第一章矩阵的运算与初等变换演示文稿

第一章矩阵的运算与初等变换演示文稿当前1页，总共106页。（优选）第一章矩阵的运算与初等变换.当前2页，总共106页。第一章矩阵的运算与初等变换

本章教学内容§1

矩阵与向量的概念§2矩阵的运算§3分块矩阵及矩阵的分块运算§4几种特殊的矩阵§5矩阵的初等变换当前3页，总共106页。第一章矩阵的运算与初等变换矩阵是代数学中最重要的基本概念之一，是代数学研究的主要对象，也是数学许多分支研究及应用的重要工具，它贯穿于线性代数的各个部分。在很多领域中的一些数量关系都可以用矩阵来描述。

本章主要介绍矩阵的概念、性质和运算。并把向量视为特殊的矩阵，自然地引进向量的概念及其线性运算。还将介绍矩阵的初等变换及分块矩阵等相关知识，为今后的学习相关知识打下扎实的理论基础。当前4页，总共106页。§1

矩阵与向量的概念

本节教学内容1.矩阵的概念2.同型矩阵与矩阵相等的概念3.几种特殊的矩阵4.

矩阵的应用5.向量的概念当前5页，总共106页。§1

矩阵与向量的概念1.矩阵的概念考察线性方程组隐去未知量和等号，分离出各未知量的系数，得一般地，我们有如下的定义称为矩阵当前6页，总共106页。§1

矩阵与向量的概念定义1.1由m×n个数排成m个行n个列的数表叫做m行n列的矩阵，或称m×n矩阵.通常用大写字母A或Am×n表示法.有时也记为

是第i行第j列元素，简称(i,j)元当前7页，总共106页。§1

矩阵与向量的概念元素是实数的矩阵称为实矩阵元素是复数的矩阵称为复矩阵例如是一个2×4实矩阵，是一个3×3复矩阵，当前8页，总共106页。§1

矩阵与向量的概念2.同型矩阵与矩阵相等的定义⑴两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.例如⑵两个矩阵A=(aij)与B=(bij)

为同型矩阵,并且对应元素相等,即则称矩阵A与B相等,记作A=B.为同型矩阵.当前9页，总共106页。§1

矩阵与向量的概念3.几种特殊的矩阵㈠只与0有关的：元素全为零的矩阵称为零矩阵，m×n零矩阵记作O或Om×n注意不同型的零矩阵是不相等的.例如当前10页，总共106页。§1

矩阵与向量的概念㈡只与行列相关的:⑴

1×n矩阵也称行矩阵，或称n维行向量，ai也称为第i个分量.注意分量间用逗号分开。⑵m×1矩阵也称列矩阵，或称m维列向量，ai也称为第i个分量.当前11页，总共106页。§1

矩阵与向量的概念⑶n×n矩阵也称n阶方阵(或n级方阵)，An×n表可简记为An；其中aii称为主对角线元素；而aij(i+j=n+1)称为副对角线元素.主对角线副对角线当前12页，总共106页。§1

矩阵与向量的概念例主对角线元素均为1，其它元素均为0的n阶方阵称n阶单位矩阵，记为En或E.当前13页，总共106页。§1

矩阵与向量的概念4.矩阵的应用例1某公司对四名应聘人员进行三项素质考评的百分制成绩可用矩阵表示，其中aij为第i名应聘者的第j种素质考评的成绩。当前14页，总共106页。§1

矩阵与向量的概念例2

公司中甲、乙两类岗位对三项素质要求的权重系数也可用矩阵表示，其中bij为第j类岗位对第i种素质要求的权重系数。注：这里当前15页，总共106页。§1

矩阵与向量的概念例3第i村到第j村有aij条道路相通，四个村的通路信息可用矩阵表示。注：这里aii=0，即同一个村不考虑相通的道路。当前16页，总共106页。§1

