机械制图第五章直线与平面平面与平面的相对位置

机械制图第五章直线与平面平面与平面的相对位置第一页，共六十一页，2022年，8月28日本章目录§5-1平行问题§5-2相交问题§5-3垂直问题§5-4综合问题解题示例第二页，共六十一页，2022年，8月28日§5-1平行问题一、直线和平面平行二、平面和平面平行

本章介绍它们的投影特性和作图方法。直线与平面、平面与平面的相对位置可能是平行、相交或垂直。第三页，共六十一页，2022年，8月28日一、直线和平面平行定理

如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。QABCD第四页，共六十一页，2022年，8月28日

有关直线与平面平行的作图问题：作直线∥已知平面。作平面∥已知直线。判断已知直线、平面是否平行。第五页，共六十一页，2022年，8月28日2’2例1含点I(1,1’)作平面与直线AB(ab,a’b’)平行。1’3’13a’abb’X

作法(1)过点Ⅰ作直线ⅠⅢ与AB平行(2)含直线ⅠⅢ作一任意平面。图5-1第六页，共六十一页，2022年，8月28日例2判断直线AB与△ⅠⅡⅢ是否平行。图5-2a’b’3’2’1’ab312x

作法

(1)在平面任一投影中，作面内直线CF∥AB的同面投影。(2)求CF的另一投影，并判断直线CF是否∥AB。d’f’c’fdc第七页，共六十一页，2022年，8月28日特殊情况

若直线与某一投影面的垂直面平行，则它们在该投影面上的投影一定平行。X直线投影∥平面有积聚性的同面投影,它们在空间必互相平行第八页，共六十一页，2022年，8月28日特殊情况

若直线与平面同时垂直某一投影面，则它们空间一定平行。X直线与平面对某一投影面同时有积聚性,它们在空间必互相平行。PH第九页，共六十一页，2022年，8月28日二、平面和平面平行定理

如果一个平面内的相交两直线与另一个平面内的相交两直线对应平行，那么这两个平面平行。PQABCDC1D1A1B1第十页，共六十一页，2022年，8月28日

有关两平面平行的作图问题：作平面∥已知平面。判断两已知平面是否平行。第十一页，共六十一页，2022年，8月28日例含点A1作平面平行定平面(A2B2×A2C2)。c2Xa1’a2’

b2’

b2

a1a2c2’b1’

b1c1’

c1图5-3第十二页，共六十一页，2022年，8月28日c2Xa2’

b2’

b2a2c2’

b1b1’a1’c1’

a1

c1例判断两平面是否平行。

分析：若两面相互平行，则它们有一对相互平行的相交直线。第十三页，共六十一页，2022年，8月28日讨论相互平行的两投影面垂直面，它们的一对有积聚性的同面投影必平行。xa’cabc’b’1231’2’3’d’d图5-4若两正垂面相互平行，则它们的正面投影相互平行。第十四页，共六十一页，2022年，8月28日若两铅垂面相互平行，则它们的水平投影相互平行。X第十五页，共六十一页，2022年，8月28日x1231’2’3’

分析：若两面相互平行，则它们的有积聚性的同面投影相互平行。PV例含点A1作平面平行平面△ⅠⅡⅢ

。aa’第十六页，共六十一页，2022年，8月28日§5-2相交问题一、特殊线、面与一般直线或平面的相交二、一般直线与一般平面的相交三、两一般位置平面的交线第十七页，共六十一页，2022年，8月28日相交问题

直线与平面不平行时即相交，交点是直线与平面的共有点；

两平面不平行时必相交，其交线是两平面的共有线。第十八页，共六十一页，2022年，8月28日一、特殊位置线、面与一般位置直线或平面的相交

交点、交线为线与面、面与面两者所共有，如果其中有一个处于垂直投影面的特殊位置，则可利用其投影的积聚性直接求出交点或交线的一个投影，另外的投影可根据其在线上（或在面内）特点按投影关系求出。第十九页，共六十一页，2022年，8月28日如果平面为投影面平行面或投影面垂直面，则可利用平面投影的积聚性直接定出交点的一个投影。1.特殊位置平面与一般位置直线相交第二十页，共六十一页，2022年，8月28日例求直线AB与铅垂面EFGH的交点K。K求出交点后，对于直线与平面投影重叠的部分，要判别直线的可见性。第二十一页，共六十一页，2022年，8月28日（1）求出交点后，对于直线与平面投影重叠的部分，要判别直线的可见性（不重叠的部分都是可见的）。（2）交点是直线可见部分与不可见部分的分界点。（3）判别方法

