工程制图第三章投影基础

工程制图第三章投影基础第一页，共七十四页，2022年，8月28日投影学是1795年法国学者蒙日创立的，至今已有200多年的历史，可以说它是一门古老而成熟的学科。机械制图、建筑制图、水利工程制图等都是建立在投影学的基础上。学习工程制图，重点就是要学好投影基础理论。投影学序言第二页，共七十四页，2022年，8月28日3-1投影基本知识第三页，共七十四页，2022年，8月28日3-2物体的三视图第四页，共七十四页，2022年，8月28日将物体自然放平，一般使主要表面与投影面平行或垂直，进而确定主视图的投影方向。整体和局部都要符合三视图的投影规律。可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓线用虚线绘制，当虚线与实线重合时只画实线。特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方位关系。三、三视图的画法第五页，共七十四页，2022年，8月28日虚线要画作图举例：画出立体的三视图。123不能有线宽相等第六页，共七十四页，2022年，8月28日(1)投影方法分类：

中心投影平行投影工程制图采用平行正投影方法和第一角投影。(3)三视图投影规律:

主俯视图长对正主左视图高平齐俯左视图宽相等(2)平行正投影特性：平行性、从属性、定比性、实形性、积聚性、类似性。小结第七页，共七十四页，2022年，8月28日3-3点的投影一、点的投影规律点的正面投影与水平投影的连线垂直于OX轴，即⊥OX；点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴，即⊥OZ；水平投影到X轴的距离等于侧面投影到Z轴的距离，即=

将空间点A放置在第Ⅰ分角内，分别向H、V、W面进行投影得a、a′、a″，分别称为点A的水平投影、正面投影、侧面投影。

沿OY轴分开H面和W面，V面保持正立，H面向下转90º，W面右转90º，使三个投影面处在一个平面内，即得点的三面投影图。第八页，共七十四页，2022年，8月28日[例3-3]根据点A和B的两个投影求第三个投影。（二求三）

求法：长对正宽相等高平齐宽相等注意：特殊位置的点的投影

（1）投影面上的点：两个投影在投影轴上，另一投影在该投影面上。

（2）投影轴上的点：两个投影在投影轴上，另一投影在原点处。第九页，共七十四页，2022年，8月28日二、点的投影与空间直角坐标的关系空间点A到V面的距离，等于点A的y坐标；即：

空间点A到H面的距离，等于点A的z坐标；即：空间点A到W面的距离，等于点A的x坐标；即：结论：空间一点A（x,y,z）在三投影面体系中有唯一的一组投影(a、a′、a″)与之对应；反之，已知A点的一组投影(a、a′、a″)即可确定该点的空间坐标值（x,y,z）。

第十页，共七十四页，2022年，8月28日[例3-4]已知点A(15,10,12)，求作点A的三面投影图。作图步骤如下：3.根据点的投影规律，可由点的两个投影作出第三投影a

。

1.自原点O沿OX轴向左量取x=15,得点ax；2.过ax作OX轴的垂线，在垂线上自ax向下量取y=10,得点A的水平投影a

向上量取z=12,得点A的正面投影a;第十一页，共七十四页，2022年，8月28日三、两点的相对位置

两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。第十二页，共七十四页，2022年，8月28日[例3-5]已知点A的三面投影，又知另一点B对点A的相对坐标△X=-10，△Y=5，△Z=-5，求点B的三面投影。

无轴投影注意：在无轴投影图中，投影轴虽省略不画，但各投影之间的投影关系依然存在。第十三页，共七十四页，2022年，8月28日四、重影点的投影

如果空间两点处于某一投影面的同一条投射线上时,就有两个坐标相等，一个坐标不相等，则两点在一个投影面上的投影就重合为一点，此两点称为对该投影面的重影点。判别可见性方法：比较两点不相同的那个坐标，其中坐标大的可见。对正立投影面、水平投影面、侧立投影面的重影点，它们的可见性应分别是前遮后、上遮下、左遮右。标记时，应将不可见的点的投影加括号。第十四页，共七十四页，2022年，8月28日3-4直线的投影