矩阵与向量的概念5.向量的概念定义1.2

1×n矩阵称n维行向量，n×1矩阵称n维列向量，

n维行向量与n维列向量统称n维向量，简称向量。

向量常用黑体字母,,,…或x,y,z,…表示（或加箭头）。两向量相等当且仅当维数相同且对应的分量相等.分量全为零的向量称零向量，记为0.当前17页，总共106页。§1矩阵与向量的概念n个n维列向量称为n维基本列向量。n个n维行向量称为n维基本行向量。当前18页，总共106页。§1

矩阵与向量的概念本节学习要求熟悉矩阵、同型矩阵、矩阵相等、列矩阵、行矩阵、方阵、单位方阵与向量的概念，懂得矩阵的应用。作业：习题1.1(A)第2题当前19页，总共106页。§2矩阵的运算

本节教学内容1.矩阵加、减法2.数乘矩阵3.矩阵乘法4.方阵的幂5.矩阵的转置当前20页，总共106页。§2矩阵的运算1.矩阵加、减法定义2.1两个m×n矩阵A=(aij),B=(bij)的和记为A+B，规定注：只有同型矩阵才能相加.当前21页，总共106页。§2矩阵的运算定义m×n矩阵-A=(-aij)称为矩阵A=(aij)的负矩阵.两个m×n矩阵A=(aij),B=(bij)的差记为A-B，规定A-B=A+(-B)，即注：只有同型矩阵才能相减.当前22页，总共106页。§2矩阵的运算运算规律

设矩阵A,B,C均为m×n矩阵，O为m×n零矩阵,则⑴

A+(-A)=O；⑵A+O=A；⑶A+B=B+A；⑷(A+B)+C=A+(B+C).当前23页，总共106页。§2矩阵的运算例1

设矩阵且A+B=C，求x,y.解

由A+B=C，得当前24页，总共106页。§2矩阵的运算2.数乘矩阵定义2.2数与m×n矩阵A=(aij)的乘积记为A或A，规定当前25页，总共106页。§2矩阵的运算运算规律

设矩阵A,B均为个m×n矩阵，,为数，则⑴

(A)=()A；⑵

(+)A=A+A；⑶

(A+B)=A+B；⑷(-1)A=-A.通常把矩阵的加法运算和数乘运算统称矩阵的线性运算。当前26页，总共106页。§2矩阵的运算例2

设矩阵求3A-2B.解

当前27页，总共106页。§2矩阵的运算3.矩阵乘法定义2.3矩阵A=(aij)m×s,B=(bij)s×n的乘积记为AB，规定AB=(cij)m×n，其中

i=1,2,…m，j=1,2,…,n.注：只有A的列数与B的行数相同,AB才有定义.当前28页，总共106页。例3

设矩阵求AB.解

3×2§2矩阵的运算3×33×2当前29页，总共106页。§2矩阵的运算例4

设矩阵求AB及BA.解注：一般的⑴A≠O且B≠O≠AB≠O；⑵AB=O

≠A=O或B=O

；

⑶AB≠BA.2×22×22×2当前30页，总共106页。§2矩阵的运算性质⑴设A=(aij)m×n，fi为第i个分量为1的m维基本行向量，则当前31页，总共106页。§2矩阵的运算(2)设A=(aij)m×n，ej为第j个分量为1的n维基本列向量，则当前32页，总共106页。§2矩阵的运算可见当

A=(aij)m×n，则EmA=AEn=A.当前33页，总共106页。§2矩阵的运算运算规律

(1)设A=(aij)m×s，B=(bij)s×k，C=(Cij)k×n，则A(BC)=(AB)C

；(2)设A=(aij)m×s，B=(bij)s×n，

数,则(AB)=(A)B=A(B)

