材料力学 能量法

第一页，共八十五页，2022年，8月28日Page2

引言求节点A的铅垂位移的两条研究途径方法一方法二压第二页，共八十五页，2022年，8月28日Page3问题：求节点A的垂直位移，哪种方法优越？第三页，共八十五页，2022年，8月28日Page4几个概念相应位移：

载荷作用点沿载荷作用方向的位移分量。外力功：

载荷在其相应位移上所作之功。广义力：

力，力偶，一对大小相等、方向相反的力或转向相反的力偶等。广义位移：

线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。§13-1外力功与应变能的一般表达式第四页，共八十五页，2022年，8月28日Page5例：试确定图a均布载荷q对应的广义位移.(a)AB相应广义位移：面积第五页，共八十五页，2022年，8月28日Page6一、计算外力功的基本公式

线弹性体：载荷—位移曲线所包围的面积ffdfdF第六页，共八十五页，2022年，8月28日Page7二、克拉比隆定理：已知线弹性体上同时作用有多个广义力F1,F2,..及其相应广义位移,求外力功F1F2F1＋F2(1)(2)F1与F2对弹簧做的总功与他们的加载顺序与方式有关吗？第七页，共八十五页，2022年，8月28日Page8ADF1B1F2C2ADF1B11ADF2C221=11,2=22第八页，共八十五页，2022年，8月28日Page9ADf1B1f2C

2加载过程中各载荷保持比例关系：ADF1B1F2C2第一个载荷所做之功：第二个载荷所做之功：∝同理：∝第九页，共八十五页，2022年，8月28日Page10加载过程中各载荷不保持比例关系：ADF1B1F2C2ADf1B1f2C

2

最终状态相同

考虑比例卸载过程∝同理：∝对线弹性体,不论按何种方式加载,广义力F1,F2,..Fn在其相应位移1,2,..n上的总功恒为第十页，共八十五页，2022年，8月28日Page11注意：线弹性体上作用有多个广义力时：

广义位移可以用叠加法求解

外力功一般不可以用叠加法求解

特殊情况：FFTT

一种载荷在另一种载荷引起的位移上不做功一种载荷不在另一种载荷方向上引起相应位移第十一页，共八十五页，2022年，8月28日Page12三、应变能的一般表达式

拉压杆与桁架:

轴:

处于平面弯曲的梁与刚架（忽略剪力影响）:基本变形情况T(x)dxdM(x)dxdFN(x)dx第十二页，共八十五页，2022年，8月28日Page13组合变形情况FN(x)M(x)Fs(x)T(x)dx组合变形杆件的总能量是否可由叠加法计算？为什么？T(x)dxdM(x)dxdFN(x)dx第十三页，共八十五页，2022年，8月28日Page14

非圆截面杆或杆系

圆截面杆或杆系y,z轴－主形心轴第十四页，共八十五页，2022年，8月28日Page15解:（1）计算梁的应变能(x轴从A向左)相应位移互耦的多个外力引起的应变能不能叠加计算！例：悬臂梁承受集中力与集中力偶作用，计算外力所做之总功。弯曲刚度为EI。FMA第十五页，共八十五页，2022年，8月28日Page16解:(2)计算外力所作之总功梁的应变能等于外力所做总功FMA第十六页，共八十五页，2022年，8月28日Page17BlCx2x1M0FAl例:试计算图示水平面内直角刚架的应变能。刚架截面为圆形，直径为d，材料弹性模量和剪切模量分别为E和G。解法一：对于图示刚架，弯矩和扭矩方程分别为：AB段：BC段：第十七页，共八十五页，2022年，8月28日Page183第十八页，共八十五页，2022年，8月28日Page19BlCx2x1M0FAl解法二：A截面的挠度和转角分别为：3第十九页，共八十五页，2022年，8月28日Page20作业13－113－3第二十页，共八十五页，2022年，8月28日Page21§13-2互等定理ADF1211211ADF2212221——i代表位置，j代表载荷同一弹性体的两种受力状态第二十一页，共八十五页，2022年，8月28日Page22功的互等定理若F1=F2位移互等定理先加F1，后加F2：ADF222211F1121先加F2，后加F1：ADF222221F1111考察F1,F2