直线的投影一般仍为直线，特殊情况下积聚为点。求作直线的投影，实际上就是求作直线两端点的投影，然后连接同面投影即可。直线对投影面的倾角：直线与水平投影面、正立投影面、侧立投影面的夹角，分别称为该直线对该投影面的倾角，分别用α、β、γ表示。αβγ第十五页，共七十四页，2022年，8月28日一、各种位置直线的投影特性

投影面平行线平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面）正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面第十六页，共七十四页，2022年，8月28日1．投影面平行线

正平线水平线侧平线立体及其三视图轴测投影图直线投影图投影特性：在与线段平行的投影面上，该线段的投影为倾斜的线段，且反映实长，其余两个投影分别平行于相应的投影轴，且都小于实长。第十七页，共七十四页，2022年，8月28日2．投影面垂直线

正垂线铅垂线侧垂线立体及其三视图轴测投影图直线投影图投影特性：直线在与其所垂直的投影面上的投影积聚成一点，在另两个投影面上的投影分别垂直于相应的投影轴，且反映该线段的实长。第十八页，共七十四页，2022年，8月28日3．一般位置直线：与三个投影面都倾斜的直线。

投影长度和倾角之间的关系为：

ab=ABcosα；a′b′=ABcosβ；a″b″=ABcosγ。投影特性①三个投影都与投影轴倾斜，长度都小于实长；②与投影轴的夹角都不反映直线对投影面的倾角。（略）用直角三角形法求直线的实长及对投影面的倾角第十九页，共七十四页，2022年，8月28日二、直线上的点

⒈从属性

点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影上；反之，点的各个投影在直线的同面投影上，则该点一定在直线上。已知直线AB上的点C的水平投影c，求另两投影。第二十页，共七十四页，2022年，8月28日[例3–6]已知侧平线AB的两投影和直线上点S的正面投影，求水平投影。

方法一

方法二

⒉定比性

点分割线段成定比，则分割线段的各个同面投影之比等于其线段之比。

返回第二十一页，共七十四页，2022年，8月28日三、两直线的相对位置

平行两直线

相交两直线

交叉两直线（异面）

第二十二页，共七十四页，2022年，8月28日1.两直线平行

若空间两直线相互平行，它们的各同面投影也一定互相平行。反之，若两直线的三面投影都互相平行，则空间两直线也互相平行。

平行性:

同面投影都相互平行平行

定比性（长度比、方向性）同面投影之比相等，并都等于空间线段之比注：如果两直线是同一投影面的平行线，只有当它们在平行的投影面上的投影平行时，才可判断其相互平行；同一投影面的两垂直线平行，其积聚投影的连线即为两者距离的实长。第二十三页，共七十四页，2022年，8月28日2.两直线相交

若空间两直线相交，则它们的各同面投影必定相交，且交点符合点的投影规律；反之，如果两直线的同面投影相交，且交点符合点的投影规律，则该两直线在空间也一定相交。第二十四页，共七十四页，2022年，8月28日3．两直线交叉交叉两直线各组同面投影不会都平行，特殊情况下可能有一两组平行；其各组同面投影交点的连线与相应的投影轴不垂直，即不符合点的投影规律。反之，如果两直线的投影既不符合平行两直线的投影特性，也不符合相交两直线的投影特性，则该两直线空间为交叉两直线。重影点第二十五页，共七十四页，2022年，8月28日重影点重影点投影相交处即为重影点的投影处继续返回第二十六页，共七十四页，2022年，8月28日4．两直线垂直一般情况下，在投影图中不能确定空间两直线是否垂直，但当直线处于特殊位置时可以直接从投影图中判断：⑴AB⊥BC(垂直相交)oxaa′b′c′bc⑵AB⊥CD(垂直交叉)oxa′ab′c′d′bcd┐第二十七页，共七十四页，2022年，8月28日四、直角投影定理

空间垂直（相交或交叉）的两直线，若其中一直线为投影面平行线，则两直线在该投影面上的投影互相垂直。此投影特性称为直角投影定理。反之，如两直线在某一投影面上的投影互相垂直，其中有一直线为该投影面的平行线，则空间两直线互相垂直。

