列各元符号改变次数为1，因此断定该系统包含一个具有正实部的特征根，系统是不稳定的。解辅助方程得即得出两组数值相同、符号相异的根。这两对根是原方程根的一部分。第三十三页，共八十六页，2022年，8月28日-1、-1±j2、-1±j、1±j显然，系统不稳定。其特征根如下：s7 1 7 4 28s6 3 5 12 20s5 16/3 0 64/3 0 1 0 4 0s4 5 0 20 1 0 4s3

0 0 4 0s2

(0) 4s1 -16/s0 4例如：第三十四页，共八十六页，2022年，8月28日

由H.Nyquist于1932年提出的稳定性判据，在1940年以后得到了广泛的应用.判据所提出的判别闭环系统稳定的充要条件仍然是以特征方程1+G(s)H(s)=0的根全部具有负实部为基础的，但是它将函数1+G(s)H(s)与开环频率特性Gk(j)即Gk(j)H(j)联系起来，从而将系统特性由复域引入频域来分析，具体地说，它是通过Gk(j)的Nyquist图，利用图解法来判明闭环系统的稳定性的。它从代数判据脱颖而出，是一种几何判据。5.3Nyquist（乃奎斯特）稳定判据第三十五页，共八十六页，2022年，8月28日Nyqusist判据也不需要求取闭系统的特征根，而是应用开环频率特性Gk(j)，即Gk(j)H(j)曲线，进而分析闭环系统的稳定性。特别是当系统的某些环节的传递函数无法用分析法求得时，可以通过实验来获得这些环节的频率特性曲线或系统的Gk(j)。

Nyquist判据还能指出系统的稳定性储备——相对稳定性，指出进一步提高和改善系统动态性能（包括稳定性）的途径，若系统不稳定，Nyquist判据还能如Routh判据那样，指出系统不稳定的闭环极点的个数，即具有正实部的特征根的个数；第三十六页，共八十六页，2022年，8月28日5.3.1函数F(s)与开环、闭环的传递函数零点和极点的关系如图5.3.1所示的闭环系统，其传递函数为：开环函数为：特征方程为：令它可以写成一般的形式为：（）（）第三十七页，共八十六页，2022年，8月28日式中，n为Gk(s)的分母多项式的阶数；m为Gk(s)的分子多项式的阶数，而函数F(s)的零点数和极点数分别为n’和n。F(s)函数的分母与Gk(s)的分母相同，故F(s)函数的极点即为Gk(s)的极点,F(s)函数的分子即为GB(s)的分母，故F(s)函数的零点即为GB(s)的极点,第三十八页，共八十六页，2022年，8月28日系统稳定的充要条件是GB(s)的全部极点均具有负实部，即F(s)函数的全部零点均须具有负实部。由于F(s)沟通了Gk(s)与GB(s)之间的关系，故可通过F(s)，利用Gk(s)来判明闭环系统的稳定性。函数零点与极点之间的对应关系可示意如下：第三十九页，共八十六页，2022年，8月28日5.3.1幅角原理（Cauchy定理）

Nyquist判据是建立在复变函数中的幅角原理基础之上的。幅角原理（Cauchy定理）

设有一复变函数s为复变量，以[s]复平面上的表示。复变函数F(s)以[F(s)]复平面上的表示。（）

第四十页，共八十六页，2022年，8月28日F(s)函数为s多项式的分式，它在[s]平面上（除有限个奇点外）为单值的连续正则函数，并设[s]平面上解析点s映射到[F(s)]平面上为点F(s)，或为从原点指向此映射点的向量F(s)。若在[s]平面上任意选定一封闭曲线LS

，只要此曲线不经过F(s)的奇点，就可将[s]平面的封闭曲线Ls映身到[F(s)]平面上去，结果也是一封闭曲线，记为LF。令：Z为包围于LS内的F(s)函数的零点数；P为包围于LS内的F(s)函数的极点数，则:N=Z-P

