基本支撑体系数学资料竞赛指导初中数学竞赛与课外活动指导专题“黄冈赛”一等奖

归纳与猜想赛点突破在七年级分册第2章我们曾学习了观察、归纳与猜想，本章我们将进一步学习归纳与猜想在解题中的应用．一般说来，归纳是从观察开始的，正如著名数学家G·波利亚所言“先收集有关的观察材料，考查它们，加以比较，注意到一些规律性，最后把零零碎碎的细节归纳成有明显意义的整体”，波利亚比喻这与考古学家从破石碑上零零散散的文字考证出全部材料，与生物学家从几片烂碎骨头推出古代动物的整体形态的过程极相类似．归纳、猜想的思维方法对于猜测问题的结论、发现解决问题的途径具有重要的作用．它们在对付富于灵活性和创造性的奥林匹克题目中也扮演着重要角色．范例解密1．归纳法帮你猜想命题结论在解题过程中，当一般规律尚未发现之前，先观察几个实例，通过对实例的细心观察和深入分析，找出规律性的东西，建立猜想，最后证明猜想．这就是运用归纳法的三步曲：观察实例一归纳猜想一证明猜想．例1(1)如表，方程1，方程2，方程3，…是按一定规律排列的一列方程，解方程1，并将它的解填在表中的空白处：（2）若方程的解是求的值，该方程是不是(1)中所给出的一列方程中的一个方程?如果是，它是第几个方程?(3)请写出这列方程中的第个方程和它的解，并验证所写出的解适合第个方程．分析与解（1）按照解分式方程的一般步骤，解方程得，填入表格中.（2）将代入方程中，有及，解得时，方程为根据表格中所列方程可以猜想得是所列方程中的第4个方程.（3）观察上表归纳猜想所给定该列方程的第个方程应为（为正整数，且≥1），其解为把代入方程，等式成立，从而为第个方程的解.例2整数表示三角形三边的长，其中，试问当（是正整数）时，这样的三角形有几个？分析显然都是正整数，三角形各边必须满足且，先考查特例.当时，满足条件的三角形仅一个；当时，或满足条件的三角形有：1＋2=3（个）；当时，，如下表满足条件的三角形有1＋2＋3=6（个）.归纳猜想当时，满足题设条件的三角形共有：1＋2＋…＋（个）证明猜想当时，有个值，即1，2…，，对于的每一个值，比如，因为，即，所以的取值刚好有个，即，所以三角形总数如上式所示.例3一个直角三角形的三边长都是正整数，这样的直角三角形称为整数勾股形，其三边的值叫做勾股弦三数组，下面给出一些勾股弦三数组(勾，股，弦)：(3，4，5)；(5，12，13)；(7，24，25)；(8，15，17)；(20，21，29)；(360，319，481)；(2400，1679，2929)，…观察这些勾股弦三数组，请你归纳一个猜想，并加以证明．分析与解观察上述勾股弦三数组，可以归纳得出如下猜想：整数勾股形中，勾股中必有一个是3的倍数．现证明如下：勾股弦三数组是不定方程的一组正整数解．如果z、中无3的倍数，则型的数，型的数，它们的平方都是被3除余1的整数．由此可知是被3除余2的整数．但被3除余2的数一定不是完全平方数，所以与等号右边的相矛盾．因此中至少有一个是3的倍数．猜想命题“整数勾股形中，勾、股中必有一个是3的倍数”被证明为真．评注进一步还可以得到如下的猜想：“整数勾股形中，勾，股中必有一个是4的倍数”．“整数勾股形中，勾、股、弦中必有一个是5的倍数”．这两个猜想同样都是真命题，其证明留给同学们作为练习．、2．归纳法帮你猜想解题思路例4设是自然数，试求满足不等式(①)的整数解的组数．分析字母比较抽象，给解答带来了困难，为了探索解题方法，先考查取特殊值时的情形．若=1，则，即，此时只有一组解(0，0)．若=2，则，，即，，故可取值0，1，-1，取0时，可取0，1，-1，取1或-1时，都只取0，因此，解的总数是3+2×1=5，这5组解是(0，0)，(0，±1)，(±1，0)．若=3，则，，即，可取0，±1，±2，当取0时，可取0，±1；±2，取＋1或－1时，都可取0，±1；取＋2或－2时，都只可取0，于是解的总数是5＋2×3＋2×1=13．通过考查=1，2，3时的情况，启发我们从找出各组整数解人手，来解答本题，现在我们就将上面的讨论归纳为一般情况．