如图所示，AB⊥CD，其中AB//H面，CD倾斜于H面，则ab⊥cd。因AB⊥Bb，AB⊥CD，则AB⊥平面CcdD。又因ab//AB，所以ab⊥平面CcdD，因此，ab⊥bc，即∠abc＝∠ABC＝90º。第二十八页，共七十四页，2022年，8月28日【例题】求作已知铅垂线AB与一般位置直线CD的公垂线EF。e’f’f(e)实长第二十九页，共七十四页，2022年，8月28日一、平面的表示法●●●●●●abcabc不在同一直线上的三点●●●●●●abcabc直线及线外一点abcabc●●●●●●d●d●两平行直线abcabc●●●●●●两相交直线●●●●●●abcabc平面图形3-5平面的投影第三十页，共七十四页，2022年，8月28日二、各种位置平面的投影特性

平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜正垂面侧垂面铅垂面正平面侧平面水平面平面对投影面的倾角：平面与水平投影面、正立投影面、侧立投影面的两面角，分别称为该平面对该投影面的倾角，分别用α、β、γ表示。第三十一页，共七十四页，2022年，8月28日1．投影面垂直面

正垂面铅垂面侧垂面轴测投影图平面投影图应用举例投影特性：①平面在与其所垂直的投影面上积聚成与投影轴倾斜的直线，并反映该平面与其他两个投影面的倾角。②平面的其他两个投影面都是面积小于原平面图形的类似形。第三十二页，共七十四页，2022年，8月28日2．投影面平行面

正平面水平面侧平面轴测投影图平面投影图应用举例投影特性：①平面在与其平行的投影面上的投影反映平面图形的实形。②平面在其他两个投影面上的投影均积聚成平行于相应投影轴的直线。第三十三页，共七十四页，2022年，8月28日3．一般位置平面

：与三个投影面都倾斜的平面。投影特性：①它的三个投影均为类似形，而且面积比原平面图形小；②投影图上不直接反映平面对投影面的倾角。第三十四页，共七十四页，2022年，8月28日[例3-8]分析图所示立体各平面的位置。(a)立体图

(b)三视图(1)△ABC是水平面。(2)△DEF是侧垂面。(3)侧面ACDE是一般位置平面。第三十五页，共七十四页，2022年，8月28日三、平面上的点和直线的投影

1.平面上的点点在平面内的条件是：点在该平面内的一条线上。第三十六页，共七十四页，2022年，8月28日2．平面上的直线直线在平面内的条件是：通过平面内的两点或通过平面内一点并平行于平面内的另一直线。

(a)通过平面内的两点

(b)过平面内一点且平行于平面内的一直线第三十七页，共七十四页，2022年，8月28日[例3-9]如图3-39a所示，已知平面△ABC上点M的正面投影m

，求点M的水平投影m。（引入反求）分析：作图：利用点、线从属关系求出M的水平投影m。结论：判断点是否在平面内，不能只看点的投影是否在平面的投影轮廓线内，一定要用几何条件和投影特性来判断。第三十八页，共七十四页，2022年，8月28日[例3-10]已知平面五边形ABCDE的正面投影和AB、AE边的水平投影，试完成五边形的水平投影。分析：作图利用在△ＡＢＥ上取点的方法完成水平投影。返回第三十九页，共七十四页，2022年，8月28日一、概述直线在平面上（§3.5判定几何条件）1.直线与平面的相对位置直线∥平面直线不在平面上倾斜直线与平面相交垂直平行（包括重合）：距离相等2.平面与平面间的相对位置斜交相交正交3.几个重要的几何定理

①直线∥平面内任意一条直线直线∥这个平面②两个平面上有两对相互平行的相交直线两个平面相互∥③直线⊥平面直线⊥此平面上所有直线④直线⊥平面内两条相交直线此直线⊥此平面⑤一平面通过另一平面的一条垂线这两个平面相互⊥3-6直线与平面、平面与平面的相对位置第四十页，共七十四页，2022年，8月28日二、相对位置包括平行、相交和垂直三种情况:（一）平行问题

①

直线与平面平行

②平面与平面平行⒈直线与平面平行直线与平面平行的几何条件是：直线平行于平面内的任意一条直线。包括线面平行问题就归结为:

