流体力学第四章

流体力学第四章第一页，共五十八页，2022年，8月28日4.1流体的运动微分方程4.2元流的伯努利方程4.3恒定总流的伯努利方程4.4＊非恒定总流的伯努利方程4.5恒定总流的动量方程能量方程动量方程第二页，共五十八页，2022年，8月28日4.1流体的运动微分方程无黏性流体运动微分方程黏性流体运动微分方程第三页，共五十八页，2022年，8月28日无黏性流体运动微分方程无黏性不存在剪切力表面力质量力压强压力Fx=xρdxdydz牛顿第二定律MNOX轴方向流速的随体导数第四页，共五十八页，2022年，8月28日同理无黏性流体运动微分方程（欧拉运动微分方程）展开成欧拉法的表达式（3-9）第五页，共五十八页，2022年，8月28日黏性流体运动微分方程黏性存在剪切力以应力表示的不可压缩黏性流体运动微分方程由于黏性作用，任一点法向应力的大小与作用面的方位有关黏性流体中，把某点三个正交面上的法向应力的平均值定义为该点的动压强任p。p=p(x,y,z)第六页，共五十八页，2022年，8月28日理想流体元流的伯努利方程黏性流体元流的伯努利方程4.2元流的伯努利方程第七页，共五十八页，2022年，8月28日(1)不可压缩理想流体的恒定流动；(2)沿同一微元流束（也就是沿流线）积分；(3)质量力只有重力。（4）无黏性流体理想流体的运动微分方程只有在少数特殊情况下才能求解。在下列几个假定条件下：即可求得理想流体微元流束的伯努利方程。理想流体元流的伯努利方程第八页，共五十八页，2022年，8月28日恒定流动沿流线的微小位移ds在三个坐标轴上的投影为dx、dy和dzdxdydz两边同乘以一、理想流体微元流的伯努利方程第九页，共五十八页，2022年，8月28日流线方程式（3-16）相加其中第十页，共五十八页，2022年，8月28日流动在重力场中，质量力只有重力，X=0，Y=0，Z=-g，即z轴垂直向上，oxy为水平面。又假设为不可压缩流体，即ρ=常数，积分后得此上式称为理想流体微元流束的伯努利方程方程右边的常数对不同的流线有不同的值。该方程的适用范围：理想、不可压缩流体，在重力作用下，作恒定流动，并沿同一流线（或微元流束）。or所以：第十一页，共五十八页，2022年，8月28日若1、2为同一条流线（或微元流束）上的任意两点,则可得在特殊情况下，绝对静止流体u=0，由可以得到静力学基本方程第十二页，共五十八页，2022年，8月28日二、元流伯努利方程的物理意义和几何意义物理意义几何意义z单位重量流体的位能过水断面的位置水头单位重量流体的压能过水断面的压强水头单位重量流体的动能过水断面的速度水头单位重量流体的机械能过水断面的总水头无黏性流体的恒定流动，沿同一元流，单位重量流体的机械能守恒无黏性流体的恒定流动，沿同一元流各断面的总水头相等能量守恒第十三页，共五十八页，2022年，8月28日图无黏性流体的总水头线和静水头线第十四页，共五十八页，2022年，8月28日黏性流体元流的伯努利方程黏性阻力克服阻力做功能量损耗黏性流体元流单位重量流体由过流断面1-1运动至过流断面2-2的机械能损失，称为元流的水头损失。第十五页，共五十八页，2022年，8月28日图黏性流体的总水头线和静水头线第十六页，共五十八页，2022年，8月28日4.2小结无黏性流体元流的伯努利方程黏性流体元流的伯努利方程能量方程第十七页，共五十八页，2022年，8月28日三大定律动量守恒能量守恒质量守恒元流的伯努利方程主要研究流体运动中的想一想第十八页，共五十八页，2022年，8月28日4.3恒定总流的伯努利方程渐变流及其性质总流的伯努利方程元流总流第十九页，共五十八页，2022年，8月28日渐变流及其性质均匀流非均匀流渐变流急变流流动的分类渐变流的性质：1）渐变流的过流断面近于平面，面上各点的速度方向近于平行；2）渐变流过流断面上的动压强与静压强的分布规律相同。迁移加速度很小，或流线近乎是平行直线的流动第二十页，共五十八页，2022年，8月28日图3-18渐变流和急变流渐变流第二十一页，共五十八页，2022年，8月28日总流的伯努利方程元流总流1122u1u2A1A2Z1Z200实际恒定总流1-1、2-2过流断面渐变流黏性元流的伯努利方程（单位重量流体）单位时间流过元流1-1和2-2过流断面的流体重量单位时间的元流1-1和2-2过流断面的能量关系第二十二页，共五十八页，2022年，8月28日单位时间的总流1-1和2-2过流断面的能量关系势能积分动能积分水头损失积分积分整理得总流的伯努利方程第二十三页，共五十八页，2022年，8月28日两过流断面无分流及汇流，则Q1=Q2=Q，两边同除pgQ可得为黏性流体总流的伯努利方程总流的伯努利方程第二十四页，共五十八页，2022年，8月28日总流伯努利方程的物理意义和几何意义总流过流断面上某点（计算点）单位重量流体的位能；总流过流断面上某点（计算点）单位重量流体的压能；总流过流断面上某点单位重量流体的平均动能；总流两过流断面间单位重量流体平均的机械能失；总流过流断面上单位重量流体的平均势能；总流过流断面上单位重量流体的平均机械能；总流的伯努利方程第二十五页，共五十八页，2022年，8月28日水头线H1H2Z1Z2HPHhw总流的伯努利方程总水头线坡度第二十六页，共五十八页，2022年，8月28日总结总流伯努利方程的物理意义和几何意义元流伯努利方程的物理意义和几何意义异同点？第二十七页，共五十八页，2022年，8月28日1.