。当解析点s按顺时针方向沿LS变化一周时，F(s)将按顺时针方向旋转N周，即F(s)以原点为中心顺时针旋转N周，或者曲线LF顺时针包围原点N次。第四十一页，共八十六页，2022年，8月28日幅角原理：如图5.3.1所示，在LS上选择点A，使s从这点开始移动，绕z顺时针转一圈，回到原来的位置。F(s)=1+G(s)H(s)也相应地从点B出发沿LF回到点B的闭曲线。这个变化造成了F(s)的相位角∠F(s)的变化，由式（5.3.2），可得：表示s按图5.3.1(a)的LS路线变动时，复数（即向量）的相位角变化。由图5.3.1可知，当LS内只含有零点而不含极点与其他零点时，除了等于之外，和的值均为零，所以(5.3.5)

第四十二页，共八十六页，2022年，8月28日第四十三页，共八十六页，2022年，8月28日[F(s)]平面上的轨迹LF从B点开始，绕原点顺时针转了一圈。当s从[s]平面上的点A开始，绕着F(s)的一个极点顺时针转一圈（即此圈内中含有一个极点而不含有零点与其他极点）时，[F(s)]平面上的对应轨迹绕原点反时针转了一圈。若LS包围的是F(s)的Z个零点和P个极点时，则[F(s)]平面上的对应轨迹绕原点顺时针转N=Z-P圈。幅角原理的数学表达式即:N=Z-P

N>0，表示LF按顺时针方向包围原点N次；

N<0，表示LF按逆时针方向包围原点N次；

N=0，表示LF不包围原点。第四十四页，共八十六页，2022年，8月28日

应用幅角原理不能单独确定出包围Ls内的函数F(s)的零点数Z或其极点数P，而仅能确定他们之间的差值(Z-P)。

Gk(s)的极点就等于F(s)函数的极点，因此，若已知系统的Gk(s)，就可直接求得P。若又能在[F(s)]平面上确定出LF曲线包围原点的圈数N，则可由Z=N+P计算出在[s]平面上包围于封闭曲线LS中的F(s)的零点数Z，这些零点也就是GB(s)相应的极点。曲线LSLF的形状对于N，Z，P的数值是没有关系的，即LF绕原点的圈数N仅取决于LS所包围的F(s)的零点和极点的数目，而与LS的形状无关。LF,LS也称为Nyquist轨迹。第四十五页，共八十六页，2022年，8月28日5.3.2Nyquist稳定判据

定常线性系统稳定的充要条件是，其闭环系统的特征方程1+G(s)H(s)=0的全部根具有负实部，即在[s]平面的右半平面系统没有极点，亦即F(s)在[s]平面的右半平面没有零点（Z=0）。第四十六页，共八十六页，2022年，8月28日第四十七页，共八十六页，2022年，8月28日1、[s]平面上的Nyquist轨迹

[s]平面上的Nyquist轨迹如图（a）所示。设在[s]平面上有封闭曲线LS，其中(1)，(2)两段是由

=-∞到+∞的整个虚轴组成的，(3)段是由半径R趋于无穷大的圆弧组成的。因此，(1)，(2)，(3)段就封闭地包围了整个[s]平面的右半平面，由于在应用幅角原理时，LS不能通过F(s)函数的任何极点。所以当函数F(s)有若干个极点处于[s]平面的虚轴或原点上时，LS应被认为是以这些点为圆心，以无穷小为半径的圆弧按反时针方向从这些点的右侧绕过，如小段圆弧(4)与(4’)所示。由于(4)，(4’)紧贴极点绕过，因此，可以认为LS曲线包围了整个[s]平面的右半平面。这一LS封闭曲线即为[s]平面上的Nyquist轨迹。当由-∞变到+∞时，轨迹的方向为顺时针方向。第四十八页，共八十六页，2022年，8月28日2、[F]平面上的Nyquist轨迹

[F]平面上的Nyquist轨迹（[F]平面即[F(s)]平面的简定）按F(s)函数作出。若其图形如图5.3.3(b)所示，则其曲线不包围原点，即N=0，说明相应的Ls曲线所包围的F(s)函数的极点数与零点数相等，故其差值为零（N=Z-P=0）。注意：这里所说的Z，P是指包围于图5.3.3(a)上Ls曲线中的F(s)位于[s]平面的右半平面的零、极点数，不是指F(s)函数所有的零点数和极点数。由前述可知，系统稳定的充要条件是Z=0。判别Z=0，不是在[s]平面上进行，而是转化到[F]平面上进行。第四十九页，共八十六页，2022年，8月28日