①面上取线和②线线平行的两问题.第四十一页，共七十四页，2022年，8月28日2.平面与平面平行①若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。②若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。fhabcdefhabcdecfbdeaabcdef第四十二页，共七十四页，2022年，8月28日（二）相交问题(重点)

①

直线与平面相交②平面与平面相交⒈直线与平面相交直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。要讨论的问题：●

求直线与平面的交点。●

判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。包括★我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。第四十三页，共七十四页，2022年，8月28日分析：作图：判可见性：[例3-11]求一般位置直线MN与铅垂面ABC的交点

第四十四页，共七十四页，2022年，8月28日[例3-12]求铅垂线MN与一般位置平面△ABC的交点

分析：作图：判可见性：解决问题的方法：当直线或平面与某一投影面垂直时，其投影有积聚性，交点的投影必定在有积聚性的投影上，由此直接求得交点的一个投影，再根据点在直线或平面上的投影特性，求出另外的投影。轮廓线可见性判别方法：利用投影图中的重影点，看它在哪几条轮廓线上，由“前遮后，上遮下，左遮右”的规律，判断这几条轮廓线上的点可见与否，从而确定相应图形轮廓线的虚实性。第四十五页，共七十四页，2022年，8月28日⒉两平面相交两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。要讨论的问题：●

求两平面的交线。●判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别可见性。★我们只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。第四十六页，共七十四页，2022年，8月28日[例3-13]求铅垂面和一般位置平面的交线

分析：作图：判可见性：第四十七页，共七十四页，2022年，8月28日[例3-14]求两正垂面ABC和DEF的交线

分析：作图：判可见性：交线应在两三角形的公共部分。解决问题的方法:若相交两平面之一为投影面垂直面或投影面平行面时，则可利用该平面有积聚性的投影，在有积聚性的投影图上直接求得交线，再根据交线是两平面的共有线，求出另外的投影。第四十八页，共七十四页，2022年，8月28日（三）垂直问题

1.直线与平面垂直一直线如果垂直于一平面上任意两相交直线，则直线垂直于该平面，且直线垂直于平面上的所有直线。对于垂直于特殊位置平面的直线一定为特殊位置直线。当直线垂直于投影面垂直面时，该直线平行于平面所垂直的投影面。★我们只讨论直线或平面中至少有一个处于特殊位置的情况。第四十九页，共七十四页，2022年，8月28日2.平面与平面垂直

如果直线垂直于平面，则包含此垂线所作的任意平面必垂直于该平面。当两个互相垂直的平面同垂直于一个投影面时，两平面有积聚性的同面投影垂直，交线是该投影面的垂直线。

★我们只讨论平面都处于特殊位置的情况。返回第五十页，共七十四页，2022年，8月28日当空间几何元素相对投影面处于特殊位置时，可在投影图中直接反映出实形、距离、交点、位置等关系。3-7变换投影面法

一、问题的提出★如何求一般位置直线的实长？★如何求一般位置平面的真实大小？★如何求一般位置……解决方法：更换投影面。换面法：物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助投影面）代替原有投影面，使物体相对新的投影面处于解题所需要的有利位置，然后将物体向新投影面进行投射，得到新投影图。第五十一页，共七十四页，2022年，8月28日二、新投影面的选择原则VHAB

a

bab1.新投影面必须对空间物体处于最有利的解题位置。平行于新的投影面垂直于新的投影面2.新投影面必须垂直于某一保留的原投影面，以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。V1a1b1第五十二页，共七十四页，2022年，8月28日（一）换面法的基本投影规律1．点的一次变换

旧投影体系

X—VH

新投影体系X1—V1H→A点的两个投影：a，a→A点的两个投影：a，a1⑴新投影体系的建立第五十三页，共七十四页，2022年，8月28日⑵新旧投影之间的关系

aa1

X1

a1

ax1=aax点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。一般规律：点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直于新投影轴。第五十四页，共七十四页，2022年，8月28日⑶求新投影的作图方法XVHaaax更换H面VHXV1HX1

由点的不变投影向新投影轴作垂线，并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。aaX1H1Va1axax1ax1更换V面●a1作图规律：..第五十五页，共七十四页，2022年，8月28日2．点的二次变换H先把V面换成平面V1，V1H，得到中间新投影体系:V1X1—再把H面换成平面H2，H2V1，得到新投影体系:

