北师大版高中数学必修一教学设计方案

【北师大版】高中数学必修一教学设计方案

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§1集合的含义及其表示

教学目标：通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的"属于"关系。能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题

教学重点：集合概念与表示方法

教学难点：运用描述法和列举法表示集合

课型：新授课

教学过程型：

引入课题

同学们在报到时学校通知：8月29日下午4点，高一年级学生按班级在学校行政楼前集合。试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？

在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念--集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。

研究集合的数学理论在现代数学中称为集合论，它不仅是数学的一个基本分支，在数学中占据一个极其独特的地位，如果把数学比作一座宏伟大厦，那么集合论就是这座宏伟大厦的基石。集合理论创始者是由德国数学家康托尔，他创造的集合论是近代许多数学分支的基础。（参看阅教材中读材料P16）。

下面几节课中，我们共同学习有关集合的一些基础知识，为以后数学的学习打下基础。

一、新课教学

"物以类聚,人以群分"数学中也有类似的分类。

如：自然数的集合0，1，2，3，......

如：2x-13，即x2所有大于2的实数组成的集合称为这个不等式的解集。

如：几何中，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

1、一般地，指定的某些对象的全体称为集合，用大写字母A，B，C，等标记。示例

集合中的每个对象叫做这个集合的元素，用小写字母a，b，c，d等标记。示例

2、元素与集合的关系

a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A，

a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a?A

思考1：列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。

例1：判断下列一组对象是否属于一个集合呢？

（1）小于10的质数（2）著名数学家（3）中国的直辖市（4）maths中的字母

评注：判断集合要注意有三点：范围是否确定；元素是否明确；能不能指出它的属性。

3、集合的中元素的三个特性：

1.元素的确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

2.元素的互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。比如：book中的字母构成的集合

3.元素的无序性：集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

4、数的集简称数集，下面是一些常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）记作：N有理数集Q

正整数集N+（或N*）实数集R

整数集Z注：实数的分类

5、集合的表示方法：①列举法：把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法

例：{1，2，3}特点：元素个数少易列举

②描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法

特点：元素多或不宜列举

例：大于3小于10的实数A={x∈R│3﹤x﹤10}

方程的解集用描述法为B=

函数y=2x图像上的点（x,y)的集合可表示为C={（x,y)│y=2x}

在平面直角坐标系中第二象限的构成的集合D={（x,y)│x﹤0,且y﹥0}

方程组的解集

例题用适当的方法表示下列集合

①由大于3小于10的整数组成的集合

②方程的解的集合

③小于10的所有有理数组成的集合

④所有偶数组成的集合

6、集合的分类原则：集合中所含元素的多少

①有限集含有限个元素，如A={-2，3}

②无限集含无限个元素，如自然数集N，有理数Q

③空集不含任何元素，如方程x2+1=0实数解集。专用标记：Φ

二、课堂练习

1、用符合"∈"或"?"填空：课本P5练习

2、补充思考

①下列集合是否相同

1）A{1，5}B{(1,5)}C{5,1}D{(5,1)}

2）AΦB{0}C{Φ}D{{Φ}}3）小结

1、集合的概念

2、集合元素的三个特征

3、常见数集的专用符号.

4、集合的表示方法5、空集三、作业布置

基本作业：P6A组4，5

补充作业：求数集{1，x，x2-x}中的元素x应满足的条件；

思考作业：P6B组

板书设计（略）

另注：请各位考虑是否提出{实数}和{全部实数}及R之间的区别

§2集合间的基本关系

一.教学目标:

1．知识与技能

(1)了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。

(2)理解子集.真子集的概念。

(3)能使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用.

2.过程与方法

让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义.

3.情感.态度与价值观

(1)树立数形结合的思想．

(2)体会类比对发现新结论的作用.

二.教学重点.难点

重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念.

难点：难点是属于关系与包含关系的区别．

三.学法与教学用具

1.学法：让学生通过观察.类比.思考.交流.讨论，发现集合间的基本关系.

2.教学用具：投影仪.

四.教学过程

(一)创设情景，揭示课题

问题l：实数有相等.大小关系，如57，2≤2等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？

让学生自由发言，教师不要急于做出判断。而是继续引导学生；欲知谁正确，让我们一起来观察研探.（宣布课题）

(二)研探新知

1.子集

问题2：观察下面几个例子，你能发现两个集合之间有什么关系吗？(1)；(2)={西安中学高一(1)班女生}，={西安中学高一(1)班学生}；

(3),

组织学生充分讨论.交流，使学生发现：

集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，集合C中的任何一个元素都是集合D中的元素，集合E中的任何一个元素都是集合F中的元素。

综合归纳给出定义：

一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中任何一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）.

记作：

读作：A包含于（iscontainedin）B，或B包含（contains）A

举例：如，则

思考：包含关系与属于关系定义有什么区别?试结合实例作出解释.{1,2}______{1,2,{1},{2},{1,2}}

温馨提示：

（1）空集是任何集合的子集，即对任何集合A都有。

（2）任何集合是它本身的子集，即对任何集合A都有。

（3）若，不能理解为子集A是B中的"部分元素"所组成的集合。因为若，则A中不含任何元素；若A=B,则A中含有B中的所有元素。

非子集关系的反例：(1)A={1,3,5}B={2,4,6}

(2)C={x|x≥9}D={x|x≤3}可用数轴直观表示

(3)E={x|x≥9}F={x|x≤12}

当集合A中存在(即至少有一个)着不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包含A，分别记作：(或)

2.集合的相等

引入时举例：

由元素分析发现两个集合的元素完全相同，只是表达形式不同，给出集合相等的定义：

一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，那么我们就说集合A与集合B相等，记作A=B.

