从圆到椭圆,一个不得不说的性质

从圆到椭圆，一个不得不说的性质思考：请将圆中的其它性质类比到椭圆中，进行探究．1、圆的垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦．类比：椭圆中，过中心平分椭圆弦的直线与弦所在直线的斜率之积是否为一定值？（假设它们的斜率存在）；2、圆的重要性质：圆的一条直径的两端点与圆上除这两个端点外的任一点的连线的斜率之积为定值。类比：椭圆中，过椭圆中心的一条弦的两端点与椭圆上除这两个端点外的任一点的连线的斜率之积是否为一定值？3、圆的切线定理：过切点的直径垂直于圆的切线．类比：椭圆中，椭圆上一点与中心连线的斜率与该点处切线的斜率之积是否为一定值？（假设它们的斜率存在）．命题1和2是一致的，命题3是命题1的极限状态。结论1：椭圆邑+竺=1（a〉b〉0）长轴的两个顶点与椭圆上除这两个顶点外的任一点连线a2 b2斜率之积为 .思考：能否对结论1作一般性推广？结论如何？结论2：椭圆—+二=1(a〉b〉0)上任意经过原点的弦的两个端点与椭圆上的任一点(除a2 b2这两点外)连线斜率之积为 拓展运用(江苏2011高考第18题)如图，在平面直角坐标系xOy中，MN分别是椭圆竺+止=1的顶点，过坐标原点的直42线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B.设直线PA的斜率为k.若直线PA平分线段NM时，求k的值;当k=2时，求点P到直线AB的距离d；对任意的k>0,求证：PA丄PB.你能利用我们所探究的结论来解决(3)吗？思考1：(4)如图，若D为椭圆W+22=1的右顶点，直线AD、PD交直线X=3于E,F两42点，则EF的最小值为 .你能利用我们所探究的结论来解决(4)吗？思考2：以江苏2011年高考试题第18题为例，能否对第（3）问的结论作一般性研究？即对于椭圆X2+y2=1（a〉b〉0），满足题设的PA、PB的斜率乘积是否为定值？a2b2练习：1•如图，在平面直角坐标系xOy中，F，F2分别为椭圆旦+兰=1（a〉b〉0）的左、右焦点，B，C分别为椭圆的a2b2上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一交点为D.若12cosZFBF=-7，则直线CD的斜率为；;7122525解答：由cosZFBF=7结合余弦定理，可得椭圆离心率为专,1225 5而后利用椭圆圆周角性质定理易得结果。x22.椭圆+y2=1与x轴交与A,B两点，尸是椭圆上任一点，直线PA,PB分别与直线x=¥交与M,N两点，问以MN为直径的圆是否过定点？定点为(牛,0)，(2,0)x23x23-已知椭圆T+y2=1的左顶点为AM,N两点(1)M,N两点(1)当直线AM斜率为1时，求点M的坐标(2)当直线AM斜率为k时，直线MN是否过x轴上的4-5,6-5-(M(2)由(1)知MN过定点(--,0)AM:y=k(x+2),AN:y=一 (x+2)Kfy二k(x+2)由< nx2+4k2(x+2)2二4Ix2+4y2二4(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0,.•.—2xM16k2-41+4k22-8k2x=M 1+2-8k2x=M 1+4k24ky=M1+4k2M(^一8),1+4k21+4k2同理N(2k2-8k2+44kP(-5®.kPM1+4k22-8k2 6+—1+4k2 54k2-8k2+-(1+4k2)20k16-16k25k4-4k24kk2+4 4kk2+4 —20k5k\o"CurrentDocument"k= k2+4 = •k\o"CurrentDocument"PN 2k2—8616k2—164—4k2 PM+\o"CurrentDocument"k2+4 5=kPN思考：坐标平面上有两个定点A,B和动点P,如果直线PA,PB的斜率之积为定值m，试讨论点P的轨迹.x24:已知A,B是椭圆T+y2=1上关于x轴对称的两点，P是椭圆上任一点，直线PA,PB分别与x轴交于点M(m,0),N(n,0)两点，求证：mn为定值解：设A（xi，yi）,B（xi,-yi）,P（x9,y9），M（m,0），N（n,0）x—x—n0y（y（x—x）n=x+ _1 o-9y+y10xy+yx—01y+y

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