；(3)设A=(aij)m×s，B=(bij)s×n，C=(Cij)s×n，则A(B+C)=AB+AC

;(4)设A=(aij)s×n，B=(bij)m×s，C=(Cij)m×s，则(B+C)A=BA+CA

;当前34页，总共106页。§2矩阵的运算4.方阵的幂定义若AB=BA，则称A,B是可换的.注：若A,B是可换的，则A,B是同阶方阵，反之不一定成立。定义

方阵A的幂：Ak=AA…A,A0=E，运算规律：设A为方阵，k,l为自然数，则⑴AkAl

=Ak+l，

(Ak)l

=Akl；⑵一般地，(AB)k

≠AkBk，但若A,B是可换的，则

(AB)k

=AkBk.k个当前35页，总共106页。§2矩阵的运算例5

设A=，求An.分析

当前36页，总共106页。§2矩阵的运算解

An=()()

…()=()()…()=(3)n-1

n个n-1个当前37页，总共106页。§2矩阵的运算注意一阶方阵与向量的乘法

当前38页，总共106页。§2矩阵的运算定义设A为方阵规定称为A的矩阵多项式。

当前39页，总共106页。§2矩阵的运算例6设求f(A).解

当前40页，总共106页。§2矩阵的运算

.当前41页，总共106页。§2矩阵的运算5.矩阵的转置定义2.4矩阵A的转置矩阵记为AT，规定当前42页，总共106页。§2矩阵的运算运算规律⑴(AT)T=A；⑵(A+B)T=AT+BT；⑶

(A)T=AT；⑷(AB)T=BTAT，(注意≠ATBT)当前43页，总共106页。§2矩阵的运算例7

设求(AB)T.解

当前44页，总共106页。§2矩阵的运算例7

设求(AB)T.又解

当前45页，总共106页。§2矩阵的运算本节学习要求熟练掌握矩阵的加法、减法、数乘、矩阵乘法和矩阵的转置运算；熟悉各种运算的性质；会求方阵的幂。作业：习题1.2(A)第1(2)(5),2,3题当前46页，总共106页。§3分块矩阵及矩阵的分块运算

本节教学内容1.分块矩阵的概念2.矩阵的分块加法运算3.矩阵的分块数乘运算4.矩阵的分块乘法运算5.分块矩阵的转置当前47页，总共106页。§3分块矩阵及矩阵的分块运算1.分块矩阵的概念把一个阶数较高的矩阵，用若干条横线和竖线分开成若干小块，每一小块都叫做矩阵的子块，以子块为元素的矩阵称为分块矩阵。例子块当前48页，总共106页。§3分块矩阵及矩阵的分块运算一个矩阵,根据需要有不同的分块法例注：一行的分块矩阵，各子块间用逗号分开。当前49页，总共106页。§3分块矩阵及矩阵的分块运算2.矩阵的分块加法运算例记当前50页，总共106页。§3分块矩阵及矩阵的分块运算若两个矩阵A，B同型且有相同的分块法，当前51页，总共106页。§3分块矩阵及矩阵的分块运算3.矩阵的分块数乘运算例可见当前52页，总共106页。§3分块矩阵及矩阵的分块运算数与分块矩阵的乘积当前53页，总共106页。§3分块矩阵及矩阵的分块运算4.矩阵的分块乘法运算设矩阵A=(Aij)m×s,B=(Bij)s×n，Aik的列数等于Bkj的行数(k=1,2,…,s)，则AB=(Cij)m×n，其中

i=1,2,…m，j=1,2,…,n.例1设求AB.当前54页，总共106页。§3分块矩阵及矩阵的分块运算解设则当前55页，总共106页。§3分块矩阵及矩阵的分块运算而于是当前56页，总共106页。§3分块矩阵及矩阵的分块运算如果直接计算，有两种计算结果一样。当前57页，总共106页。§3分块矩阵及矩阵的分块运算5.分块矩阵的转置可见当前58页，总共106页。§3分块矩阵及矩阵的分块运算分块矩阵的各种运算的结果与不分块的矩阵的各种运算的结果一致，两种运算有相同的运算性质。当前59页，总共106页。§3分块矩阵及矩阵的分块运算本节学习要求理解分块矩阵的概念，了解分块矩阵的加法、数乘分块矩阵、分块矩阵乘法和分块矩阵的转置运算。作业：习题1.3(A)第2题当前60页，总共106页。§4