解显然不等式①等价于不等式②由知，可取值0，±1，±2，…，±(-1)．=0时，=0，±1，±2，…，±(-1)有2-1组；=±1时，=0，±1，±2，…，±(-2)有2(2—3)组；=±2时，=0，±1，±2，…，±(-3)有2(2—5)组；……=±(-2)时，=0，±1，有2×3组；=±(-1)时，=0，有2×1组；因此，不等式①的整数解的组数有：(2-1)＋2(2－3)＋2(2－5)＋…+2×3＋2×1=(2－1)＋2[1＋3＋…＋(2－5)＋(2－3)]=(2－1)＋2(－1)2=22－2＋1．例5在平面上画个三角形，问：(1)最多能将这个平面分成多少块?(2)最多能有多少个交点(包括这些三角形的顶点在内)?解(1)=1时，2块，依次划边时增加的块数为0，0，1；如图.=2时，8块，依次划边时增加的块数为1，2，3；(如图）=3时，20块，依次划边时增加的块数为3，4，5；(如图())．=4时，38块，依次划边时增加的块数为5，6，7；(如图()．=时，依次划边时增加的块数为2-3，2-2，2-1，此时得到的总块数为：1＋1＋[3＋5＋…＋(2－3)]＋[2＋4＋…＋(2-2)]＋[1＋3＋…＋(2-1)]=(+1)＋2(—1)2．所以个三角形最多能将这个平面分成(＋1)＋2(－1)2块．(2)画一个三角形时，可得三个顶点．(如图)．画第二个三角形时，除新增加三个顶点外，三条边各增加两个交点，此时共有交点12个。(如图(d))画第三个三角形时，除新增加三个顶点外，三条边各增加4个交点，此时共有交点27个．(如图(e))．画第个三角形时，除新增加三个顶点外，三条边各增加2(-1)个交点．所以个三角形画在一起的交点个数最多有：3＋3[2＋4＋…2(－1)]=32(个)．例6一个七边形棋盘如图，7个顶点顺序从0到6编号，称为7个格子．一枚棋子放在0格，现在依逆时针方向移动这枚棋子，且每次依次移动1，2，…格.试证明：不论移动多少次，总有三个格子从不停留棋子。分析本题是要证明不论移动多少次，总有三个格子从不停留棋子，至于哪三个格子从不停留棋子，题中并未指明.这就使证明目标比较模糊，增加证明的困难.为了弄清结论的确切含义，可以根据题意逐一进行试验，发现规律，探明没有停留棋子的格子，使证明方向逐步明朗．证明设移动次数为，棋子停留的格子号码为r，先取特殊值试验：观察上表不难猜出，从不停留棋子的三个格子的号码是2，4，5．进一步观察，发现r的值是按0，1，3，6，3，1，0循环出现的。根据上面分析启发我们给出如下证法：第次移动将棋子移动了1＋2＋…＋=格，第次移动将棋子移动了1＋2＋…＋（+1）=格但是-=7＋28是7的倍数，所以与除以7后的余数相同，这说明第＋7次移动后，棋子停留的格子号码，与第秃次移动后棋子停留的格子号码是相同的(因为棋盘有七个格子)．而棋子的第1次到第6次移动已经验证，因此得出从不停留棋子的三个格子是2，4，5．3．两个著名的反例归纳与猜想对数学解题的确是一件锐利的武器，但也是一件危险的武器：所作的猜想仅仅对有限种情况进行了验证，引起我们重视这种危险性的良方妙药便是用具体的例子表明：根据有限种情况作出的猜想未必都正确，下面就是两个这样的例子．例7是否对一切自然数，数2＋＋41都是质数?解当=1，2，…，39时，2＋＋41都是质数，如果仅凭此，就下断言：“对一切，数2＋＋41都是质数”，那么便陷入了错误．事实上，当=40和41时，402＋40＋41=412，412＋41＋41=41×43都是合数.注：这个著名的例子是著名数学家欧拉发现的．例817世纪费尔玛观察如下的事实：当=0时，是个质数；当=1时，是个质数；当=2时，是个质数；当=3时，是个质数；当=4时，是个质数．由上述5个事实，费尔玛得出一个猜想：“当取非负整数时，是一个质数”，事隔100多年以后，数学家欧拉举出了反例：当=5时，＋1=4294967297=641×6700417不是质数，由此，否定了费尔的猜想．