2016届四川省资阳市高三上学期第一次诊断性考试数学（理）

资阳市高中2013级第一次诊断性考试数学参考答案及评分意见（理工类）一、选择题1.A2.C3.B4.D5.A6.A7.C8.C9.B10.C11.B12.D二、填空题13．–6；14．；15．10或11；16．．三、解答题17．（Ⅰ）由，得，得0<x<3， 2分由，得2<x<4， 4分所以不等式组的解集为{x|2<x<3}， 6分（Ⅱ）因为p是q的充分条件，所以2<x<3使关于x的不等式恒成立， 8分令，则有解之得a≤9，故a的取值范围是(－∞，9]. 12分18．由题：f(x)=ab====sin(2x－)． 4分(Ⅰ)由，得，其中，故单调递增区间为，其中． 6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)＝sin(2x－)，则g(x)＝2sin(2x＋)． 8分列表得x0ππ2π20－20经过描点、连线得 12分19．（I）由，可得S1＝2a1－1，即a1＝1， 1分又因为，相减得即 2分所以，故{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，以2为公比的等比数列． 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得到an＋1＝，则 5分于是bn＝=n()＝n×－n，令un＝n×， 6分则wn＝，2wn＝，相减，整理得－wn＝，于是wn＝， 10分又数列{n}的前n项和为，所以Tn=． 12分20．设销量y与销售价x的一次函数关系为y=kx＋b；弹性批发价与销量y的反比例函数关系为，由解得于是y=15－0.1x， 2分由，得a=10，于是． 4分（Ⅰ）当销售价为100元/件时，销量为15－0.1×100=5（万件），此时的批发价为30＋=32（元/件），获得的总利润为5×(100－32)=340（万元）. 6分（Ⅱ）设每一件的利润为d，则． 8分而由可得0<x<150，于是，当且仅当，即x=140时取“=”．所以当每件定价为140元时，每件的利润最大为100元． 12分21．由题意知h(x)＝lnx－ax²＋(a－1)x＋a，且x＞0，则， 2分（Ⅰ）当a＞0时，＜0，由，得0<x<1；由，得x>1，所以单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)． 4分（Ⅱ）由题知f(x)＜g(x)在x∈(0,－a)上恒成立，即h(x)=f(x)－g(x)＜0在x∈(0,－a)上恒成立．由，得，x2=1，(1)当，即a=－1时，在x∈(0，1)上恒成立，则h(x)在(0，1)上为增函数，h(x)＜h(1)=＜0，所以f(x)＜g(x)恒成立． 6分(2)当，即－1<a<0时，x(0，1)1(1，)(，＋∞)＋0－＋h(x)极大值极小值因为－a＜1，在区间(0,－a)上，h(x)＜h(－a)＜h(1)=a－1＜0． 8分(3)当，即a<－1时，x(0，)(，1)1(1，＋∞)＋0－＋h(x)极大值极小值因为－a>1，又h()=ln()－a×()²(a－1)＋a=ln()－1＋＋a=ln()＋－1＜0， 10分于是只需考虑h(－a)＜0即可，即考虑h(－a)=ln(－a)－a(－a)²＋(a－1)(－a)＋a=ln(－a)－a³－a²＋2a＜0，下面用特殊整数检验，若a=－2，则h(2)=ln2＋4－8=ln2－4＜0；若a=－3，则h(3)=ln3＋－15=ln3－=＜0；若a=－4，则h(4)=ln4＋32－24=ln4＋8＞0，而当a≤－4时，ln(－a)＞0，现说明当a≤－4时，－a³－a²＋2a＞0，令u(x)＝－x³－x²＋2x，则＝－x²－2x＋2，它在(－∞，－4]为增函数且＜0，所以u(x)在(－∞，－4]为减函数，而u(－4)＞0，则当a≤－4时，－a³－a²＋2a＞0恒成立．所以，使f(x)＜g(x)在x∈(0,－a)上恒成立的最小整数为－3． 12分22．选修4－1：几何证明选讲（Ⅰ）因为，所以即，于是，所以△QCA∽△QAB，所以∠QAB=QCA，根据弦切角定理的逆定理可得QA为⊙O的切线，证毕． 5分（Ⅱ）因为QA为⊙O的切线，所以∠PAC=∠ABC，而AC恰好为∠BAP的平分线，所以∠BAC=∠ABC，于是AC=BC=15，所以，①又由△QCA∽△QAB得，②联合①，②消掉QC，得QA=18． 10分23．选修4—4：坐标系与参数方程（Ⅰ）由题，消去直线的参数方程中的参数t得直线l的普通方程为．又由得，由得曲线的直角坐标方程为． 5分（Ⅱ）曲线：可化为，设与直线l平行的直线为，当直线l与曲线C相切时，有，即，于是当时，P为切点时，P到直线l的距离达到最大，最大值为两平行线的距离即．（或先求圆心到直线的距离为，再加上半径1，即为P到直线l距离的最大值） 10分24．选修4—5：不等式选讲（1）当时，不等式为，当x≤－2时，原不等式可化为－x－2－2x＋1≥16，解之得x≤；当－2＜x≤时，原不等式可化为x＋2－2x＋