新函数的零点与方程的解课件

激趣诱思知识点拨请观察右图,这是气象局测得某地特殊一天的一张气温变化模拟函数图(即一个连续不间断的函数图象),由于图象中有一段被墨水污染了,现在有人想了解一下当天7时到11时之间有无可能出现温度是0摄氏度,你能帮助他吗?激趣诱思知识点拨一、函数的零点1.代数定义:使得f(x0)=0的

称为方程f(x)=0的解,也称为函数f(x)的零点.

2.几何定义:f(x)的零点就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的

.

数x0横坐标

名师点析1.函数的零点是一个实数,而不是一个点.例如,函数f(x)=x+1的零点是-1,而不是(-1,0).2.并不是所有的函数都有零点,如f(x)=1,f(x)=x2+1就没有零点.3.假设函数有零点,那么零点一定在函数的定义域内.4.函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的解,也就是函数y1=f(x)与y2=g(x)的图象交点的横坐标.激趣诱思知识点拨微练习函数f(x)=x2-1的零点是(

)A.(±1,0)

B.(1,0)C.0 D.±1答案:D

解析:解方程f(x)=x2-1=0,得x=±1,因此函数f(x)=x2-1的零点是±1.激趣诱思知识点拨二、零点存在定理假设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且在区间端点的函数值一正一负,即f(a)·f(b)<0,那么在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点.即在区间(a,b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解.激趣诱思知识点拨名师点析1.定理要求具备两个条件:(1)函数在区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线;(2)f(a)·f(b)<0.这两个条件缺一不可.2.利用函数零点存在定理只能判断出零点是否存在,而不能确定零点的个数.3.假设函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上是一条连续的曲线,那么由f(a)·f(b)<0可以推出函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点,但是由函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点不一定能推出f(a)·f(b)<0.如f(x)=x2在(-1,1)内存在零点,但f(-1)·f(1)>0.4.如果单调函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有唯一的零点,即存在唯一的x0∈(a,b),使得f(x0)=0,这个x0也就是方程f(x)=0的解.激趣诱思知识点拨微练习1函数y=f(x)的图象是在闭区间[a,b]上的一条连续不断的曲线.假设f(a)·f(b)>0,那么f(x)在区间(a,b)内没有零点.()微练习2函数f(x)=x3+2x+1的零点一定位于以下哪个区间上()A.[-2,-1]B.[-1,0]C.[0,1] D.[1,2]答案:×答案:B

解析:因为f(-2)=-11<0,f(-1)=-2<0,f(0)=1>0,f(1)=4>0,f(2)=13>0,所以f(-1)·f(0)<0.所以f(x)的零点在区间[-1,0]上.探究一探究二探究三素养形成当堂检测求函数的零点例1判断以下函数是否存在零点,如果存在,请求出零点.(1)f(x)=-8x2+7x+1;(2)f(x)=1+log3x;(3)f(x)=4x-16.分析可通过解方程f(x)=0求得函数的零点.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟因为函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的解,也是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,所以求函数的零点通常有两种方法:一是代数法,令f(x)=0,通过求方程f(x)=0的解求得函数的零点;二是几何法,画出函数y=f(x)的图象,图象与x轴交点的横坐标即函数的零点.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数y=logn(mx+1)的零点.解:由题意知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点为1和2,那么1和2是方程x2+3(m+1)x+n=0的解.所以函数y=logn(mx+1)的解析式为y=log2(-2x+1).令log2(-2x+1)=0,得x=0.所以函数y=log2(-2x+1)的零点为0.探究一探究二探究三素养形成当堂检测函数零点个数的判断例2判断以下函数零点的个数:(1)f(x)=(x2-4)log2x;(3)f(x)=2x+lg(x+1)-2.探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:(1)令f(x)=0,得(x2-4)log2x=0,因此x2-4=0或log2x=0,解得x=±2或x=1.又因为函数定义域为(0,+∞),所以x=-2不是函数的零点,故函数有2和1两个零点.画出函数g(x)和h(x)的图象如下图.由图象可知,两个函数图象只有一个交点,故函数只有一个零点.探究一探究二探究三素养形成当堂检测(3)(方法一)∵f(0)=1+0-2=-1<0,f(2)=4+lg3-2=2+lg3>0,∴f(x)=0在(0,2)上必定存在实根.又f(x)=2x+lg(x+1)-2在区间(-1,+∞)上为增函数,故f(x)有且只有一个零点.(方法二)令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1),在同一平面直角坐标系中作出h(x)与g(x)的图象,如下图.由图象知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x的图象有且只有一个公共点,即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟判断函数零点个数的常用方法1.解方程f(x)=0,方程f(x)=0解的个数就是函数f(x)零点的个数.2.直接作出函数f(x)的图象,图象与x轴交点的个数就是函数f(x)零点的个数.3.f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐标系中作出y1=g(x)和y2=h(x)的图象,那么两个图象交点的个数就是函数y=f(x)零点的个数.4.假设证明一个函数的零点唯一,也可先由零点存在定理判断出函数有零点,再证明该函数在定义域内单调.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2(1)假设abc≠0,且b2=ac,那么函数f(x)=ax2+bx+c的零点的个数是()或2答案:A