由[F]平面上的Nyquist轨迹LF可知，若它包围原点N圈，则可知N。另外，由已知的F(s)函数，可以先求得F(s)位于[s]平面的右半平面的极点数P，从而可求得Z=N+P，为保证系统稳定，应使Z=0，即

N=Z-P=-P

也就是，当[F]平面的Nyquist轨迹LF逆时针包围原点的圈数N等于F(s)函数位于[s]平面的右半平面的极点数P时，系统稳定。第五十页，共八十六页，2022年，8月28日3、[GH]平面上的Nyquist轨迹[GH]平面（即G(s)H(s)平面的简写）上的情况与此相似。因F(s)=1+G(s)H(s)，即G(s)H(s)=F(s)-1[GH]平面只不过是将[F]平面的虚轴右移了1个单位之后所构成的新复平面。[GH]平面上的（-1,j0）点就是[F]平面上的原点。所以，在[GH]平面上，包围点（-1,j0）的圈数N，就等于在[F]平在上LF包围原点的圈数N，其关系如图5.3.3(b)，(c)所示。[GH]平面的Nyquist轨迹，如图5.3.3(s)所示，它的相应的[s]平面的Nyquist轨迹如图5.3.3(a)所示。第五十一页，共八十六页，2022年，8月28日由于任何物理上可实现的开环系统，其的分母的阶次n必不小于分于的阶系，故有：和

当然，s→∞或s→0，均指其模而言。所以，[s]平面上半径为∞的半圆映射到[GH]平面上为原点或实轴上的一点；[s]平面上的原点映射到[GH]平面上为半径∞的半圆弧（当分母含有积分环节时）。

第五十二页，共八十六页，2022年，8月28日因为LS表示：[s]平面上中实部为零，由-∞变到+∞时s的轨迹（即虚轴），再加上半径为∞的半圆弧；而[s]平面上半径为∞的半圆弧映射到[GH]平面上只是一个点，它对于G(s)H(s)包围某点的情况无影响，所以G(s)H(s)的绕行情况只需考虑[s]平面的j轴映射到[GH]平面上的开环Nyquist轨迹G(s)H(s)即可。

[GH]平面上系统稳定的充要条件可表述为：若当[GH]平面上Gk(s)，即G(s)H(s)的Nyquist轨迹逆时针包围点（-1,j0）的圈数N，等于Gk(s)在[s]平面的右半平面的极点数P时，则闭环系统稳定，因为此时N=-P，由N=Z-P知Z=0。这一充要条件也可表述为：当由-∞到+∞时，若[GH]平面上的开环频率特性Gk(s)即G(j）顺时针方向包围点（-1,j0）P圈（P为Gk(s)在[s]平面的右半平面的极点数P），则闭环系统稳定。

这一表述就是Nyquist稳定判据。第五十三页，共八十六页，2022年，8月28日

在应用Nyquist判据时，首先要知道系统的GK(s)在[s]平面上的右半平面的极点数P，然后分下述两种情况来判别：（1）当P=0和从-∞变到+∞时，若[GH]平面上的G(j)H(j)不包围点（-1,j0），即N=0，则闭环系统稳定；反之，则闭环系统不稳定。（2）当P≠0和从-∞变到+∞时，若[GH]平面上的逆时针包围点(-1,j0)P圈，则闭环系统稳定；若逆时针包围点（-1,j0）的圈数不到P圈（表示Z<P），或顺时针包围点（-1,j0）（表示Z>P），则闭环系统不稳定。第五十四页，共八十六页，2022年，8月28日5.3.3开环含有积分环节时的Nyquist判据

当系统中串联有积分环节时，开环传递函数GK(s)有位于平面坐标原点处的极点。应用Nyquist判据时，由于平面上的Nyquist轨迹LS不能经过GK(s)的极点，故应以半径为无穷小的圆弧(r→0)逆时针绕过开环极点所在的原点，如图5.3.3(a)所示。这时开环传递函数在[s]平面的右半平面上的极点数已不再包含原点处的极点。第五十五页，共八十六页，2022年，8月28日

设开环传递函数为：式中，v为系统中串联积分环节的个数。当s沿无穷小半圆逆时针方向移动时，有：映射到[GH]平面上的Nyquist轨迹为：因此，当s沿小半圆从=0-变化到=0+

时，

角从经0°变化到，这时[GH]平面上的Nyquist轨迹将沿无穷大半径按顺时针方向从到。第五十六页，共八十六页，2022年，8月28日5.3.4关于Nyquist判据的几点说明

