经典高考试题分类汇编：数列

2012高考试题分类汇编：数列/(4)+/(%)+…+/(<)=14,则4+%+…+%=()

一、选择题A、0B、7C、14D、21

1.12012高考安徽文5】公比为2的等比数列｛”“｝的各项都是正数，且%%=16,则q=【答案】D.

7.【2102高考福建文11】数列｛aj的通项公式/=cos4f,其前n项和为Sn,则$2012等于

(A)1(B)2(C)4(D)8

【答案】AA.1006B.2012C.5O3D.0

2.【2012高考全国文6】已知数列｛""｝的前”项和为S“，a,=1,S,,=2q“，,则S,,=【答案】A.

(A)2"-'(B)(I)"-'(C)京，(D)白

8.【2102高考北京文6】已知为等比数列，下面结论种正确的是

【答案】B

(A)a1+a322a2(B)af+>lai(C)若a产23,则a1=a2(D)若a3>a］，则即>22

【答案】B

3.【2012高考新课标文12］数列｛6｝满足a/i+(-l)"a“=2«-1,则｛为｝的前60项和为

(A)3690(B)3660(C)1845(D)1830

9.［2102高考北京文8】某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示，从目前记

【答案】D

录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为

4.12012高考辽宁文4】在等差数列｛%｝中，已知。4+德=16,则。2+。|0=

(A)12(B)16(C)20(D)24

【答案】B

【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、同时考查运算求解能力，属于容易题。

5.12012高考湖北文7】定义在(-8,o)u(0,+8)上的函数f(x),如果对于任意给

定的等比数列｛a„｝,｛f(a“)｝仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数现有定义2J456iI910,1~~~

在(-8,o)U(0,+8)上的如下函数：①f(x)=x.:②f(x)=2X:③〃而i；④f(A)5(B)7(C)9(D)11

【答案】C

(x)=hi|x|»

则其中是“保等比数列函数”的f(X)的序号为

二、填空题

A.①②B.③④C.①③D.②④

7.【答案】C10.［2012高考重庆文11］首项为1,公比为2的等比数列的前4项和S$=

6.12012高考四川文12］设函数f(x)=(x-3);1+.r-l,数列｛”“)是公差不为0的等差数列，【答案】15

1112012高考新课标文14］等比数列｛出｝的前〃项和为S“，若S3+3S2=0,贝寸公比叩=【答案】a,=l,S„=-n2+l»

44

【答案】-217.[2012高考广东文12]若等比数列｛4｝满足a必二;，则《裙生=.

【答案】-

12.12012高考江西文13］等比数列｛aj的前n项和为Sn,公比不为1。若为=1,且对任意4

的iN.都有an+2+an+1-2an=0,则Ss=。

三、解答题

【答案】11

18.(2012高考浙江文19](本题满分14分)已知数列｛a。｝的前n项和为Sn,且Sn=2/+〃，

13.12012高考上海文7】有一列正方体，枝长组成以1为首项、1为公比的等比数列，体nGN*,数列｛%｝满足an=41og2bn+3,n£N*.

2

(1)求&nfbn；

积分别记为匕,匕,...,匕,，…,则lim(乂+匕+...+匕)=

M—»<»

(2)求数列旧・bn｝的前n项和Tn.

【答案】

7【解析】

【解析】由题意可知，该列正方体的体积构成以1为首项，,为公比的等比数列，

(1)由S=2n2+n,得

8n

当n=1时，6=£=3:

...K+匕+…+匕.•.师化+—)］.

22

1--当nN2时，an=Sn-=2n+w-^2(//-1)+(/?-1)J=4/7-1,n£N*.

8

14.［2012高考上海文14］已知/(*)=，一，各项均为正数的数列｛q｝满足q=l,由an=41og2bn+3,得以=2〃-1,nGN*.

a-2=/(«„)>若«2010=«20!2>则a”+孙的值是--------------(2)由(1)知4也=(4〃-1)-2"7,n£N*

所以北=3+7*2+1以22+...+(4〃-1).2〃-1

［答案］3+“近。

26

27；,=3X2+7X22+11X23+...+(4W-1)-2W,

n1

2Tn-Tn=(4〃-1)•2”一[3+4(2+2?+...+2')]

15.12012高考辽宁文14］已知等比数列｛«„｝为递增数列.若如>0,且2(an+a„t2)=5an+,,

则数列｛斯｝的公比q=.=(4〃-5)2"+5

【答案】2

7；=(4/7-5)2rt+5,nEN*.