问题3：与实数中的结论""相类比，在集合中，你能得出什么结论?

教师引导学生通过类比，思考得出结论:.

3.真子集

问题4：A={小于7的正整数}B={1，2，3，4，5，6，}C={}1，3，5}

显然，，又发现B=A，C≠A，如何确切表明C与A的特殊关系？

文字语言

对于两个集合A与B，如果

，就说集合

A是集合B的真子集

（propersubset）

符号语言

若,但存在元素x,

则AB（或BA）

读作：A真包含于B（或B真包含A）

教师指出：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。如图l和图2分别是表示集合相等和真子集的关系。

图1图2

问题5：请同学们举出几个具有包含关系.相等关系的集合实例，并用Venn图表示.

学生主动发言，教师给予评价.

做练习4，并强调确定是真子集关系的写真子集，而不是子集。

思考：

(1)对于集合A，B，C,如果AB，BC，那么集合A与C有什么关系?如果真包含呢？

(2)集合A是集合B的真子集与集合A是集合B的子集之间有什么区别?

(3)空集是任何集合的子集吗?空集是任何集合的真子集吗?

(4)0，{0}与三者之间有什么关系?

(三)巩固深化，发展思维

1.学生在教师的引导启发下完成下列两道例题：

例1某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格。若用A表示合格产品，B表示质量合格的产品的集合,C表示长度合格的产品的集合．则下列包含关系哪些成立？

试用Venn图表示这三个集合的关系。

例2（与书上有变动）分别求下列集合的子集，并指出哪些是它们的真子集.

，{1},{1,2},{1,2,3}

集合子集子集个数

真子集个数1

0{1},{1}2

1{1,2},{1},{2},{1,2}4

3{1,2,3},{1},{2},{3},{1,2},{1,2,3}8

7

推广归纳：有限集的子集个数，真子集个数，非空

子集个数，非空真子集个数。

2.练习第5题

(四)归纳整理，整体认识

请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些，所涉及到的主要数学思想方法有那些.1.

也可结合配备的多媒体光盘用FLAS显示Venn图形式的集合间不同关系以加深印象。

2.性质结论：

（1）任何集合是它本身的子集，即对任何集合A都有。

(2)空集是任何集合的子集，即对任何集合A都有。

空集是任何非空集合的真子集。

(3)欲证，只须证且都成立即可。

（4对于集合A、B、C，若AB，BC,则AC.若AB,BC,则AC.

(五)布置作业

基础题：

第9页习题1-2A组2，4，5题.B组第1题.

思考题：

1.(06年上海理)已知集合A＝－1，3，2－1，集合B＝3，．若BA，则实数＝．

2.已知集合,≥，且满足，求实数的取值范围。

§3集合的基本运算

教学目的：（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集；

（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

课型：新授课

教学重点：集合的交集与并集、补集的概念；

教学难点：集合的交集与并集、补集"是什么"，"为什么"，"怎样做"；

第一课时：

教学过程：

四、引入课题

我们两个实数之间可以进行运算，比如加法运算，那么两个集合之间存在运算吗？

实例1：A=﹛高一（9）班女生﹜B=﹛高一（9）班团员﹜

C=﹛高一（9）班女团员﹜，我们发现集合C中的元素是集合A和集合B的公共元素。

实例2：学校的某次运动会要求各班选出数名篮球队员和足球队员

假设A=﹛高一（9）班的篮球队员﹜B=﹛高一（9）班的足球队员﹜

C=﹛高一（9）班的运动员﹜，我们发现集合C的元素是由集合A和集合B的元素共同构成的。

我们发现集合之间是存在一定运算的。

五、新课教学

1．交集（如实例1）

一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集（intersection）。

记作：A∩B 读作："A交B"

即：A∩B={x|∈A，且x∈B}

交集的Venn图表示

说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合。

则上例中C=A∩B。

练习：1.A=﹛3，5，7﹜，B=﹛1，2，3，4﹜则A∩B；2．说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集

2．并集（如实例2）

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union）

记作：A∪B 读作："A并B"

即：A∪B={x|x∈A，或x∈B}

Venn图表示：

说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。

练习：1.A=﹛3，5，7﹜，B=﹛1，2，3，4﹜则A∪B；2．说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。

拓展：求下列各图中集合A与B的并集与交集

总结基本结论：A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A

AA∪B，BA∪B，A∪A=A，A∪=A,A∪B=B∪A

总结：

交集的性质

AA=A,A=,AB=BA,ABA,ABB,

若AB,则AB=A,反之也成立。

并集的性质

AA=A，A=A，AB=BA，ABＡ，ABB

若AB,则AB=B,反之也成立。

联系交集的性质有结论：ABAAB．

三.例题讲解：

例1．某学校所有男生组成的集合A，一年级的所有学生组成的集合B，一年级的所有男生组成的集合C，一年级的所有女生组成的集合D，求A∩B，C∪D。

解A∩B=

=B.例2．设

求A∩B，A∪B.