1）Nyquist判据并不是在[s]平面而是[GH]平面判别系统的稳定性。通过幅角原理将[s]平面的Nyquist轨迹（虚轴）映射为[GH]平面上的Nyquist轨迹G(j)H(j)

，然后根据G(j)H(j)轨迹包围点（-1,j0）的情况来判别闭环系统的稳定性，而G(j)H(j)正是系统的Gk(j)

。2）Nyquist判据的证明虽较复杂，但应用简单.由于一般系统的开环系统多为最小相位系统，P=0，故只要看开环Nyquist轨迹是否包围点（-1,j0），若不包围，系统就稳定。当开环系统为非最小相位系统，P≠0先求出其P，再看开环Nyquist轨迹包围点（-1,j0）的圈数，并注意由小到大时轨迹的方向，若是逆时针包围点（-1,j0）P圈，则系统稳定。第五十七页，共八十六页，2022年，8月28日

3）在P=0，即Gk(j)在[s]平面的右半平面无极点时，按习惯有时称为开环稳定；在P≠0，即开环传递函数在[s]平面的右半平面有极点时，按习惯有时称为开环不稳定，有的书上介绍的就是首先判明开环是否稳定，亦即先确定P的数值，然后再用Nyquist判据来判别闭环系统的稳定性。开环不稳定，闭环仍可能稳定；开环稳定，闭环也可能不稳定。第五十八页，共八十六页，2022年，8月28日4）开环Nyquist轨迹对实轴是对称的,因为当+变为-时,G(-j)H(-j)与G(j)H(j)的模相同，而相位异号，即：所以，由-∞到0与由0到+∞的开环Nyquist轨迹对实轴对称。因而一般只需绘出由0到+∞的曲线即可判别稳定性。Nyquist轨迹在由0到+∞时，包围点（-1,j0）一圈，故已可知由-∞到+∞时共包围点（-1,j0）两圈，所以系统不稳定。第五十九页，共八十六页，2022年，8月28日系统传递函数的分母反映了系统本身的固有特性，现在闭环系统的传递函数的分母是1+G(s)H(s)，即F(s)，而F(s)包围[F]平面上原点的情况与G(s)H(s)包围[GH]平面上点(-1，j0)的情况完全一样，因此，G(s)H(s)这一开环传递函数包围[GH]平面上点(-1，j0)的情况就反映了闭环系统的固有特性。因此，用它来判别系统的稳定性，即由Nyquist判据用开环传递函数判别闭环系统的稳定性，从物理意义上来说也是容易解释的。

第六十页，共八十六页，2022年，8月28日5.3.5Nyquist判据应用举例第六十一页，共八十六页，2022年，8月28日5.3.6应用Nyquist判据分析延时系统的稳定性

延时环节是线性环节，但用劳斯判据难以进行判断，现分析延时环节串联或并联在闭环系统的前向通道中的情况。第六十二页，共八十六页，2022年，8月28日1.延时环节串联在闭环系统的前向通道中时系统的稳定性图5.3.16所示为一具有延时环节的系统方框图，其中G1(s)是除延时环节以外的开环传递函数，这时整个系统的开环传递函数为：其开环频率特性，幅频特性和相频特性分别为：由此可见，延时环节不改变原系统的幅频特性，而仅仅使相频特性发生变化。第六十三页，共八十六页，2022年，8月28日第六十四页，共八十六页，2022年，8月28日例如，在图5.3.16所示系统中，若则开环传递函数和开环频率特性分别为：其开环Nyquist图如图5.3.17所示。，

第六十五页，共八十六页，2022年，8月28日第六十六页，共八十六页，2022年，8月28日由图5.3.17可见，当，即无延时环节时，Nyquist轨迹的相位不超过－180度，只到第三象限，此二阶系统肯定是稳定的。随着值增加，相位也增加，Nyquist轨迹向左上方偏转，进入第二和第一象限，当增加到使Nyquist轨迹包围点（－1,j0）时，闭环系统就不稳定。所以，由开环Nyquist图上可以明显看出，串联延时环节对稳定性是不利的，虽然一阶系统或二阶系统，其开环放大系数K就不允许取很高的数值，同时，为了提高这些系统的稳定性，还应尽可能地减小延时时间。第六十七页，共八十六页，2022年，8月28日