X2—V1

H2⑴新投影体系的建立按次序更换AaVH

aaxXX1V1a1ax1H2X2ax2a2第五十六页，共七十四页，2022年，8月28日⑵求新投影的作图方法ax2aXVHa2X1HV1X2V1H2

作图规律：

依次序更换a1axax1..

a第五十七页，共七十四页，2022年，8月28日二、换面法的四个基本问题1．将一般位置直线变换成投影面平行线例：求一般位置直线AB的实长用V1面代替V面，在V1/H投影体系中，AB//V1。空间分析：新投影轴的位置？X1轴//

ab求，换H面行吗？不行！作图方法：第五十八页，共七十四页，2022年，8月28日2．将投影面平行线变换成投影面垂直线X1轴⊥ab例：将水平线AB变换为投影面垂直线

空间分析：用V1面代替V面，在V1/H投影体系中，AB⊥V1。.换H面行吗？不行！新投影轴的位置？作图方法：第五十九页，共七十四页，2022年，8月28日3．将一般位置平面变换成投影面垂直面

如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。空间分析：

在平面内取一条投影面平行线，经一次换面后变换成新投影面的垂直线，则该平面变成新投影面的垂直面。两平面垂直需满足什么条件？

一般位置直线变换成投影面垂直线，需经几次变换？两次！第六十页，共七十四页，2022年，8月28日作图方法：思考：若变换H面，需在面内取什么位置直线？正平线！新投影轴的位置？X1轴⊥

cd例:将一般位置面△ABC变为投影面垂直面

第六十一页，共七十四页，2022年，8月28日4．将投影面垂直面变换成投影面平行面例:将铅垂面△ABC变为投影面平行面

换V面,使新投影面V1∥△ABC。X1轴∥abc

空间分析：作图方法：新投影轴的位置？第六十二页，共七十四页，2022年，8月28日三、换面法的应用举例[例3-15]试求所示立体上的正垂面P的实形。空间分析：

作图步骤：

（1）建立投影轴。

（2）画出新投影。

pp第六十三页，共七十四页，2022年，8月28日[例3-16]求点C到正平线AB的距离，并作出其垂线的投影。空间分析：

作图步骤：

d如何定？cdX12.在新投影面H１上直接求作距离的投影即反映实长。1.将ＡＢ直线变换为投影面垂直线。

第六十四页，共七十四页，2022年，8月28日[例3-17]已知交叉二直线AB、CD，求其最短连线的位置及其最短连线的长度。

解题思路：2.在新投影面H2上直接求作距离的投影即反映实长。1.将两直线之一变换为投影面垂直线。

空间分析：

第六十五页，共七十四页，2022年，8月28日作图步骤：4.将ＳＴ返回原体系。ST的投影s2t2。2.在投影面H2

中作公垂线1.将两已知直线之一CD变换为投影面垂直线,直线

AB随之变换。

距离实长ST的投影s1t1。3.在投影面V1

中作公垂线(s1t1Ｘ2)第六十六页，共七十四页，2022年，8月28日[例3-18]求一般位置平面△ABC的真实大小。空间分析：

作图步骤：

只有当投影面平行于△ABC时，ABC在其上的投影才反映真形。两次变换!第六十七页，共七十四页，2022年，8月28日abcabc①

直线为一般位置时②

直线为特殊位置时babkak●●小结★点、直线、平面的投影特性，尤其是特殊位置直线

与平面的投影特性。重点掌握：★点、直线、平面的相对位置的判断方法及投影特性。一、直线上的点⒈

点的投影必在直线的同面投影上——从属性。⒉

点的投影必分线段的投影成定比——定比定理。⒊判断方法:

第六十八页，共七十四页，2022年，8月28日二、两直线的相对位置⒈

平行同面投影互相平行。

对于一般位置直线，只要有两个同面投影互相平行，空间两直线就平行。abcdcabd①

对于特殊位置直线，只有两个同面投影互相平行，空间直线不一定平行。cbddbac②a

平行性:

同面投影都相互平行平行

定比性（长度比、方向性）:

同面投影之比相等，