解

完成思考交流，通过文氏图说明。总结集合的交集和并集运算满足结合律。

例3．已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，求M∩N。

解M={y|y=x2+1，x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x+1，x∈R}={y|y∈R}

∴M∩N=M={y|y≥1}

四．课堂练习：

P12练习1，2，3，4题P14习题1题

五．小结：

A∩B={x|∈A，且x∈B}

A∪B={x|x∈A，或x∈B}

交集的性质

AA=A,A=,AB=BA,ABA,ABB,

若AB,则AB=A,反之也成立。

并集的性质

AA=A，A=A，AB=BA，ABＡ，ABB

若AB,则AB=B,反之也成立。

联系交集的性质有结论：ABAAB．

六．作业

1．基础作业：P14习题A组2，3，4题

2．选做：

已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-mx+2=0}，且A∩B=B，求实数m范围。

解化简条件得A={1，2}，A∩B=BBA

根据集合中元素个数集合B分类讨论，B=，B={1}或{2}，B={1，2}

当B=时，△=m2-80∴

当B={1}或{2}时，，m无解

当B={1，2}时，∴m=3

综上所述，m=3或

3．思考B组1题

§3集合的基本运算

第二课时

一．复习回顾：

上节学习了集合的两种基本运算求交集和求并集。实际中在研究某些集合的时候，这些集合往往是某些给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集。

二．新课讲解

1．全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe），通常记作U。

2．补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementaryset）,简称为集合A在U中的补集，或余集。

记作：CUA即：

补集的Venn图表示

说明：补集的概念必须要有全集的限制

三．例题讲解

例3试用集合A，B的交集、并集、补集分别表示图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分所表示的集合。

解Ⅰ部分：

Ⅱ部分：

Ⅲ部分：

Ⅳ部分：

例4设全集为R，

（1）（2）

（3）（4）

（5）（6）;（7）并指出其中相等的集合。

解（1）在数轴上，画出集合A和B.（2）（3）在数轴上表示出

（4）（5）.（6）=;（7）注意对连续实数集利用数轴直观去处理，通过例题了解德摩根律。总结：补集的性质：

C＝Ｕ，CＵ＝，A∩CA＝，A∪CA＝Ｕ，C(CA)＝A

德摩根律：

(CuA)(CuB)=Cu(AB),

(CuA)(CuB)=Cu(AB)，

四．课堂练习。

P14练习1，2，3，4，5题

五．归纳小结

求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是"且"与"或"，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。

六．作业布置

1、基础作业：P15习题A组，第5，6，7题。

2、选做：

若全集Ｕ＝，子集Ｐ＝，且CuＰ＝，求实数ａ．

解由子集定义和补集定义可知，解得ａ＝２．

3．思考：

习题B组2题

第一章《集合》复习课教案（2课时）

（一）教学目标：

（1）了解集合的含义，理解集合的表示方法

（2）理解集合的运算，会求集合的交，并，补集

（3）能使用韦恩图表达集合的关系及运算

（二）教学三点解析：

（1）教学重点：知识的网络结构；

（2）教学难点：集合思想的应用及运算；

（三）教学过程设计

一.知识归纳

集合知识网络

1.需要注意的问题

(1)要正确理解集合、空集、子集、全集、补集、交集、并集的概念及性质.

(2)特别注意对空集的概念和性质的理解

(3)集合的表示方法各有特点,应结合具体问题适当选用.

(4)利用数形结合的思想,将集合用Venn图表示出来,帮助理解或解决问题,在求数集的交集、并集、补集时，可以借助于数轴.

(5)集合中蕴涵着分类的思想,体会它在生活中和数学中的广泛的应用.

(6)理解集合是一种语言,这种语言能简洁、准确地表达数学的一些内容.

2.常见题型

1、用适当的方法表示下列集合：

100以内被3除余2的正整数所组成的集合；

所有正方形；

直角坐标平面上在直线和两侧的点所组成的集合；

方程组得解集

2、由元素1，2，3组成的集合可记为：

A.B.C.D.

3、实数集合中元素满足的条件是。

4、已知集合A＝{a,a，a－2a＋1}，B＝{1,2}且A∩B＝{1}，求a的值。

5.设a,b,c为非零实数，则的所有值组成的集合为（）

6、已知集合A＝－1，3，2－1，集合B＝3，．若BA，则实数＝．

7、定义集合A*B={x|x∈A且xB}，若A={2,4,6,8},B={2,4,5}，则A*B的子集个数为（）

8、已知集合M={x|x=m+,m∈Z},N={x|x=,n∈Z},P={x|x=,p∈Z}，则M,N,P满足关系（）

9、若{1,2}A?{1,2,3,4,5},则满足这一关系的集合A的个数为

10、已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，求M∩N。

11、若集合，满足＝A，则称（，）为集合A的一个分拆，并规定：当且仅当＝时，（，）与（，）为集合A的同一种分拆，则集合A＝{，，}的不同分拆种数是（）。

12、设全集，，，求判断与之间的关系．

13、已知集合A={x|2≤x≤9},B={x|m-1x4m+1}且B≠,若A∪B=A，求m的取值范围

１４、已知集合A={x∈R|ax2－3x+2=0,a∈R},若A中元素至多有1个，则a的取值范围是

15．设A={x|x2+ax+b=0},B={x|x2+cx+15=0},又AB={3，5}，A∩B={3}，求实数a,b,c的值.

16、设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，P＝{1，2，3，4，5}，Q＝{3，4，5，6，7}，则CUQ＝

17、已知U=

则集合A=

18、某校有21个学生参加了数学小组，17个学生参加了物理小组，10个学生参加了化学小组，他们之中同时参加数学、物理小组的有12人，同时参加数学、化学小组的有6人，同时参加物理、化学小组的有5人，同时参加3个小组的有2人，现在这三个小组的学生都要乘车去市里参加数理化竞赛，问需要预购多少张车票？

二.归纳小结，强化思想

1、常见题型：集合元素的辨析、集合的运算

2、数轴分析法、韦恩示意图法、代入法。

3、分类讨论思想；等价转化思想

三．作业：章节小节

集合练习（选自各年高考试卷）

1、设S，T是两个非空集合，且SS，令X＝S∩T，那么S∪X＝。(87(1)3分)

A.X B.T C.Φ D.S

2、集合{1，2，3}的子集总共有。(88(3)3分)

A.7个 B.8个 C.6个 D.5个

3、如果全集U＝{a，b，c，d，e}，M＝{a，c，d}，N＝{b，d，e}，则＝。(89(1)3分)