Nyquist判据:利用开环频率特性的极坐标图（Nyquist图）来判别闭环系统稳定性。利用开环对数坐标图，即Bode图，来判别系统的稳定性。这种方法有时称为对数频率特性判据，简称对数判据或Bode判据。它实质上是Nyquist判据的引申。5.4Bode稳定判据第六十八页，共八十六页，2022年，8月28日5.4.1Nyquist图与Bode图的对应关系

开环Bode图与开环极坐标图对应关系：（1）极坐标图上的单位圆相当于Bode图上的0分贝线，即对数幅频特性图的横轴。（2）极坐标图上的负实轴相当于Bode图上的－180°线，即对数相频特性图的横轴。相位∠GH均为－180°。由上对应关系，极坐标图也可画成Bode图，如图5.4.1中(a)可画成(c)，(b)可画成(d)。

第六十九页，共八十六页，2022年，8月28日第七十页，共八十六页，2022年，8月28日为Nyquist轨迹与单位圆交点的频率，即对数幅频特性曲线与横轴交点的频率，亦即输入与输出幅值相等时的频率称为剪切频率或幅值穿越频率、幅值交界频率；为Nyquist轨迹与负实轴交点的频率，亦即对数相频特性曲线与横轴交点的频率，称为相位穿越频率或相位交界频率。由图5.4.1(b)可见，曲线顺时针包围点（－1,j0），即曲线先在时交于负实轴，后在时才交于单位圆，亦即在Bode图即图5.4.1(d)中，对数相频特性先在时交于－180°线，对数幅频特性后在时交于0分贝线。图5.4.1(a)，图5.4.1(c)的情况则相反。第七十一页，共八十六页，2022年，8月28日5.4.2穿越的概念如图5.4.2(a)所示，在a点，相频特性由上而下穿过横轴，这称为负穿越；在b点，相频特性由下而上穿过横轴，这称为正穿越。可以看出，对数相频特性正穿越一次，就相当于Nyquist轨迹由上而下穿过负实轴一次，此时相位减小（这里指绝对值减小）；反之，对数相频特性负穿越一次，就相当于Nyquist轨迹由下而上穿过负实轴一次，此时相位增大。由图5.4.2(a)可见，在0～范围内，对数相频特性正、负穿越次数之差为0，那么在P=0时，系统稳定，此系统实际为一条件稳定系统。对II型系统（如），对其对数相频特性一开始就由－180°向下，则算负半次穿越；反之，若对数相频特性一开始就由－180°向上，则算正半次穿越，如图5.4.3所示。第七十二页，共八十六页，2022年，8月28日第七十三页，共八十六页，2022年，8月28日第七十四页，共八十六页，2022年，8月28日5.4.3Bode判据

根据Nyquist判据和此种对应关系，对数判据可表述如下：

在P=0时，若开环对数幅频特性比其对数相频特性先效于横轴，即，如图5.4.1(c)所示，则闭环系统稳定；若开环对数幅频特性比其对数相频特性后交于横轴，即，如图5.4.1(d)所示，则闭环系统不稳定；若，则闭环系统临界稳定。或换言之：若开环对数幅频特性达到0分贝，即交于时，其对数相频特性还在－180°线以上，即相位还不足－180°，则闭环系统稳定；若开环相频特性达到－180°时，其对数幅频特性还在0分贝线以上，即幅值不足1，则闭环系统不稳定。第七十五页，共八十六页，2022年，8月28日一般系统的开环系统多为最小相位系统，即P=0，故可按上述条件来判别其稳定性。上述即为P=0的闭环系统稳定的充要条件。若考虑包括P≠0时的情况，对数判据则可全面地叙述如下——

在Bode图上，当由0变到时，开环对数相频特性在0到的频率范围（即开环对数幅频特性不为负值的范围）内，正穿越和负穿越－180°轴线的次数之差为P/2时，闭环系统稳定；否则不稳定。若开环对数幅频特性对横轴有多个剪切频率，如图5.4.2(b)所示，则取剪切频率取大的判别，因为若系统是稳定的，则用判别，自然也就是稳定的。第七十六页，共八十六页，2022年，8月28日§5.5系统的相对稳定性从Nyquist稳定判据可推知：若P=0的闭环系统稳定，