A.直接观察;B.利用交叉直线的重影点。关于直线可见性的判别第二十二页，共六十一页，2022年，8月28日k1’(2’)xc’e’d’a’b’cabed例求直线AB与铅垂面△CDE的交点K。

分析

利用铅垂面水平投影的积聚性求交点图5-512k’第二十三页，共六十一页，2022年，8月28日例求AB与P平面的交点。

分析利用PV的积聚性求交点。k’abPHPVa’b’xpx图5-6k第二十四页，共六十一页，2022年，8月28日1’xc’e’d’a’（b’）cabed例求正垂线AB与△CDE的交点K。

分析

利用线V面投影的积聚性确定交点的一个投影，根据点在面上求出交点的另一投影。12k’2’k特殊位置直线与一般位置平面相交第二十五页，共六十一页，2022年，8月28日

两平面不平行时必相交，其交线是两平面的共有线，是平面可见部分与不可见部分的分界线。

两平面的交线是直线。因此，求作两平面交线的方法是：求出交线上的两个点，在两个平面的公共范围处连出交线。两平面相交第二十六页，共六十一页，2022年，8月28日2.特殊位置平面与一般位置平面的交线当相交两平面之一为特殊位置平面时，可利用它的投影的积聚性直接求出交线上的两个点，然后连成交线。第二十七页，共六十一页，2022年，8月28日de’a’ab

b’Xed’f’fcc’kl例求△DEF(⊥H面)与△ABC的交线KL。

分析利用dfe的积聚性，求两平面交线。k’1’(2’)12（1）求出交线后，对于两平面同面投影重叠的部分，要判别可见性（不重叠的部分都是可见的）。（2）交线是可见部分与不可见部分的分界线。（3）判别方法—

A.直接观察;B.利用交叉直线的重影点。图5-7l’第二十八页，共六十一页，2022年，8月28日(a)全交(b)互交两平面相交的两种情况

全交：一个平面全部穿过另一个平面;

互交：两个平面的边线互相穿过。第二十九页，共六十一页，2022年，8月28日

分析利用水平面e’f’g’的积聚性求两平面交线。e’c’g’f’1’efg1d’b’a’k’l’labcdkx例求△EFG(∥H面)与平面ABCD的交线，并判断可见性。图5-8

本题中两平面图形只有部分互交。求交时要注意除去交线多余的部分。第三十页，共六十一页，2022年，8月28日当两平面同时垂直某一投影面时，它们的交线也是此投影面的垂直线。第三十一页，共六十一页，2022年，8月28日xe’g’f’efgc’b’a’abc例求两面的交线。第三十二页，共六十一页，2022年，8月28日各种位置平面间的交线第三十三页，共六十一页，2022年，8月28日例3求矩形平面与两个共边三角形平面的交线。

分析

利用水平面投影的积聚性求两平面交线。

水平面与两三角形的交线是水平线，并且与相应的底边平行。xc’s’1’a’b’cabs12图5-102’第三十四页，共六十一页，2022年，8月28日当直线和平面都处于一般位置时，交点的求法是：含已知直线作辅助平面;求辅助平面与已知平面的交线;交线与已知直线的交点即为所求。为了作图方便，应选择特殊位置平面作为辅助平面。二、一般位置直线与一般位置平面的相交Pk第三十五页，共六十一页，2022年，8月28日PV例1求直线DE与平面△ABC的交点。aa’gg’f’fbb’c’ckXdd’e’ek’图5-12第三十六页，共六十一页，2022年，8月28日aa’bb’c’ckXdd’e’ek’1(2)3’(4’)432’1’例1求直线DE与平面△ABC的交点。

利用两交叉直线的重影点判别直线的可见性。图5-12第三十七页，共六十一页，2022年，8月28日解法一空间分析：含点与一直线作平面，求与另一直线的交点。a’f’2’3’g’4’1’x2a34k1PVfgk’b’b例2含点A作直线AB使与交叉直线ⅠⅡ、ⅢⅣ都相交。图5-13ABKⅢⅣⅡⅠ第三十八页，共六十一页，2022年，8月28日B解法二空间分析：含点和两直线分别作面，求两面交线与一直线的交点。解法三空间分析：将一直线变成投影面垂直线，利用积聚性，作直线AB与二交叉直线垂直相交AKⅢⅣⅡⅠ例2含点A作直线AB使与交叉直线ⅠⅡ、ⅢⅣ都相交。图5-14第三十九页，共六十一页，2022年，8月28日例3求AB与两三角形的交点。

