差分方程课件

差分方程课件第一页，共四十页，2022年，8月28日第一节差分方程基本知识1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。第二页，共四十页，2022年，8月28日引例1：Fibonacci（斐波那契）数列问题13世纪意大利著名数学家Fibonacci在他的著作《算盘书》中记载着这样一个有趣的问题：一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔，成兔再经过一个月后可以繁殖出一对幼兔.若不计兔子的死亡数，问一年之后共有多少对兔子？月份01234567…幼兔10112358…成兔011235813…总数1123581321…第三页，共四十页，2022年，8月28日第四页，共四十页，2022年，8月28日将兔群总数记为fn,n=0,1,2,…，经过观察可以发现，数列{fn}满足下列递推关系：f0=f1=1,fn+2=fn+1+fn,n=0,1,2,…这个数列称为Fibonacci数列.Fibonacci数列是一个十分有趣的数列，在自然科学和数学领域中都有着广泛的应用.Fibonacci数列的一些实例.1.蜜蜂的家谱2.钢琴音阶的排列3.树的分枝4.杨辉三角形第五页，共四十页，2022年，8月28日引例2：日常的经济问题中的差分方程模型1）.银行存款与利率假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利率为7%.用an表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列就是你每年的存款额：a0,a1,a2,a3,…,an,…设r为年利率，由于an+1=an+ran,因此存款问题的数学模型是：a0=1000,an+1=(1+r)an,n=1,2,3,…第六页，共四十页，2022年，8月28日2）.家庭教育基金从1994年开始，我国逐步实行了大学收费制度.为了保障子女将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向银行存入x元作为家庭教育基金.若银行的年利率为r，试写出第n年后教育基金总额的表达式.预计当子女18岁入大学时所需的费用为100000元，按年利率3%计算，小张夫妇每年应向银行存入多少元?设n年后教育基金总额为an，每年向银行存入x元，依据复利率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为：a0=x,an+1=(1+r)an+x,n=0,1,2,3,…第七页，共四十页，2022年，8月28日3）.抵押贷款小李夫妇要购买二居室住房一套，共需30万元.他们已经筹集10万元，另外20万元申请抵押贷款.若贷款月利率为0.6%，还贷期限为20年，问小李夫妇每月要还多少钱？设贷款额为a0，每月还贷额为x，月利率为r，第n个月后的欠款额为an，则a0=200000,a1=(1+r)a0-x,a2=(1+r)a1-x,……an=(1+r)an-1-x,n=1,2,3,…第八页，共四十页，2022年，8月28日二.差分的概念与性质一般地，在连续变化的时间的范围内，变量关于时间的变化率是用来刻画的；对离散型的变量我们常用在规定时间区间上的差商来刻画变量的变化率.如果取，则可以近似表示变量的变化率.由此我们给出差分的定义.第九页，共四十页，2022年，8月28日定义1设函数，称改变量为函数的差分，也称为函数的一阶差分，记为，即或一阶差分的差分称为二阶差分，即类似地可定义三阶差分，四阶差分，等等.第十页，共四十页，2022年，8月28日一般地，函数的阶差分的差分称为阶差分，记为，即二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分.第十一页，共四十页，2022年，8月28日例1设，求，，解第十二页，共四十页，2022年，8月28日例2设求解设，则.第十三页，共四十页，2022年，8月28日差分满足以下性质：（2）（3）（4）（1）第十四页，共四十页，2022年，8月28日例3求解由差分的运算性质，有.的差分.第十五页，共四十页，2022年，8月28日1差分方程的概念定义2含有未知函数的差分的方程称为差分方程.或差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶差分方程的一般形式：第十六页，共四十页，2022年，8月28日定义3满足差分方程的函数称为该差分方程的解.例如，对于差分方程，将代入方程有故是该方程的解，易见对任意的常数都是差分方程的解.如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数，则称这个解是差分方程的通解.第十七页，共四十页，2022年，8月28日定义4若差分方程中所含未知函数及未知函数的各阶差分均为一次，则称该差分方程为线性差分方程.其一般形式为