16.12102高考北京文10］已知｛“｝为等差数列，S”为其前n项和，若q=；,S2=a3,则

19.12012高考江苏20](16分)已知各项均为正数的两个数列｛4｝和色)满足：

32=，Sn=o

3+2neN*,

又•・•%_］=&•%=也・2（〃wN*）,,•・｛"｝是公比是也的等比数列。

a

（1）设％=1+"，"WN*,求证：数列林］；>是等差数列；n%%

若a产友,则也>1,

于是4<4。

（2）设％=亚•盘，neN*,且｛«,｝是等比数列，求“，和&的值.q

a„

又由〃十“；得外

；・屏b2,々中至少有两项相同，与4Vz<与矛盾。Aa｛=s/20

••q=bf=\^2o

【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。

【解析】（1）根据题设（*=；产,和％

,从而证明

M2+b；

(2)V„>0,b„>0,：.^M-<„2+b„2<(a„+b)\

aan=1而得证。

,•.1川=V反（*）

%+刍（2）根据基本不等式得到1<%+小&收,用反证法证明等比教列他“｝的

后+42厨+耳2

设等比数列｛q｝的公比为q,由q>0知夕>0,下面用反证法证明q=l公比夕=1O

若夕>1,则"工应，.,•当〃>log正时，。用=%q">6,与（*）矛盾。

从而得到=q（〃e/V*）的结论，再由bn+l=\/2•bn知｛〃』是公比是的等比数列。

q-qan«1q

若0<夕<1.则q=">〃2>1，；•当〃>log,/L时，%+1=。q"<1,与（*）矛盾。

最后用反证法求出«|=b2=\f2a

20.12012高考四川文20］（本小题满分12分）

已知数列｛凡｝的前〃项和为S“，常数/1>0,且彳4%=£+5”对一切正整数〃都成立。

，综上所述，q-\<,/.an=«,(/?€N*),I<6?!<>/2o

(I)求数列s“｝的通项公式;3

an+l=an（\+50%）-d=-an-d.

(II)设4>0,2=100,当〃为何值时，数列｛lg」~｝的前〃项和最大？3

（II）由（I）得凡二;«„_1-

凡d

【解析】=（|）厂j-"

(I)收”-I.得AM/-2«1.a)(-2)=0.

2St==]（|勺-2-"）_"

着“=也划工=0.当〃时，人=.*-$.=。-0=0,所以q=0(nX]).

6«：■(),则«,=[.当”融二时.2“、二j+S«.2”…=1+5,...

两式卷次甫，、-2“一.

所以〃，-2“，：(”Z2),从而数列谆」#.3比数列.i+|+(|)2+-+(|r2].

所以ir==--2*•二；.

粽上."f"i-。时.％s0;'ria，。时=；.............................7分

t整理得。“=弓产(3000-")-2"],严-1

()1>"i%>0l!A-刖味令A=I)化A=I理=2-nlg2.

所以数列.儿：足华.调连减的写片改列;公菜为-I屋).3

=(乙尸(3000-3d)+2d.

h>h：>—>b,二k‘：!？=h：7T>,«*=。.2

2M

"1"2=7Il.).\Wb,=li；罂rIg隈<Igl=o.由题意，an=4000..*.(3000-3d)+2d=4000,

故数列｛lr,｝的前6可!的和心人............................................12分

n

解得(-)-21_X1000J000n(3eF

21.12012高考湖南文20](本小题满分13分)(|r-.3y

某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投

入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求故该企业每年上缴资金”的值为缴登©二空时，经过，"("；23)年企业的剜余资金为4

企业从第一年开始，每年年底上缴资金"万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第〃3"-2"

年年底企业上缴资金后的剩余资金为4〃万元.O00元.