解析:∵b2=ac,∴方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac=b2-4b2=-3b2.∵abc≠0,∴b≠0.因此Δ<0.故函数f(x)=ax2+bx+c的零点个数为0.探究一探究二探究三素养形成当堂检测(2)判断函数f(x)=x-3+lnx的零点个数.解:(方法一)令f(x)=x-3+lnx=0,那么lnx=3-x.在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=lnx与y=-x+3的图象,如下图.由图可知函数y=lnx与y=-x+3的图象只有一个公共点,即函数f(x)=x-3+lnx只有一个零点.(方法二)因为f(3)=ln3>0,所以f(3)·f(2)<0,说明函数f(x)=x-3+ln

x在区间(2,3)内有零点.又f(x)=x-3+ln

x在区间(0,+∞)上是增函数,所以原函数只有一个零点.探究一探究二探究三素养形成当堂检测零点个数求参数的取值范围A.(1,2] B.[1,+∞)C.[1,2) D.[1,2]答案:B探究一探究二探究三素养形成当堂检测例4a是实数,函数f(x)=2|x-1|+x-a,假设函数y=f(x)有且仅有两个零点,那么实数a的取值范围是.

分析把函数f(x)的两个零点问题转化为函数y=2|x-1|+x与y=a的图象有且仅有两个交点的问题,画出两个函数的图象,然后利用数形结合思想求出参数a的范围.探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:(1,+∞)解析:函数f(x)=2|x-1|+x-a有且仅有两个零点,即函数y=2|x-1|+x与y=a的图象有且仅有两个交点.分别作出函数y=2|x-1|+x与y=a的图象,如下图.由图易知,当a>1时,两函数的图象有且仅有两个不同的交点,故实数a的取值范围是(1,+∞).探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟函数有零点(方程有根)求参数的方法1.直接法:根据题设条件构建关于参数的不等式(组),通过解不等式(组)确定参数的取值范围.2.数列结合法:先对f(x)的解析式变形,将f(x)=0转化为h(x)=g(x)(h(x),g(x)的图象易画出),在同一平面直角坐标系中画出函数h(x),g(x)的图象,然后利用数形结合思想求解.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练3(2021福建厦门双十中学高一检测)函数f(x)=3ax-1-2a在区间(-1,1)上存在零点,那么()答案:C

解析:∵f(x)=3ax-1-2a在(-1,1)上单调,且存在零点,∴f(-1)·f(1)<0,即(-3a-1-2a)·(3a-1-2a)=(-5a-1)·(a-1)<0,∴a>1探究一探究二探究三素养形成当堂检测二次函数的零点综合问题典例二次函数f(x)=x2-(k-2)x+k2+3k+5.(1)当函数f(x)有两个不同零点时,求k的取值范围;(2)假设-1和-3是函数的两个零点,求k的值;(3)假设函数的两个不同零点是α,β,求α2+β2关于k的关系式h(k).分析此题考查对二次函数零点的理解及零点的性质.此题中的函数f(x)是二次函数,因此其零点的判断和零点的性质问题可以转化为二次方程解的判断或解的性质.探究一探究二探究三素养形成当堂检测标准解答(1)令f(x)=0,得x2-(k-2)x+k2+3k+5=0.由Δ=(k-2)2-4(k2+3k+5)=-3k2-16k-16>0,知3k2+16k+16<0,即(3k+4)(k+4)<0,(2)∵-1和-3是函数f(x)的两个零点,∴-1和-3是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两个解.探究一探究二探究三素养形成当堂检测(3)∵α,β是函数f(x)的两个不同零点,∴α,β是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两个实数根,∴α+β=k-2,αβ=k2+3k+5.∴α2+β2=(α+β)2-2αβ=(k-2)2-2(k2+3k+5)=-k2-10k-6.规律总结1.假设二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个解是x1,x2,2.此题中如果无视Δ,将会影响α2+β2的范围而导致出错.探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.如以下图四个函数图象,在区间(-∞,0)内存在零点的函数是()答案:B

解析:只有选项B中的函数图象与x轴的负半轴有交点.探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.函数f(x)=log5(x-1)的零点是()A.0 B.1 C.2 3.假设x0是方程lnx+x=4的解,那么x0所在的区间是()A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)答案:C解析:令log5(x-1)=0,解得x=2,所以函数f(x)=log5(x-1)的零点是2,应选C.答案:C解析:设f(x)=lnx+x-4,那么f(1)=-3<0,f(2)=ln2-2<0,f(3)=ln3-1>0,f(4)=ln4>0,那么x0∈(2,3).探究一探究二探究三素养形成当堂检测4.函数y=ax2-x-1只有一个零点,那么实数a的值为.

解析:当a=0时,函数为y=-x-1,显然该函数的图象与x轴只有一个公共点,即函数只有一个零点.当a