这两个例子告诉我们，由个别事实的数量特征，通过归纳得出对所有对象都成立的一般特征时，使用的是不完全归纳法，所得猜想可能正确，也可能不正确，因此，数学猜想只有经过证明才能确认为真理.本节所举例题，大多比较抽象，条件和结论之间的内在联系，一时难以发现，这些命题大都是以它的某些特殊情形为背景，通过抽象、概括得到的．因此，从具体实例考查，运用归纳的手段，容易发现它们的本来面目．如例2在考查特殊情形的过程中，发现了三角形三边长的取值规律，为原题的解答提供线索；例4考查=l，2，3时的情形，启发我们从寻求不等式的解人手，逐步完成证明．超级训练一、选择题1．有1000个数排成一行，其中任意相邻的三个数中，中间的数等于它前后两数的和．若第一个数和第二个数都是1，则这1000个数的和等于()．(A)1000(B)1(C)0(D)-12．如果数串满足那么等于()．(A)9900(B)9902(C)9904(D)101003．平面内有条直线(≥2)，这条直线两两相交，最多可以得到个交点，最少可以得到个交点，则的值是()．（A）（B）（C）（D）4.已知，，……，把化简后，等于（）.（A）（B）1-（C）（D）二、填空题：5．已知2＋4=6=2×3，2＋4＋6=12=3×4，2＋4＋6＋8=20=4×5，2＋4＋6＋8＋10=30=5×6，…根据前面各式的规律，可猜测：2＋4＋6＋8＋…＋2=__________．6．观察下列各式,,根据前面各式的规律可得_______.7.观察下图规律：从上向下数，第层（为自然数）所有圆圈内的数之和是___.8.观察下列图形和所给表格中的数据后回答问题：当梯形个数为时，这时图形的周长为_________.9.已知正数和，有下列命题：（1）；（2）；（3）根据以上三个命题所提供的规律猜想：若，则_______.10.在这95个数中，十位数字为奇数的数共有_______个.11.在直角坐标系中，第一次将变换成第二次将变换成第三次将变换成已知A（1，3），A1（2，3），A2（4，3）A3（8，3）；B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）.(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将变换成，则A4的坐标是_______，B4的坐标是_______．(2)若按第(1)小题找到的规律将进行次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测An的坐标是_______，Bn的坐标是_______.12．如图，在△ABC中，BC=，若分别是的中点，则D1E1=；若D2E2分别是D1B、E1C的中点，则；若分别是的中点，则；……若分别是的中点，则=_______（为整数）.三.解答题13.化简：1+14．(1)判断下列各式是否成立，你认为成立的请在括号内打“√”不成立的打“×”．①()②)③()④()(2)你判断完以上各题之后，发现了什么规律?请用含有n的式将规律表示出来，并注明n的取值范围．(3)请证明你所写式子的正确性．15．Forsquence2，6，12，20，30，…(a)Findthenextterm．(b)WritedownanexpressionforUn．(c)FindthevalueOfnwhenUn=4970．答案.提示：提示：,,,,由此猜想5.6.7..提示：第几层圆圈中的数为,共个.8.9.11.(16,3),(32,0)(2,3),(,0)提示：将变换成,A(1,3)变换成变换成将变换成时,变换成,变换成由此可猜测到每变换一次,实际上是顶点A的横坐标乘以2,纵坐标不变；将顶点的横坐标乘以2,纵坐标不变,从而得到新的三角形,验证：把变换成的坐标应为(8,3),的坐标应为(16,0),这恰好与已知条件相吻合,故由变换成坐标分别为(8×2,3).(16×2,0),即（2）由（1）可以猜想,将经过这种次变换得到点横坐标应为1×2点横坐标为2×2=2,从而.12.13.14.（1）全对,