(I)用"表示m,但，并写出与小的关系式；【点评】本题考查递推数列问题在实际问题中的应用，考查运算能力和使用数列知识分析

解决实际问题的能力.第一问建立数学模型，得出4川与。“的关系式j=|q-d，第二问，

(II)若公司希望经过〃7(团》3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴

资金d的值(用〃z表示).只要把第一问中的a向二；%迭代，即可以解决.

【答案】

22.[2012高考重庆文16](本小题满分13分，(I)小问6分，(II)小问7分))

【解析】(I)由题意得q=2OOO(l+5O%)-d=3OOO-d,

已知｛叫为等差数列，且q+%=&%+/=12,(I)求数列伍/的通项公式；(II)记｛6｝

3

a=^(1+50%)-d=—(1-(1,

21的前〃项和为S“，若成等比数列，求正整数攵的值。

【解析】（I）设数列｛4｝的公差为d,由题意知|2"'+2"=8解得a,=2,d=2

［2a｝+44=12

所以an=a｝+（n-］）d=2+2（n-l）=2n

（II）由（I）可得S“=（%+；"）〃=Q+7）〃=〃（i+〃）因/吗,1+2成等比数列，所以

心二。$+2从而（2幻？=2（k+2）（k+3）,即左二一52-6=0

解■得k=6或攵=一1（舍去），因此A=6o

23.12012高考陕西文16］已知等比数列｛《,｝的公比为q=

（1）若〃求数列｛”“｝的前n项和；

（II）证明：对任意雇乂，办，am，成等差数列。

【答案】

【解析】本题考查等差数列的通项，求和，分段函数的应用等：考查分类讨论的数学思想

解（I）由a,=a］=1•及qe-1•得a；=I.

以及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式为=4+（〃-1”求解；有时需要

所以数列（aj的前”1页和S.=----------p—=—产一.

-利用等差数列的定义：a„-a„x=c（c为常数）或等比数列的定义：—=<■’（''为常数，

心

（口）证明对任意A6、一

2azi—（a.+41）=2a«"—（<»,</,1+&，）=a"*<2^-q~I），

cVO）来判断该数列是等差数列或等比数列，然后再求解通项；有些数列本身不是等差数

由q=——得2q2-q—1=0,故2m-（5+<>**»）=0.

列或等比数列，但它含有无数项却是等差数列或等比数列，这时求通项或求和都需要分段

所以,对任意ASK,a..ai，ai成等处数列.

讨论.来年需注意等差数列或等比数列的简单递推或等差中项、等比中项的性质.

24.（2012高考湖北文20】（本小题满分13分）

25.12012高考天津文科18］（本题满分13分）

已知等差数列｛an｝前三项的和为・3,前三项的积为8.

已知｛错误!未找到引用源。｝是等差数列，其前"项和为错误!未找到引用源。，｛错误!未找

1.求等差数列｛aj的通项公式；

到引用源。｝是等比数列，且错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=2.错误!未找到引

（2）若22两何成等比数列，求数列错误！不能通过编辑域代码创建对象。的前n项和。

用源。.错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=10

20.【答案】

（I）求数列｛错误:未找到引用源。｝与｛错误!未找到引用源。｝的通项公式：

（H）记错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。，（11错误!未找

到引用源。，n>2）。

【答案】

解得4=1,(1=7,

‘I》解：没mr数歹,｛4.｝的公二为j.等比数句｛“｝笛公比为二八一・日

所以通项公式为ofl=7+(?i-l)-7=7n.

%=2+3J,，=2g'.，=8*6J.由翁门.。”用门>“♦>="•*；'.」'（U）由4=7"«产,得回f

8371=10・|y-2

即〃尸".

所以</.=3〃-I・2・2".”wN,.

・.・—L二J»y2iw+l

(II>证明：mt)尚“俨7

7；s2x2*Sx2:*8x2**I

・•・｛么｝是公比为49的等比数列,

27；=2x2i*5x2,*♦(.U-4)-y♦(3n-|)<2-./7(9,

m1-4948

由I-2..