水流必须是不可压缩液体的恒定流；2.作用在液体上的质量力只有重力；3.在所选取的两个过水断面符合渐变流断面，但在所取的两个断面之间，水流可以不是渐变流。4.两段面间无分流或汇流。应用恒定总流能量方程式的条件11223300例如P84图4-16第二十八页，共五十八页，2022年，8月28日【例4-1】有一直径缓慢变化的锥形水管，1-1断面处直径d1=0.15m,中心点A的相对压强为7.2kN/m2,2-2断面处直径d2=0.3m,中心点B的相对压强为6.1kN/m2,断面平均流速v2=1.5m/s，A,B的高差为1米，试判断管中水流方向，并求1，2两断面间的水头损失。1122AB1m【解】利用连续原理求断面的平均流速。因v1A1=v2A2

所以因水管直径变化缓慢，1-1与2-2断面水流可看作渐变流，以过A点水平面为基准面计算两断面的总能量：第二十九页，共五十八页，2022年，8月28日1122AB1mv第三十页，共五十八页，2022年，8月28日基准面的选择是任意的，但在计算不同断面的位置水头z值时，必须选取同一基准面；能量方程中一项，可以是相对压强，也可以是绝对压强，但对同一问题必须采用相同的标准；在计算过水断面的测压管水头时，可以选取断面上任意点计算（？），具体选择哪一点，以计算方便为宜。例如：对管流，一般选取管轴中心点来计算，明渠一般选择自由表面上的点。不同过水断面的动能修正系数α严格讲是不相等的，实际中对渐变流，通常令α=1，特殊情况时需根据具体情况而定。应用恒定总流能量方程式时应注意几点第三十一页，共五十八页，2022年，8月28日第三十二页，共五十八页，2022年，8月28日4.5恒定总流的动量方程动量方程恒定总流的动量方程第三十三页，共五十八页，2022年，8月28日a)

取控制体（隔离体）在流场中将研究的流段隔离出来，即为控制体。它是以渐变流的过流断面和固体壁面为边界所包围的流体段，之所以取在渐变流，是因为渐变流上其过流断面平均流速和作用在断面上的压力比较好确定。b)

受力分析作用在控制体上的外力包括重力和表面力。表面力中包括两个断面上的压力,固体壁面对流体的压力(这个力往往就是所求的力)还有固壁附近的摩擦阻力（通常由于相对于作用力很小，可以忽略）。控制体内还有内力，对外而言也不予考虑。对大气压力只要暴露在大气中都会受到大气的作用因此，绝大多数都用相对压强来计算。未知力的方向可以任意假设，最后通过计算结果来判断方向，结果为正则实际方向与假设方向一致，否则相反。c)

求动量的变化动量的变化往往用投影量来进行计算，由流出控制体的动量值减去流入控制体的动量值，流速投影的正负与力的投影正负规定相同，与坐标轴的方向一致。另外，在求解过程中还会用到连续性方程和能量方程。应用动量方程的注意事项第三十四页，共五十八页，2022年，8月28日总流的连续性方程总流的能量方程总流的动能方程理解掌握牢记第三十五页，共五十八页，2022年，8月28日质量、能量和动量方程的应用实例水流对弯管的作用力2.水流对分叉管道的作用力3.水流射流对管壁的作用力第三十六页，共五十八页，2022年，8月28日【例4-2】水平放置在混凝土支座上的变直径弯管，弯管两端与等直径管相连接处的断面1-1上压力表读数p1=17.6×103Pa，管中流量qv=0.1m3/s，若直径d1=300㎜，d2=200㎜，转角Θ=600，如图所示。求水对弯管作用力F的大小。【解】水流经弯管，动量发生变化，必然产生作用力F。而F与管壁对水的反作用力R平衡。管道水平放置在xoy面上，将R分解成Rx和Ry两个分力。取管道进、出两个截面和管内壁为控制面，如图所示，坐标按图示方向设置。Rθ第三十七页，共五十八页，2022年，8月28日Rθ受力分析：沿x轴方向沿y轴方向第三十八页，共五十八页，2022年，8月28日

