大一学科任务高等数学1.7函数的连续性

定义.或设是自变量同一变化过程中的无穷小,P41若则称是

的等价无穷小,记作P42Th3定理2.

设且存在,则P42定理1.P42二、函数的间断点一、函数的连续性第八节函数的连续性与间断点

第一章一、函数的连续性P44则称函数(3)可见,函数在点连续必须具备下列条件:P45(2)极限存在;定义:在的某邻域内有定义,设函数且(1)在点即有定义,存在;◆连续函数在几何图象上是一条连续不断的曲线.自变量的增量函数的增量◆增量的概念P44则有xy0

一般地,证明一个函数在某个区间内连续时,宜使用等价定义式;若要证明函数在某点处连续,则宜使用原定义式.◆连续性举例1.讨论绝对值函数在x=0处的连续性.P46因为所以所以绝对值函数在x=0

处连续

以下情况注意考虑左右极限：

初等函数考虑没有意义的那些点；

分段函数考虑没有意义的和定义

域的交接点◆连续性举例P45例12.证明:余弦函数在内连续.证明所以由的任意性可知原命题成立.

一般地,证明一个函数在某个区间内连续时,宜使用等价定义式;若要证明函数在某点处连续,则宜使用原定义式.◆连续性举例3.设有函数,问为何值时,函数在点连续?解因为要使函数在点连续,则应有所以右连续◆单侧连续45xab右连续左连续连续

左连续◆初等函数的连续性P45

函数在开区间上每一点都连续，称函数在开区间内连续。

函数在开区间上每一点都连续，且在点右连续，点左连续,称为在闭区间上连续。由连续性的定义及极限的运算法则，可以得到如下结论：P50初等函数在其定义区间内都是连续的。所谓定义区间，即指包含在定义域内的区间。初等函数的极限性质P50◆函数的间断点P46xyo123412则称函数在点处不连续，点称为函数的间断点。x=0，x=1，x=2若函数在

的去心邻域内有定义，且有下列三种情形之一：若函数在

的去心邻域内有定义，且有下列三种情形之一：间断点分类:P46第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点

.为跳跃间断点

.为无穷间断点

.P47E6为振荡间断点

.P47E7

可去间断点(1)——第一类P46点x=1

是函数f(x)的可去间断点

可通过改变函数f(x)在x=1

处的定义，令f(x)=1，则f(x)在x=1成为连续。xyo11/21◆第一类间断点在x=1连续函数若

可去间断点(2)——第一类P46◆第一类间断点例如但不存在点称为函数的可去间断点。可通过补充函数在处的定义，令，则函数在处连续。即函数在点连续1若

跳跃间断点——第一类P46yxo点

x=0是函数f(x)的跳跃间断点。◆第一类间断点◆第二类间断点

无穷间断点——第二类P47比如

以下情况注意考虑左右极限：

初等函数考虑没有意义的那些点；

分段函数考虑没有意义的和定义域的交接点

振荡间断点——第二类P47

点

x=0是函数f(x)的

振荡间断点。◆第二类间断点1-1解这是一个初等函数，其定义域为找出函数的间断点，并判别其类型。例

所以，x=1是函数的第一类的可去间断点；而不存在且x=2是函数的第二类的无穷间断点。间断点总结：

初等函数考虑没有意义的那些点；

分段函数考虑没有意义的和定义域的交接点例题设

求函数的间断点，并判别其类型。解由的定义可知，函数在内连续而所以，x=1是函数的第二类间断点(无穷间断点)，间断点总结：

初等函数考虑没有意义的那些点；

分段函数考虑没有意义的和定义域的交接点x=0是函数的第一类间断点(跳跃间断点)。求的值，使函数在点处连续。练习解由连续性的定义可知，要使函数在x=0

点连续，则应有而内容小结左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式一、连续函数的运算法则第九节二、初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性

第一章定理2.

连续严格单调递增函数的反函数在其定义域内连续一、连续函数的运算法则P48定理1.

在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,商(分母不为0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.例如,例如,在上连续严格单调递增，其反函数(递减).在[－1,1]上也连续严格单调递增.递增(递减)也连续严格单调定理3.

连续函数的复合函数是连续的.P49在上连续严格单调递增,其反函数在上也连续严格单调递增.又如,

由连续性的定义及极限的运算法则，可得如下结论：初等函数在其定义区间内都是连续的。P50所谓定义区间，即指包含在定义域内的区间。