27.[2012高考全国文18】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

-/,-2<2>3<2;<3M2,♦・1〃,-C”I),广

已知数列｛〃”）中，«1=1,前〃项和51=二2。〃

i~.

in7；-8=(>F»-4)X2'-'.G.”r"・u.'.，^.4..y

（II）求｛凡｝的通项公式。

ill।-3・.

【答案】

-2<2*3<2;*3x2*>・・(V»-l)，r

6*(I-2*)

-'>2-(InJ).，"X.

1-2、

|门乙-8=(M・s)d信”“r”・J.。如

所以.7,-8-«J.A.”•n€N'.n•2

26.【2012高考山东文20](本小题满分12分)

已知等差数列｛〃“｝的前5项和为105,且0=26.

(।)求数列的通项公式;

项和

(11)对任意m€N,将数列1q｝中不大于7-的项的个数记为bm.求数列上｝的前

S.

【答案】(I)由已知得：,+104=105,

14+9d=2(q+4d),

(1)由S?=:/得3(.+a,)=4d,,解得%=必=3；/'(x)>0=2左乃一：<4<2左乃+T(2wZ),

-3*

由S,=2可得3(q+%+可)=5q,解得q=+%)=6.4分f\x)v0=2左；r+当<xv2攵乃+与(AwZ),

3士

(II)由题设知得：当x=2左乃一券(ZwZ)时，f(x)取极小值，

o1-1.

当”1时有

得：xn=2n7T-mo

n+2n+1

=-^-%一(-—.(II)由(I)得：xn=2fl7T-—O

3

整理得a=-•S=x(+x?+-/+…+x”=24(1+2+3+••,+〃)--="(〃+1)》—--o

nn-1tl

于是

当〃=3k(keN")时，sinS=sin(-2^)=0,

q=l.tl

当〃=3k-l(攵wN.)时，sinS=sin—=—,

n32

当〃二3々-2(攵eN*)时，sinS=sin—=--,

n32

%=口*

得：当〃=32(AwN')时，sinS„=0,

n+1

〃(〃+1)当〃=3k-l(〃wN)时，sinS=—,

将以上〃个等式两端分别相乘，整理得5'V2

综上，｛4｝的通项公式4二:•

当〃=3k-2(%€N*)时，sin5=--o

2

28.[2012高考安徽文21](本小题满分13分)

设函数f(x)=:+sin工的所有正的极小值点从小到大排成的数列为｛工〃｝.

(I)求数列｛匕｝的通项公式;

(II)设｛1〃｝的前〃项和为S”，求sinSno

【答案】

【解析】(I)f(x)=y+sinx=>f(x)=1+cosx=0x=2k^+^-(keZ)f

【2012高考上海文23](本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小数列｛4｝为:23,4.5.!：2,14.5,2：2.3.4.53：

2.3.4.5,4：2.14.5.5……4分

题满分6分，第3小题满分8分

(2)因为，=max｛%.%,•.可｝•d*.,.a..a4.,J-

对于项数为，”的有穷数列｛a.｝,=max｛6Zpa,，…,aj(A=1,2,),即H为q.%，…,ak

所以……6分

中的最大值，并称数列也｝是｛4｝的控制数列，如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,苦为6.出

所以可.，-见=Z…，-瓦・.20,虹。..zq……8分

5,5

为m,b,"(!,......I。分

(1)若各项均为正整数的数列｛%｝的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的｛%｝(箝2.25.

*aU*-W■3,：

(2)设也｝是｛4｝的控制数列，满支a*+b…=C(C为常数，《=1,2，…,加)，求证：4=6

2

att_2«。(4女-2)+(必-2)：

?

(,k=1,2,...,，”)ou.i■。(必-1)-(4^-I)；

。八-(41)……】2分

/1\n(n+1)

设常数若二加-(-2｛｝是｛《,｝的控制数列，求

(3)"1=100,4.1)n,2匕牧人小.项福凡一：>4.

R为；<a<I.斫-也-a,...=iu-：K,8*-3><0.蕊％._?>%«_：

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