A.φ B.{d} C.{a，c} D.{b，e}

4、设全集U＝{(x，y)|x，y∈R}，M＝{(x，y)|＝1}，N＝{(x，y)|y≠x＋1}，则＝。(90(9)3分)

A.φ B.{(2，3)} C.(2，3) D.{(x，y)|y＝x＋1}

5、设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2，3}，集合B＝{2，3，4}，则＝。(94(1)4分)

A.{0} B.{0，1} C.{0，1，4} D.(0，1，2，3，4)

6、设集合M＝{x|0≤x＜2，集合N＝{x|x2－2x－3＜0，集合M∩N＝。(97(1)4分)

A.{x|0≤x＜1 B.{x|0≤x＜2 C.{x|0≤x≤1} D.{x|0≤x≤2}

7、设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，则的值为__________.(92(21)3分)

8、如图，U是全集，M、P、S是U的3个子集，则阴影部分所表示的集合是。(99(1)4分)

A.(M∩P)∩S B.(M∩P)∪S

C.(M∩P)∩ D.(M∩P)∪

9、若集合S＝{y|y＝3x，x∈R}，T＝{y|y＝x2－1，x∈R}，则S∩T是。(2000上海(15)4分)

A.S B.T C.Φ D.有限集第二章

1.2.1函数的概念（一）

教学目标：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；能够正确使用"区间"的符号表示某些集合．

教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数．

教学过程：

一、复习准备：

1.讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？

2.回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量.表示方法有：解析法、列表法、图象法.

二、讲授新课：

1.函数模型思想及函数概念：

①给出第一节生活中的变量关系三个实例略．

②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？三个实例有什么共同点？

归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A中的每一个，按照某种对应关系，在数集B中都与唯一确定的和它对应，记作：

③定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：.其中，叫自变量，的取值范围A叫作定义域（domain），与的值对应的值叫函数值，函数值的集合叫值域（range）.

④讨论：值域与B的关系？构成函数的三要素？

一次函数、二次函数的定义域与值域？

⑤练习：，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值．

求值域.

例1：见课本27页例1

2.区间及写法：

①概念：设是两个实数，且，则：

叫闭区间；叫开区间；

；；都叫半开半闭区间．

②符号："∞"读"无穷大"；"－∞"读"负无穷大"；"+∞"读"正无穷大"

③练习用区间表示：R、{x|x≥a}、{x|xa}、{x|x≤b}、{x|xb}

④用区间表示：函数y＝的定义域，值域是．（观察法）

3.小结：函数模型应用思想；函数概念；二次函数的值域；区间表示

三、巩固练习：

1.已知函数f(x)=3x＋5x－2,求f(3)、f(-)、f(a)、f(a+1)

2.探究：举例日常生活中函数应用模型的实例.什么样的曲线不能作为函数的图象？

3.课堂作业：

1.2.1函数的概念（二）

教学要求：会求一些简单函数的定义域与值域，并能用"区间"的符号表示；掌握判别两个函数是否相同的方法．

教学重点：会求一些简单函数的定义域与值域．

教学难点：值域求法．

教学过程：

一、复习准备：

1.提问：什么叫函数？其三要素是什么？函数y＝与y＝3x是不是同一个函数？为什么？

2.用区间表示函数y＝kx＋b、y＝ax＋bx＋c、y＝的定义域与值域.

二、讲授新课：

1.教学函数定义域：

①出示例1：求下列函数的定义域（用区间表示）

f(x)=；f(x)=；f(x)=－

学生试求→订正→小结：定义域求法（分式、根式、组合式）

②练习：求定义域（用区间）→

f(x)＝；f(x)＝＋

③小结：求定义域步骤：列不等式（组）→解不等式（组）

2.教学函数相同的判别：

①讨论：函数y=x、y=()、y=、y=、y=有何关系？

②练习：判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？

A.；；B.；

C．；、D.；

②小结：函数是否相同，看定义域和对应法则。

3.教学函数值域的求法：

①例2：求值域（用区间表示）：y＝x－2x＋4；y＝；f(x)＝；f(x)＝

先口答前面三个→变第三个求→如何利用第二个来求第四个

②小结求值域的方法：观察法、配方法、拆分法、基本函数法

三、巩固练习：1.求下列函数定义域：；

2.已知f(x+1)＝2x－3x＋1，求f(-1)．变：，求f(f(x))

解法一：先求f(x)，即设x＋1＝t；（换元法）解法二：先求f(x)，利用凑配法；

解法三：令x＋1=－1，则x＝－2,再代入求．（特殊值法）

3.f(x)的定义域是[0,1]，则f(x＋a)的定义域是．

4.求函数y＝－x＋4x－1，x∈[-1,3)在值域．

解法（数形结合法）：画出二次函数图像→找出区间→观察值域

5.课堂作业：

2.2函数的表示法

教学要求：明确函数的三种表示方法（解析法、列表法、图像法），了解三种表示方法各自的优点，在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．

教学重点：会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．

教学难点：分段函数的表示及其图象．

教学过程：

一、复习准备：

1.提问：函数的概念？函数的三要素？

2.讨论：初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明.

二、讲授新课：

1.教学函数的三种表示方法：

①结合实例说明三种表示法→比较优点

解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.优点：简明；给自变量求函数值

图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.优点：直观形象，反应变化趋势．

列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.优点：不需计算就可看出函数值．

具体实例如：二次函数等；股市走势图；列车时刻表；银行利率表．

②出示例1.某种笔记本的单价是2元，买x(x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x)．

师生共练→小结：函数"y=f(x)"有三种含义（解析表达式、图象、对应值表）．

③讨论：函数图象有何特征？所有的函数都可用解析法表示吗？

④练习：作业本每本0.3元，买x个作业本的钱数y（元）.试用三种方法表示此实例中的函数.