其特点是都是一次的.第十八页，共四十页，2022年，8月28日三.一阶常系数线性差分方程一阶常系数差分方程的一般方程形式为其中为非零常数，为已知函数.如果则方程变为称为一阶常系数线性齐次差分方程，相应地，时方程一阶常系数线性非齐次差分方程.第十九页，共四十页，2022年，8月28日1．一阶常系数线性齐次差分方程的通解已知，将代入方程中，得则为方程的解.容易验证，对任意常数都是方程的解，故方程的通解为一阶常系数线性齐次差分方程的通解可用迭代法求得.设第二十页，共四十页，2022年，8月28日例4求差分方程的通解.解利用公式得，题设方程的通解为第二十一页，共四十页，2022年，8月28日2．一阶常系数线性非齐次差分方程的通解为齐次方程的通解，为非齐次方程的一个为非齐次方程的通解.，及将这两式相加得，即为非齐次方程的通解.定理设特解，则证明由题设，有第二十二页，共四十页，2022年，8月28日（1）为非零常数，由，可按如下迭代法求得特解给定第二十三页，共四十页，2022年，8月28日齐次方程的通解为于是方程通解为

时，当其中，为任意常数，且当时，为任意常数第二十四页，共四十页，2022年，8月28日例5求差分方程的通解.，故原方程的通解为解由于第二十五页，共四十页，2022年，8月28日（2）（为非零常数且）.时，设为非齐次方程的特解，其中为待定系数.将其代入方程,得解得，于是，所求特解为所以时，方程的通解为当第二十六页，共四十页，2022年，8月28日当时，设为方程的特解，代入方程得所以，当时，方程的通解为

第二十七页，共四十页，2022年，8月28日例7求差分方程在初始条件时的特解.利用公式，所求通解为将初始条件代入上式，得故所求题设方程的特解为解这里第二十八页，共四十页，2022年，8月28日则被称为n阶齐次线性差分方程。若所有的ai(t)均为与t无关的常数，则称其为常系数差分方程，即n阶常系数线性差分方程可分成（7.1）

的形式，其对应的齐次方程为（7.2）

容易证明，若序列与均为方程（7.2）的解，则也是方程（7.2）的解，其中c1、c2为任意常数，这说明，齐次方程的解构成一个线性空间（解空间）。

此规律对于（7.1）也成立。第二十九页，共四十页，2022年，8月28日方程（7.1）可用如下的代数方法求其通解：（步一）先求解对应的特征方程

（7.3）

（步二）根据特征根的不同情况，求齐次方程(7.2）的通解

情况1若特征方程（7.3）有n个互不相同的实根,…,，则齐次方程（7.2）的通解为(C1,…,Cn为任意常数)，情况2若λ

是特征方程（7.3）的k重根，通解中对应于λ的项为为任意常数，i=1,…,k。情况3若特征方程（7.3）有单重复根通解中对应它们的项为为λ的模，为λ的幅角。

第三十页，共四十页，2022年，8月28日情况4若为特征方程（7.3）的k重复根，则通解对应于它们的项为为任意常数，i=1,…,2k。

.若yt为方程(7.2)的通解,则非齐次方程(7.1)的通解为（步三）求非齐次方程(7.1)的一个特解

求非齐次方程（7.1）的特解一般要用到常数变易法，计算较繁。对特殊形式的b(t)也可使用待定系数法。第三十一页，共四十页，2022年，8月28日第三十二页，共四十页，2022年，8月28日第三十三页，共四十页，2022年，8月28日6.6

按年龄分组的人口模型

不同年龄组的繁殖率和死亡率不同.建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律.假设与建模

种群按年龄大小等分为n个年龄组，记i=1,2,…,n

时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,…

以雌性个体数量为对象.

第i年龄组1雌性个体在1时段内的繁殖率为bi

第i年龄组在1时段内的死亡率为di,存活率为si=1-di第三十四页，共四十页，2022年，8月28日假设与建模xi(k)~时段k第i年龄组的种群数量~按年龄组的分布向量预测任意时段种群按年龄组的分布~Leslie矩阵(L矩阵)(设至少1个bi>0)第三十五页，共四十页，2022年，8月28日稳定状态分析的数学知识

L矩阵存在正单特征根1，

若L矩阵存在bi,bi+1>0,则P的第1列是x*特征向量,c是由bi,si,x(0)决定的常数