(m/s)(m/s)2.列管道进、出口的伯努利方程

则得：

1.根据连续性方程可求得：水平放置z1=z2=0第三十九页，共五十八页，2022年，8月28日3.所取控制体受力分析进、出口控制面上得总压力：（kN）（kN）壁面对控制体内水的反力Rx、Ry，其方向先假定如图所示。4.写出动量方程选定坐标系后，凡是作用力（包括其分力）与坐标轴方向一致的，在方程中取正值；反之，为负值。

第四十页，共五十八页，2022年，8月28日则（kN）

沿y轴方向（kN）管壁对水的反作用力

(kN)

水流对弯管的作用力F与R大小相等，方向相反。

沿x轴方向第四十一页，共五十八页，2022年，8月28日【例4-3】水平分岔管路，如图所示，干管直径d1=600mm，支管直径d2=d3=400mm,分岔角α=30°。已知分岔前断面的压力表读值pM=70kN/m2，干管流量Q=0.6m3/s，不计水头损失。试求水流对分岔管的作用力。【解】因为支管2和支管3管径相同且关于x轴对称，因此Ry=0.ox方向的动量方程112233αRx’P2P3P1yxo第四十二页，共五十八页，2022年，8月28日水流对分岔管的作用力Rx=4.72kN，方向与ox方向相同。第四十三页，共五十八页，2022年，8月28日

试求：1）沿平板的流量2）射流对平板的作用力【例4-4】水平方向的水射流，流量Q1，出口流速v1，在大气中冲击到前后斜置的光滑平板上，射流轴线与平板成θ角，不计水流在平板上的阻力。解题思路：分析题意和已知条件取控制体，如图分析受力因不计水流在平板上的阻力，可知平板对水流的作用力R`与平板垂直，设R`的方向与oy轴相同。列1-1，2-2和3-3断面的伯努利方程在大气射流中，控制面内各点的压强皆可认为等于大气压，p1＝p2＝p3=p0因为压强和位置水头都相等，所以可得：v1

＝v2＝v3第四十四页，共五十八页，2022年，8月28日列oy方向的动量方程：射流对平板的作用力R与R`方向相反、大小相等，即指向平板。

（2）求射流对平板的作用力R（1）求Q2、Q3列ox方向的动量方程，因为在x方向上的合外力为0。连续性方程：Q2+Q3=Q1联立得：θ第四十五页，共五十八页，2022年，8月28日习题1：有一沿铅垂直立墙壁敷设的弯管如图所示，弯管转角为90°，起始断面1-1与终止断面2-2间的轴线长度L为3.14m，两断面中心高差△z为2m，已知1-1断面中心处动水压强P1为117.6kN/m2，两断面之间的水头损失为hw为0.1m，已知管径d为0.2m，试求当管中流量Q为0.06m3/s时，水流对弯管的作用力。△z1122d第四十六页，共五十八页，2022年，8月28日习题2.水由水箱经一喷口无损失地水平射出，冲击在一块铅直平板上，平板封盖着另一油箱的短管出口。两个出口的中心线重合，其液位高分别为h1和h2，且h1=1.6m，

两

出

口

直

径

分

别

为d1=25mm,d2=50mm，

当

油

液

的

相

对

密

度

为0.85时，

不

使

油

液

泄

漏

的

高

度h2应是多大（平板重量不计）？第四十七页，共五十八页，2022年，8月28日能量方程在流速和流量测量中的应用1.毕托管——流速测量2.文丘里流量计第四十八页，共五十八页，2022年，8月28日1.流速测量——毕托管

φ为校正系数，测量仪器仪表一般都要定期的标定。一般在计算时可取为1。如果用毕托管测量气体的速度，属于被测介质与测量介质不同的情况。可以用下面的公式进行计算：其中：γ’为差压计所用液体的容重；γ为流动气体本身的容重。第四十九页，共五十八页，2022年，8月28日2.文丘里流量计取1-1，2-2断面，先不计水头损失，然后我们再作修正，a1=a2＝1。由连续性方程：第五十页，共五十八页，2022年，8月28日标准的文丘里流量计＝0.95～0.98。流量系数：第五十一页，共五十八页，2022年，8月28日4小结伯努利方程（能量）动量方程连续方程，伯努利方程和动量方程在实际问题求解中的应用习题：4.16，4.19第五十二页，共五十八页，2022年，8月28日