⑤处理课本P29例2

2．教学分段函数：

①出示例3：写出函数解析式，并画出函数的图像．

邮局寄信，不超过20g重时付邮资1.2元，超过20g重而不超过40g重付邮资2.4元。超过40g重而不超过60g重付邮资3.6元。超过60g重而不超过80g重付邮资4.8元。超过80g重而不超过100g重付邮资6.00元。每封x克（0x≤100）重的信应付邮资数（元）．

（学生写出解析式→试画图像→集体订正）

②练习：A.写函数式再画图像：某水果批发店，100kg内单价1元／kg，500kg内、100kg及以上0.8元／kg，500kg及以上0.6元／kg．批发x千克应付的钱数（元）．

B.画出函数f(x)=|x－1|＋|x＋2|的图像．

③提出:分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x，对应法则不同）→生活实例

④课本P30例4

3.看书，并小结：三种表示方法及优点；分段函数概念；函数图象可以是一些点或线段

三、巩固练习：1.已知f(x)＝，求f(0)、f[f(-1)]的值．

2.作业：P341、2题

2.3映射

教学要求：了解映射的概念及表示方法；结合简单的对应图示，了解一一映射的概念．

教学重点：映射的概念．

教学难点：理解概念．

教学过程：

一、复习准备：

1.举例初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例：

对于任何一个实数，数轴上都有唯一的点P和它对应；

对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应；

对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；

某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；

2.讨论：函数存在怎样的对应？其对应有何特点？

3.导入：函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件"非空数集"弱化为"任意两个非空集合"，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射（mapping）.

二、讲授新课：

1.教学映射概念：

①先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系，并用图示意

,，对应法则：开平方；

，，对应法则：平方；

,,对应法则：求正弦；

②定义映射：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作""

关键:A中任意，B中唯一；对应法则f.

③分析上面的例子是否映射？举例日常生活中的映射实例？

④讨论：映射的一些对应情况？（一对一；多对一）一对多是映射吗？

举例一一映射的实例（一对一）

2.教学例题：

①出示例1.探究从集合A到集合B一些对应法则，哪些是映射，哪些是一一映射？

A={P|P是数轴上的点}，B=R；A={三角形}，B={圆}；

A={P|P是平面直角体系中的点}，；A={高一某班学生}，B=？

（师生探究从A到B对应关系→辨别是否映射？一一映射？小结：A中任意，B中唯一）

②讨论：如果是从B到A呢？

③练习：判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？

A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则；

，对应法则；，，；

设；，

3.小结：映射概念.

三、巩固练习：1.练习：书P33,1、2、3、4题；2.课堂作业：书P343，B组1、2题.

函数及其表示（练习课）

教学要求：会求一些简单函数的定义域和值域；能解决简单函数应用问题；掌握分段函数、区间、函数的三种表示法；会解决一些函数记号的问题．

教学重点：求定义域与值域，解决函数简单应用问题．

教学难点：函数记号的理解.

教学过程：

一、基础习题练习：（口答下列基础题的主要解答过程→指出题型解答方法）

1.说出下列函数的定义域与值域：；；.

2.已知，求，，.

3.已知，作出的图象，求的值.

二、教学典型例题：

1.函数记号的理解与运用：

①出示例1.已知f(x)=?1g(x)=求f[g(x)]

（师生共练→小结：代入法；理解中间自变量）

②练习：已知=x?x+3求：f(x+1),f()

已知函数=4x+3，g(x)=x,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)].

③出示例2.若,求

分析：如何理解？如何转化为

解法一：换元法，设，则......

解法二：配元法，，则......

解法三：代入法，将x用代入，则......

讨论：中，自变量x的取值范围？

④练习：若，求.

2.函数应用问题：

①出示例3.中山移动公司开展了两种通讯业务："全球通"，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；"神州行"不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元.若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为（元）.

Ⅰ.写出与x之间的函数关系式？

Ⅱ.一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？

Ⅲ.若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？

（师生共练→讨论：如何改动，更与实际接近？

小结：简单函数应用模型）

三、巩固练习：1.已知满足，求.

2.若函数的定义域为[?1，1]，求函数的定义域

3.设二次函数满足且=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求的解析式.

2.2.2二次函数的性质与图像(一)

教学目标：研究二次函数的性质与图像

教学重点：进一步巩固研究函数和利用函数的方法

教学过程：

1、函数叫做二次函数，利用多媒体演示参数、、的变化对函数图像的影响，着重演示对函数图像的影响

2、通过以下几方面研究函数

（1）、配方

（2）、求函数图像与坐标轴的交点

（3）、函数的对称性质

（4）、函数的单调性

3、例：研究函数的图像与性质

解：（1）配方

所以函数的图像可以看作是由经一系列变换得到的，具体地说：先将上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将所得的图像向左移动4个单位，向下移动2个单位得到.

（2）函数与x轴的交点是（-6，0）和（-2，0），与y轴的交点是（0，6）

（3）函数的对称轴是x=-4,事实上如果一个函数满足：（），那么函数关于对称.

（4）设，，===因为，所以

所以函数在上是减函数

同理函数在上是增函数

对于教材上的其他例子可以仿照此例讨论，总结教材上第64页上的几条性质。

4、复习通过配方法求二次函数最小值的方法

课堂练习：教材第65页练习A、B

小结：通过本节课的学习应明确应该从那几个方面研究二次函数.