几种特殊的矩阵

本节教学内容1.对角矩阵2.标量矩阵3.上三角形矩阵4.下三角形矩阵5.对称矩阵6.反称矩阵7.分块对角矩阵当前61页，总共106页。§4

几种特殊的矩阵1.对角矩阵主对角线元素外，其它元素均为0的方阵称对角矩阵，简记为A=diag(1,2,…,n).下面来讨论对角矩阵的性质OO当前62页，总共106页。§4

几种特殊的矩阵设则性质⑴任两个对角矩阵的和也是对角矩阵.当前63页，总共106页。§4

几种特殊的矩阵设则性质⑵数乘对角矩阵也是对角矩阵.当前64页，总共106页。§4

几种特殊的矩阵设则性质⑶任两个对角矩阵的积也是对角矩阵.当前65页，总共106页。§4

几种特殊的矩阵设则性质⑷对角矩阵幂也是对角矩阵.当前66页，总共106页。§4

几种特殊的矩阵设则性质⑸对角矩阵的转置矩阵是自身,即对角矩阵.当前67页，总共106页。§4

几种特殊的矩阵定义

设S是一个集合，若S中的元素经某种运算，结果仍然是S的元素，则称S对这种运算封闭。由上述对角矩阵的性质知⑴对角矩阵对矩阵的加法与数乘运算封闭，即对角矩阵对矩阵的线性运算封闭。⑵对角矩阵对矩阵的减法运算封闭。⑶对角矩阵对矩阵的乘法运算封闭。⑷对角矩阵对矩阵的幂运算封闭。注：⑴⑵，⑶⑷.当前68页，总共106页。§4

几种特殊的矩阵2.标量矩阵（数量矩阵）主对角线元素为数a的对角矩阵称标量矩阵，简记为A=aE.性质标量矩阵对矩阵的线性运算，乘法运算封闭；标量矩阵的转置矩阵是自身。当前69页，总共106页。§4

几种特殊的矩阵3.上三角形矩阵主对角线下方元素均为0的方阵称上三角形矩阵。性质上三角形矩阵对矩阵的线性运算，乘法运算封闭。O当前70页，总共106页。§4

几种特殊的矩阵4.下三角形矩阵主对角线上方元素均为0的方阵称下三角形矩阵。性质下三角形矩阵对矩阵的线性运算，乘法运算封闭；下三角形矩阵的转置矩阵是上三角形矩阵，上三角形矩阵的转置矩阵是下三角形矩阵。O当前71页，总共106页。§4

几种特殊的矩阵例1

设矩阵则当前72页，总共106页。§4

几种特殊的矩阵例1

设矩阵则当前73页，总共106页。§4

几种特殊的矩阵例

设A,B

均为n阶下三角形矩阵，证明AB

亦为下三角形矩阵。证设A=(aij)n×n,B=(bij)n×n均为下三角形矩阵,则当1≤i<j≤n时，aij=0，bij=0

.

设AB=(cij)n×n，则当1≤i<j≤n时，

cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aiibij+aii+1bi+1j+…+ainbnj

=ai10+ai20+…+aii0+0bi+1j+…+0bnj=0.所以AB为下三角形矩阵.

#当前74页，总共106页。§4

几种特殊的矩阵5.对称矩阵方阵定义设A=(aij)n×n，若aij=aji

(i,j=1,2,…,n)，则称A为对称矩阵。特征

A是对称矩阵AT=A.元素关于主对角线对称

叫做对称矩阵当前75页，总共106页。§4

几种特殊的矩阵性质对称矩阵对矩阵的线性运算封闭.证设A,B是对称矩阵，是数，则

(A+B)T=AT+BT=A+B;

(A)T=AT=A，结论成立。当前76页，总共106页。§4

几种特殊的矩阵例设A,B是对称矩阵，则AB是对称矩阵的充要条件是A,B可换，证必要性)

设AB是对称矩阵，则(AB)T=AB,又(AB)T=BTAT=BA,∴AB=BA,即A,B可换.