对弹性体的做功第二十二页，共八十五页，2022年，8月28日Page23关于功的互等定理的说明：成立的前提是对于线弹性体；

两组外力之间，功的互等定理也成立；ADFMADFADFFM关键在于搞清楚两个（组）广义外力在对方作用点处引起的广义位移；第二十三页，共八十五页，2022年，8月28日Page24例：测量变截面线弹性梁（图a,截面沿宽度变化）A、B点挠度，但仅端点C适合装千分表。解：设图a在A点的挠度为如图b加载和装千分表，测得C点的挠度为则第二十四页，共八十五页，2022年，8月28日Page25A点受F*作用时A、B点上升和例：两个相联的水平梁，解结构受力状态如图现在水平位置将A固支，在B作用F，求支座A的约束反力。CDCD第二十五页，共八十五页，2022年，8月28日Page26由功的互等定理CDCDCDCDCD第二十六页，共八十五页，2022年，8月28日Page27例：等直杆宽b，拉压刚度EA，泊松比 求解设第二种受力状态为轴向拉力对于任意截面形状的等直杆，解答是否成立?第二十七页，共八十五页，2022年，8月28日Page28解：考虑薄板受均布载荷q例：已知E，，h，求均质薄板面积改变量由功的互等定理第二十八页，共八十五页，2022年，8月28日Page29思考题1板内开任意一孔，是否变化？思考题2内孔受一对图示方向的力，是正还是负？第二十九页，共八十五页，2022年，8月28日Page30线弹性梁受多个广义力Fk的作用，求各广义力的相应位移k。方法一：叠加法方法二：能量法AB1Fn2F1F2Fkkn§13-3卡氏定理第三十页，共八十五页，2022年，8月28日Page31

卡氏定理的证明：多个Fi的作用下：先加上Fk，再加上Fi若给Fk一个增量Fk（略去高阶小量）FkAB1Fn2F1F2Fkkn第三十一页，共八十五页，2022年，8月28日Page32解：例1：用卡氏定理求A点挠度第三十二页，共八十五页，2022年，8月28日Page33FlA例2：求A端的转角FxM附加力法：先假设一附加力，对被积函数求导后，令附加力等于零思考：如何求直梁在F作用下扫过的面积？第三十三页，共八十五页，2022年，8月28日Page34例3：EI为常数，求wA，AABCFaF解：为避免混淆，设Fa=MFBFCx2x1aa第三十四页，共八十五页，2022年，8月28日Page35AB段：

BC段：

得：

例4：用卡氏定理求A点挠度， 为弯曲刚度。ABC(a)设解：(b)第三十五页，共八十五页，2022年，8月28日Page36等于A点挠度的两倍与B点挠度之和。讨论：

的几何意义?ABC(a)(b)第三十六页，共八十五页，2022年，8月28日Page37讨论的意义FFAB代表AB两点的相对位移若两个F共线反向，为两载荷对应的相对线位移的意义ABMM若两个M反向，为两载荷对应的相对角位移第三十七页，共八十五页，2022年，8月28日Page38由A、B两节点平衡例：各杆EA，求A点水平位移及AB转角解：（1）计算A点水平位移 由整体平衡第三十八页，共八十五页，2022年，8月28日Page39问题若由卡氏定理计算，附加载荷怎么办？在A、B两点加附加力第三十九页，共八十五页，2022年，8月28日Page40作业13－813－913-1113-12第四十页，共八十五页，2022年，8月28日Page41§13-4变形体虚功原理回顾刚体虚功原理处于平衡状态的任意刚体，作用于其上的力系在任意虚位移或可能位移上所作之总虚功等于零。虚位移：