课后作业：教材第67页7，教材第68页2、4

2.2.2二次函数的性质与图像(二)

教学目标：研究二次函数的性质与图像

教学重点：进一步巩固研究函数和利用函数的方法

教学过程：

（习题课）

1、某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程。下列图中纵轴表示离校

的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合学生走法的是 （）

yyyy

oxoxoxox

ABCD

2、已知函数f(x)及函数g(x)的图象分别如图⑴、⑵所示，则函数y=f(x)·g(x)的图

象大致是（）

ABCD

3、若函数是偶函数,则函数的图象

A.关于直线对称B.关于直线对称

C.关于直线对称D.关于直线对称

4、将奇函数的图象沿x轴的正方向平移2个单位，所得的图象为C，又设图象

与C关于原点对称，则对应的函数为 （）A． B．C． D．

5、已知函数f（x）＝｜x2－2ax＋b｜(x∈R)，给出下列命题：①f（x）必是偶函数；②当f（0）＝f（2）时f（x）的图象必关于直线x＝1对称；③若a2－b≤0，则f（x）在区间［a，＋∞］上是增函数；④f（x）有最大值a2－b，其中正确命题序号是.

6、对于函数f（x），若存在x0∈R,使f（x0）＝x0成立，则称x0为f（x）的不动点.如果函数f（x）＝ax2＋bx＋1（a＞0）有两个相异的不动点x1，x2.

(Ⅰ)若x1＜1＜x2，且ｆ（x）的图象关于直线x＝m对称,求证：＜m＜1；

(Ⅱ)若｜x1｜＜2且｜x1－x2｜＝2，求b的取值范围.

7、已知函数f(x)=ax2+bx+c(a＞b＞c)的图象上有两点A（m，f(m1)）、B(m2，f(m2))，满足f(1)=0且a2+(f(m1)+f(m2))·a+f(m1)·f(m2)=0.

（Ⅰ）求证：b≥0；

（Ⅱ）求证：f(x)的图象被x轴所截得的线段长的取值范围是［2，3］；

（Ⅲ）问能否得出f(m1+3)、f(m2+3)中至少有一个为正数？请证明你的结论

课堂练习：（略）

小结：本节课对前面所学习的内容进行复习

课后作业：（略）

2.5简单的幂函数

一．教学目标：

1．知识技能

（1）理解幂函数的概念；

（2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用.

2．过程与方法

类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研幂函数的图象和性质.

3．情感、态度、价值观

（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法；

（2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.

二．重点、难点

重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质

难点：从幂函数的图象中概括其性质

5．学法与教具

（1）学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质;

（2）教学用具：多媒体

三．教学过程：

引入新知

阅读教材P90的具体实例（1）~（5），思考下列问题.

（1）它们的对应法则分别是什么？

（2）以上问题中的函数有什么共同特征？

让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论

答：1、（1）乘以1（2）求平方（3）求立方

（4）求算术平方根（5）求－1次方

2、上述的问题涉及到的函数，都是形如：，其中是自变量，是常数.

探究新知

1．幂函数的定义

一般地，形如（R）的函数称为幂孙函数，其中是自变量，是常数.

如等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.

2．研究函数的图像

（1）（2）（3）

（4）（5）

一．提问：如何画出以上五个函数图像

引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最后，教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像.

让学生通过观察图像，分组讨论，探究幂函数的性质和图像的变化规律，教师注意引导学生用类比研究指数函数，对函数的方法研究幂函数的性质.

通过观察图像，填P91探究中的表格

定义域RRR奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第Ⅰ象限单调增减性

在第Ⅰ象限单调递增

在第Ⅰ象限单调递增

在第Ⅰ象限单调递增

在第Ⅰ象限单调递增

在第Ⅰ象限单调递减定点（1，1）

（1，1）

（1，1）

（1，1）

（1，1）

3．幂函数性质

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：）；

（2）＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.

特别地，当＞1，＞1时，∈（0，1），的图象都在图象的下方，形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）

当∠α＜1时，∈（0，1），的图象都在的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）

（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.

在第一家限内，当向原点靠近时，图象在轴的右方无限逼近轴正半轴，当慢慢地变大时，图象在轴上方并无限逼近轴的正半轴.例题：1．证明幂函数上是增函数

证：任取＜则==

因＜0，＞0

所以，即上是增函数.思考：我们知道，若得，你能否用这种作比的方法来证明上是增函数，利用这种方法需要注意些什么？

2．利用函数的性质，判断下列两个值的大小

（1）（2）（3）

分析：利用幂函数的单调性来比较大小.

5．课堂练习

画出的大致图象，并求出其定义域、奇偶性，并判断和证明其单调性.

6．归纳小结：提问方式

（1）我们今天学习了哪一类基本函数，它们定义是怎样描述的？

（2）你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？

作业：P92习题2.3第2、3题第三章课题：1正整数指数函数

教学目标：

了解正整数指数函数模型的实际背景。了解正整数指数函数的概念。理解具体的正整数指数函数的图象特征及函数的单调性。借助科学计算器、计算机的运算功能，计算一些正整数指数函数值。

教学重点：正整数指数函数的概念，函数图象的特征。

教学难点：正整数指数函数图象的特征。

授课类型：新授课

教学过程：

一、新课引入

1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的平均增长率为2%，到2010年底人口将达到多少亿？（取）

为解决这个问题，我们必须建立相应的数学模型、函数关系式，设年数为x，人口数为y，则其中我们给起个名字为正整数指数函数引出本节课题。

二、新课讲授

问题1某细胞分裂时，由1个分裂为2个，2个分裂成4个......一直分裂下去。

①列表表示1个细胞分裂次数分别为1，2，3，4，5，6，7，8时，得到的细胞个数；

②用图象表示1个细胞分裂次数n与得到细胞个数y之间的关系；

③写出y与n之间的关系式，试用科学计算器计算细胞分裂15、20次得到的细胞个数。

师生共同讨论,并指出其定义域及函数图象的特点（单调性）

问题2电冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气的臭氧层，臭氧含量Q近似的满足其中是臭氧的初始量，t是时间（年）。这里设=1