充分性)设A,B可换,即AB=BA，则

(AB)T=BTAT=BA=AB,

∴AB是对称矩阵.

#可见对称矩阵对矩阵的乘法运算不封闭.当前77页，总共106页。§4

几种特殊的矩阵6.反称矩阵方阵定义设A=(aij)n×n，若aij=-aji

(i,j=1,2,…,n)，则称A为反称矩阵。特征

A是反称矩阵AT=-A.元素关于主对角线对称互反

叫做反称矩阵当前78页，总共106页。§4

几种特殊的矩阵性质反称矩阵对矩阵的线性运算封闭.证设A,B是反称矩阵，是数，则

(A+B)T=AT+BT=-A-B=-(A+B);

(A)T=AT=(-A)=-(A)，结论成立。例设A,B是反称矩阵，则AB是对称矩阵的充要条件是A,B可换，证(AB)T=BTAT=(-B)(-A)=BA.

AB是对称矩阵

(AB)T=AB

AB=BA,即A,B可换.

#可见反称矩阵对矩阵的乘法运算不封闭.当前79页，总共106页。§4

几种特殊的矩阵例2

证明任一方阵A均可表示为一个对称矩阵与一个反称矩阵之和.证当前80页，总共106页。§4

几种特殊的矩阵例3

设A是n阶反称矩阵，B是n阶对称矩阵，证明AB+BA是一个n阶反称矩阵.证因此AB+BA是一个n阶反称矩阵.当前81页，总共106页。§4

几种特殊的矩阵7.分块对角矩阵设n阶方阵A是一个分块矩阵，其主对角线上的子块全是方阵，其余子块均为零矩阵，则称A为分块对角矩阵。性质分块对角矩阵对分块矩阵的线性运算，乘法运算封闭.当前82页，总共106页。§4

几种特殊的矩阵设两个分块对角矩阵当前83页，总共106页。§4

几种特殊的矩阵设分块对角矩阵当前84页，总共106页。§4

几种特殊的矩阵设两个分块对角矩阵当前85页，总共106页。§4

几种特殊的矩阵设分块对角矩阵当前86页，总共106页。§4

几种特殊的矩阵例4

设矩阵求A4.解当前87页，总共106页。§4

几种特殊的矩阵故当前88页，总共106页。§4

几种特殊的矩阵本节学习要求

熟悉对角矩阵、标量矩阵、上三角形矩阵、下三角形矩阵、对称矩阵、反对称矩阵和分块对角矩阵的概念及其性质，会验证一个矩阵是对称矩阵(或反称矩阵)。作业：习题1.4(A)第3题当前89页，总共106页。§5矩阵的初等变换

本节教学内容1.矩阵的初等变换2.初等矩阵当前90页，总共106页。§5矩阵的初等变换1.矩阵的初等变换定义5.1

下面三种变换称为矩阵的初等行变换⑴倍法变换:非零数k乘矩阵的第i行注：倍法行变换记号ri×k写在→上方(或下方)当前91页，总共106页。§5矩阵的初等变换⑵消法变换:非零数k乘矩阵的第i行，然后加到矩阵的第j行上注：消法行变换记号kri+rj写在→上方(或下方)当前92页，总共106页。§5矩阵的初等变换⑶换法变换:矩阵的第i行与矩阵的第j行互换注：换法行变换记号ri↔rj写在→上方(或下方)当前93页，总共106页。§5矩阵的初等变换下面三种变换称为矩阵的初等列变换⑴倍法变换:非零数k乘矩阵的第j列注：倍法列变换记号cj×k写在→上方(或下方)倍法列变换记号cj×k，倍法行变换记号ri×k当前94页，总共106页。⑵消法变换:非零数k乘矩阵的第i列，然后加到矩阵的第j列上注：消法列变换记号kci+cj写在→上方(或下方)消法列变换记号kci+cj，消法行变换记号kri+rj§5矩阵的初等变换当前95页，总共106页。⑵换法变换:矩阵的第i列与