满足约束条件的微小位移

虚位移是虚构的，与刚体上的作用力无关

虚功原理同样适用于变形体第四十一页，共八十五页，2022年，8月28日Page42关于变形体的虚功原理q(x)A变形体的虚位移或可能位移：满足位移边界条件及变形连续条件的任意微小位移梁微段刚体虚位移虚变形不同于刚体dxd*dxd*dxd*dxd*AAAA以上哪个是可能位移？第四十二页，共八十五页，2022年，8月28日Page43可能内力：满足平衡方程与静力边界条件的内力

对于静定系统，可能内力即为真实内力

静不定系统的可能内力不唯一，只有满足位移边界及连续条件的可能内力才是真实内力变形体的可能内力：q(x)A第四十三页，共八十五页，2022年，8月28日Page44变形体的外力虚功与内力虚功：q(x)lAxdx外力虚功：内力虚功：外力在虚位移上所作的功可能内力在微段虚变形上所作的功之和dxd*dxd*dxd*dxd*注意：1、外力在虚变形上不做功2、内力和外力虚功都没有系数1/2虚位移第四十四页，共八十五页，2022年，8月28日Page45变形体的外力虚功与内力虚功之间有何关系？方法：分别从两个角度分析微段上力系的总虚功，然后各自积分，最后比较从微段的受力角度：微段上作用有外力和内力从微段的变形角度：微段上有刚体虚位移和虚变形第四十五页，共八十五页，2022年，8月28日Page46力系在刚体虚位移上所作虚功力系在虚变形上所作虚功刚体虚功原理外力在虚变形上不作功内力在虚变形上所作虚功从微段的变形角度研究微段上力系在虚位移上所作总虚功：q(x)FSFNMT微段上的力系第四十六页，共八十五页，2022年，8月28日Page47外力在虚位移上所作虚功内力在虚位移上所作虚功1、内力均作用于切开面上2、切开处的两面上，内力大小相等、方向相反，虚位移相同q(x)FSFNMT从微段的受力角度研究微段上力系在虚位移上所作总虚功：微段上的力系第四十七页，共八十五页，2022年，8月28日Page48

处于平衡状态的变形体，外力在虚位移上所作虚功，恒等于可能内力在虚变形上所作虚功。变形体虚功原理第四十八页，共八十五页，2022年，8月28日Page49例：验证虚功原理q(x)lAxdx虚位移位移边界条件与变形连续条件第四十九页，共八十五页，2022年，8月28日Page50位移边界条件静力边界条件第五十页，共八十五页，2022年，8月28日Page51关于虚功原理：

内力与外力平衡外力在虚位移作功=内力在虚变形作功虚位移是任一满足位移边界与变形连续条件的微小位移，与外力可以彼此独立

虚变形是与虚位移相对应的变形适用于线弹与非弹性材料，各向同性与各向异性材料第五十一页，共八十五页，2022年，8月28日Page52§13-5单位载荷法

回顾求杆或杆系轴线上一点位移的计算方法直接计算法

(画变形图、积分法等)利用功能原理利用卡氏定理不适宜解决复杂问题只能求解作用有单个广义力时，该广义力的相应位移只适用于线弹性体单位载荷法：更一般的方法，应用更广泛，更方便。第五十二页，共八十五页，2022年，8月28日Page53单位载荷法