（1）计算经过20、40、60、80、100年，臭氧的含量Q

（2）用图像表示每隔20年臭氧含量Q的变化；

（3）试分析随着时间的增加，臭氧含量Q是增加还是减少。

解（1）使用科学计算器可以算得，经过20、40、60、80、100年后，臭氧含量Q分别是：

（2）图象是一些孤立的点

（3）由图像可知：随着时间的增加，臭氧的含量逐渐减少

小结：从上述的两个问题的讨论和分析，老师给出正整数指数函数概念：对于，()我们可以用更一般的式子来表示，用a取代2（a＞0），用x取代n（）则上式可以表示为（a＞0，a≠1，）我们称这样的函数为正整数指数函数，其中定义域为，即正整数集，正因为其定义域为正整数，所以我们称之为正整数指数函数。

特别指出的是有如下特点：

a)x是自变量，定义域是正整数集，x在指数上。

b)规定底数大于0且不等于1。

c)图象是一些孤立的点，并且当a＞1时，是单调递增函数，当0＜a＜1时，是单调递减函数。

在我们研究增长问题、复利问题、质量浓度问题中常见这类函数。

例某地现有森林面积是1000，每年增长5%，经过x（）年，森林面积为y，写出x，y间的函数关系式，并求出经过5年，森林的面积是多少？（例题）

学生练习

小结再次强调正整数指数函数的特点（图象，表达式，a的范围）作业课题：2．1指数概念的扩充

教学目标：

通过与初中所学知识的类比，理解分数指数幂的概念，掌握指数幂的性质、根式与分数指数幂的互化，能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值。

教学重点：

1)掌握并运用分数指数幂的运算性质。

2)运用有理指数幂运算性质进行化简、求值。

教学难点：有理指数幂性质的灵活应用

授课类型：新授课

教学过程：

一、新课引入

回顾初中学习的整数指数幂及其运算性质

二、新课讲授

提出问题

（1）观察以下式子，并总结出规律：a＞0①②③④

（2）利用上例你能表示出下面的式子吗？

，（x＞0，a＞0，m，n，且n＞1，）

（3）你能推广到一般的情形吗？

师生讨论得到正数的正分数指数幂的意义：正数的正分数指数幂的意义是（a＞0，m，n，且n＞1）

提出问题

负分数指数幂的意义是怎样规定的？

你能得到负分数指数幂的意义吗？

你认为如何规定0的分数指数幂的意义？

分数指数幂的意义中，为什么规定a＞0？

既然指数的概念从整数指数推广到了有理数指数，那么其性质能否推广？

讨论结果有以下结论：

（a≠0，n），（a＞0，m，n，且n＞1）性质（1）（a＞0，r，s∈Q）

（2）（a＞0，r，s∈Q）

（3）（a＞0，b＞0，r∈Q）

规定：0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂没有意义。

例题讲解

（1）求下列各式的值

（2）用分数指数幂的形式表示下列各式中的b（式中a＞0）=32学生练习

点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先化为根式，再把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能既有分数指数又有根式，也不能既有分母又有负指数。

同学们可参阅了解有关无理数指数幂知识（老师做必要的说明，极限思想）作业1．计算下列各式2．求值课题：2.2指数运算的性质

教学目的：

巩固根式和分数指数幂的概念和性质，并能熟练应用于有理指数幂的概念及运算法则进行相关计算

教学重点：利用指数运算性质进行化简，求值。

教学难点：指数运算性质的灵活运用

课时安排：2课时

教学过程：

一、复习巩固：

总结上节课内容并指出指数的运算在整个实数上都成立，本节课我们一起来看看他们满足什么运算性质。

先回顾正整数指数幂的运算性质当其中m,n∈

实际上，当a＞0，b＞0时，对任意的m，n都满足上述性质，我们可以把上述五条归纳为三条：

二、新课讲授

学生看书67页例1

例2化简（式中字母均为正实数）：

（1）（2）

解（1）=

（2）

学生练习68页练习1

例3已知解

学生练习68练习2

1．思考.已知=3，求下列各式的值:（注意：补充立方和的乘法公式）

（１）；（２）；（３）．

讨论方法→教师示范→学生试练（答案：（１）７；（２）４７；（３）８．）小结作业

第二课时授课类型：巩固课

教学过程：

一、巩固练习：

回顾分数指数幂的运算性质推广到实数集上：

二、讲解范例：

例1计算下列各式（式中字母都是正数）：

⑴；⑵.

解：⑴原式=[2×(-6)÷(-3)]；

⑵原式=

说明：该例是运用分数指数幂的定义和运算性质进行计算的题，第⑴小题是仿照单项式乘除法进行的，首先将系数相乘除，然后将同底数的幂相乘除；第⑵小题是先按积的乘方计算，再按幂的乘方计算，在计算过程中要特别注意符号.同学们在下面做题中，刚开始时，要严格按照象例题一样的解题步骤进行，待熟练以后再简化计算步骤.

例2计算下列各式：

⑴；⑵(a0).

解：⑴原式=

=；

⑵原式=.

说明：本例是利用分数指数幂来进行根式计算，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算；对于计算结果，若没有特别要求，就用分数指数幂的形式表示，若有特殊要求，可根据要求给出结果，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数

例3化简：解：评述：此题注重了分子、分母指数间的联系，即，由此联想到平方差公式的特点，进而使问题得到解决

思考已知x+x-1=3,求下列各式的值：解：五、小结本节课学习了以下内容：

熟练进行有关分数指数幂的计算。

六、课后作业：

1．求下列各式的值：

(1)（2）（３）（4）

2．已知：，求证：.，4．已知：，，求的值..