作法作正垂面Q求AB与两三角形的交点。a’b’f1’xa3’4’1’2’f2’k2’k1’e1’e2’f1f2k1e1k2e2b3124(m)nQVn’m’图5-15第四十页，共六十一页，2022年，8月28日三、两一般位置平面的交线常用方法：1线面交点法

2.辅助平面法第四十一页，共六十一页，2022年，8月28日1.线面交点法当相交两平面都用平面图形表示，且同面投影有互相重叠的部分时，可用求直线和平面交点的方法找出交线上的两个点。第四十二页，共六十一页，2022年，8月28日QV例求△ABC和△DEF的交线。（求交点）aa’gf’fbb’c’ckXdd’e’ehg’h’k’RVll’aa’f’fbb’c’ckXdd’e’ek’图5-16第四十三页，共六十一页，2022年，8月28日aa’f’fbb’c’ckXdd’e’ek’ll’1’2’1(2)3’(4’)3’4’例求△ABC和△DEF的交线。（判别可见性）图5-16f’kaa’fbb’c’cXdd’e’ell’k’第四十四页，共六十一页，2022年，8月28日

若线段的投影与另一平面图形的投影不重叠，就表明该线段在空间不直接与平面图形相交（需将平面图形扩大后才有交点），则不宜选这类直线来求交点。使用线面交点法时注意：第四十五页，共六十一页，2022年，8月28日2.辅助平面法图5-17

作图原理求P、Q平面的交线时，任作平面S1，使与Q相交得交线L1，与P相交得交线L2；L1、L2的交点I为P、Q、S1三面的共有点，即P、Q交线上的一个点。再作平面S2，又可得到交线上的另一个交点Ⅱ。连接IⅡ即P、Q的交线。第四十六页，共六十一页，2022年，8月28日b’例求△ABC和平面(L1∥

L2)的交线。c’a’xabc1’12’3’23S1VS2Vl2’l1’l2l1k1k1’图5-18k2’k2第四十七页，共六十一页，2022年，8月28日§5-3垂直问题一、直线和平面垂直二、两平面垂直第四十八页，共六十一页，2022年，8月28日一、直线和平面垂直定理

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。∵直线L⊥平面P内的两相交直线AB、CD,则L⊥P面LBACDP第四十九页，共六十一页，2022年，8月28日直线与平面垂直的投影特性：直线的水平投影⊥平面内的水平线的水平投影，直线的正面投影⊥平面内的正平线的正面投影。c’CKAkeMBEFfabcHe’cbaa’b’f’fedd’k’km’mX∵m’k’⊥e’f’,mk⊥ad,∴MK⊥△ABC所确定的平面。第五十页，共六十一页，2022年，8月28日

有关直线与平面垂直的作图问题：作直线⊥已知平面；作平面⊥已知直线。判断已知直线、平面是否垂直。第五十一页，共六十一页，2022年，8月28日QH例1含点E作直线垂直于△ABC，并求垂足。aa’bb’c’e’k’cke12’21’3’4’43f’fX图5-21

分析先求平面的垂线，然后求垂线与平面的交点。第五十二页，共六十一页，2022年，8月28日(b)已知例求C点到直线AB的距离。（分析）aa’bb’c’cX(a)分析示意图PBAKC解题步骤:1.过C点作P面⊥直线AB;2.求AB与P面的交点K;3.求垂线CK的实长。第五十三页，共六十一页，2022年，8月28日PVaa’bb’c’dce’1’122’kc’k’k0CK实长例求C点到直线AB的距离。（作图）Xed’k’解题步骤:1.过C点作P面⊥直线AB;2.求AB与P面的交点K;3.求垂线CK的实长。第五十四页，共六十一页，2022年，8月28日例2已知AB⊥BC，求bc。aa’bb’c’c1’122’343’4’XABCP

分析1.过B点作P面⊥直线AB则BC一定在P面内；2.在P面内求C点。图5-22第五十五页，共六十一页，2022年，8月28日二、两平面垂直定理如一直线⊥一平面，则包含这直线的一切平面都⊥该平面。反之，如两