理论基础：变形体虚功原理

目标：变形体在已知载荷作用下，求任意一点沿任一方向的位移q(x)FAnn例：求任一A截面沿任一方向n-n方向的位移

A截面上没有作用广义力杆系结构上作用有多个广义力所求位移不为某一广义力的相应位移第五十三页，共八十五页，2022年，8月28日Page54Ann1方法一：卡氏定理方法二：虚功原理处于平衡状态的变形体，外力在虚位移上所做功等于内力在虚变形上所做功。选择单位载荷状态选择虚位移将真实载荷状态下的位移作为虚位移q(x)FAnn第五十四页，共八十五页，2022年，8月28日Page55Ann1研究单位载荷状态，并取真实载荷引起的位移作为虚位移。虚功原理的表达式：真实载荷在微段引起的虚变形：单位载荷在微段引起的内力：忽略剪力的影响q(x)FAnn第五十五页，共八十五页，2022年，8月28日Page56对于线弹性体：(a)(b)第五十六页，共八十五页，2022年，8月28日Page57关于单位载荷法的说明：应用(a)式，不受材料性质的限制(但须满足小变形条件)应用(b)式，只能是线弹性体式中的A,n也可以是转角(此时单位载荷状态加的是单位力偶)q(x)FAxzA1第五十七页，共八十五页，2022年，8月28日Page58式中的A,n还可以是两截面的相对位移或相对转角(此时单位载荷状态加的是一对反向的单位力或单位力偶)FFAB原始受力状态11AB单位载荷状态11AB单位载荷状态按以上公式求出的位移为正，则说明所求位移方向与所加单位载荷同向，为负，则说明两者反向。第五十八页，共八十五页，2022年，8月28日Page592.分段建立弯矩方程实际载荷状态与单位载荷状态分段与坐标应相同圆弧段用极坐标方便例:弯曲刚度EI，求A点铅垂位移分析步骤：1.配置单位载荷状态第五十九页，共八十五页，2022年，8月28日Page60解：AB段：BC段：第六十页，共八十五页，2022年，8月28日Page61例：杆1，物理非线性，杆2，物理线性，已知杆横截面积均为A，求BF12l45o1解：原载荷状态下的内力方程配置单位载荷状态B第六十一页，共八十五页，2022年，8月28日Page62作业13－1513－1613-17(b)13-18(a)第六十二页，共八十五页，2022年，8月28日Page63上一讲回顾虚位移与虚功原理F1F2虚位移3虚位移2虚位移1F2在虚位移3上的相应位移2F1在虚位移3上的相应位移1外力在虚位移3上做的总功可能内力在虚变形3上做的总功单位载荷法A问题：求解A点沿45角方向的位移451.配置适当的单位载荷状态12.将梁在F1，F2作用下的实际变形作为单位载荷下变形体的虚位移同理那么，该单位载荷在虚位移上的相应位移就是所求的45，外虚功为1×45微段的虚变形（在F1、F2作用下的实际变形，假设变形体弹性）为（与单位外载荷相对应的）可能内力在虚变形上做的总功（内虚功）为由虚功原理可得：第六十三页，共八十五页，2022年，8月28日Page64根据对称性例:弯曲刚度EI，求C点挠度和A点转角解：（1）求，配置单位载荷状态真实载荷与单位载荷下竖直杆的弯距正负，要按同一标准判断！！第六十四页，共八十五页，2022年，8月28日Page65根据对称性负值说明实际转动方向与施加的单位载荷方向相反()解：（2）求，配置单位载荷状态第六十五页，共八十五页，2022年，8月28日Page66解：（1）求例:各杆EA，求AB杆转角，A、D点相对位移配置单位载荷系统l第六十六页，共八十五页，2022年，8月28日Page67（2）求解：配置单位载荷系统l第六十七页，共八十五页，2022年，8月28日Page68分析步骤：弯扭组合（1）建立F作用下的弯矩、扭矩方程（2）配置单位载荷并建立单位载荷状态的弯距、扭矩方程（3）求相对位移例:图中

F=80N,[]=240MPa,E=200GPa,G=80GPa

R=35mm,d=7mm,忽略开口宽度求开口沿F方向相对位移第六十八页，共八十五页，2022年，8月28日Page69（1）求沿F载荷作用下的内力方程沿F方向加一对单位力M第六十九页，共八十五页，2022年，8月28日Page70思考：如果开口端面上作用一对扭力偶，该开口小曲率环形杆是一种什么样的变形状态？第七十页，共八十五页，2022年，8月28日Page71求解思路讨论：A点在与F垂直方向位移例:A点位移与F方向相同，求角配置单位载荷系统第七十一页，共八十五页，2022年，8月28日Page72第七十二页，共八十五页，2022年，8月28日Page73aaaAqBC例：已知EI，求A左、

A右x2x1qRARBRAx3ABC1解：(1)求

A左，配置单位载荷第七十三页，共八十五页，2022年，8月28日Page74(2)求

A右ABC11ABC1x2x1x3第七十四页，共八十五页，2022年，8月28日Page75作业