6．设mn0，x=，化简：A=.

解：∵x-4=()-4=()，∴A==，又∵mn0，∴m，n同号.

⑴设m0，且n0，则A=.

①若mn，则A=；②若mn，则A=.

⑵设m0，且n0，则A=.

①若nm，则A=；②若nm，则A=.

综上所述得：A=.

课题：3.1指数函数的概念

教学目的：

理解指数函数的概念，并能正确作出其图象，掌握指数函数的性质.培养学生实际应用函数的能力

教学重点：指数函数的图象、性质

教学难点：指数函数的图象性质与底数a的关系.

授课类型：新授课

教学过程：

一、复习引入：

引例：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，.......1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系是什么？

分裂次数：1，2，3，4，...，x

细胞个数：2，4，8，16，...，y

由上面的对应关系可知，函数关系是.

引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的函数关系式为

在,中指数x是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量.

我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.

二、新课讲授

1．指数函数的定义：

函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R

探究1：为什么要规定a0,且a1呢？

①若a=0，则当x0时，=0；当x0时，无意义.

②若a0，则对于x的某些数值，可使无意义.如，这时对于x=，x=，...等等，在实数范围内函数值不存在.

③若a=1，则对于任何xR，=1，是一个常量，没有研究的必要性.

为了避免上述各种情况，所以规定a0且a?1在规定以后，对于任何xR，都有意义，且0.因此指数函数的定义域是R，值域是(0,+∞).

探究2：函数是指数函数吗？

指数函数的解析式y=中，的系数是1.

有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y=+k(a0且a1，kZ)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y=(a0,且a1)，因为它可以化为y=，其中0，且1

2.指数函数的图象和性质：

在同一坐标系中分别作出函数y=，y=，y=，y=的图象.

列表如下：x...-3-2-1-0.500.5123...y=...0.130.250.50.7111.4248...y=...8421.410.710.50.250.13...

x...-1.5-1-0.5-0.2500.250.511.5...y=...0.030.10.320.5611.783.161031.62...y=...31.62103.161.7810.560.320.10.03...

我们观察y=，y=，y=，y=的图象特征，就可以得到的图象和性质

a1

0a1

图

象

性

质

(1)定义域：R

（2）值域：（0，+∞）

（3）过点（0，1），即x=0时，y=1

（4）在R上是增函数

（4）在R上是减函数

例题讲解：

例1某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量留是原来的一半（结果保留1个有效数字）

分析：通过恰当假设，将剩留量y表示成经过年数x的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求

解：设这种物质量初的质量是1，经过x年，剩留量是y

经过1年，剩留量

经过2年，剩留量

......

一般地，经过x年，剩留量

y=0.84

根据这个函数关系式可以列表如下：

x

0

1

2

3

4

5

6

y

1

0.84

0.71

0.59

0.50

0.42

0.35

用描点法画出指数函数y=0.84

的图象从图上看出y=0.5只需x≈4.

答：约经过4年，剩留量是原来的一半

评述：指数函数图象的应用；数形结合思想的体现

例2比较下列各题中两个值的大小：

①，；②，；③，

解：利用函数单调性

①与的底数是1.7，它们可以看成函数y=，当x=2.5和3时的函数值；因为1.71，所以函数y=在R是增函数，而2.53，所以，；

②与的底数是0.8，它们可以看成函数y=，当x=-0.1和-0.2时的函数值；因为00.81，所以函数y=在R是减函数，而-0.1-0.2，所以，；

③在下面几组数之间的横线上填上适当的不等号或等号：1；1；

小结：对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；对不同底数的幂的大小的比较可以与中间值进行比较.

练习：⑴比较大小：,

⑵已知下列不等式，试比较m、n的大小：

mn；mn.

⑶比较下列各数的大小：，

小结本节课学习了以下内容：指数函数概念，指数函数的图象和性质

课后作业：

课题：3.2指数函数的图像和性质

教学目的：

熟练掌握指数函数概念、图象、性质掌握指数形式的函数定义域、值域，判断其单调性；培养学生数学应用意识

教学重点：指数形式的函数定义域、值域

教学难点：判断单调性.

授课类型：新授课

教学过程：

一、复习引入：

的图象和性质

a1

0a1

图

象

性

质

(1)定义域：R

（2）值域：（0，+∞）

（3）过点（0，1），即x=0时，y=1

（4）在R上是增函数

（4）在R上是减函数

二、新课讲授：

例1求下列函数的定义域、值域：

⑴⑵⑶

分析：此题要利用指数函数的定义域、值域，并结合指数函数的图象注意向学生指出函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量x的取值范围

解（1）由x-1≠0得x≠1

所以，所求函数定义域为{x|x≠1}

由，得y≠1

所以，所求函数值域为{y|y0且y≠1}

说明：对于值域的求解，在向学生解释时，可以令，考察指数函数y=,并结合图象直观地得到，以下两题可作类似处理

（2）由5x-1≥0得

所以，所求函数定义域为{x|}

由≥0得y≥1

所以，所求函数值域为{y|y≥1}

（3）所求函数定义域为R

由0可得+11

所以，所求函数值域为{y|y1}

通过此例题的训练，学会利用指数函数的定义域、值域去求解指数形式的复合函数的定义域、值域，还应注意书写步骤与格式的规范性

例2求函数的单调区间，并证明

解：设

则

∵∴

当时，这时

即∴，函数单调递增

当时，这时

即∴，函数单调递减

∴函数y在上单调递增，在上单调递减

解法二、（用复合函数的单调性）：

设：则：

对任意的，有，又∵是减函数

∴∴在是减函数

对任意的，有，又∵是减函数

∴∴在是增函数