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文档简介

15.2以为周期的傅氏级数一、以为周期的傅立叶级数二、偶函数与奇函数的傅立叶级数一、奇函数和偶函数的傅里叶级数定理

一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.证明奇函数同理可证(2)定义偶函数定理证毕.解所给函数满足狄利克雷充分条件.和函数图象观察两函数图形解所给函数满足狄利克雷充分条件,在整个数轴上连续.二、函数展开成正弦级数或余弦级数非周期函数的周期性延拓则有如下三种情况奇延拓:偶延拓:解(1)求正弦级数.(2)求余弦级数.三、小结1、基本内容:奇函数和偶函数的傅氏系数;正弦级数与余弦级数;非周期函数的周期性延拓;2、需澄清的几个问题.(误认为以下三情况正确)a.只有周期函数才能展成傅氏级数;思考题思考题解答二、以为周期的傅氏级数本节讨论以为周期的函数的傅里叶级数展开式及偶函数和奇函数的傅里叶级数展开式．(1)其中(2)于是由(1)与(2)式分别得(3)(4)定理则有则有证明解解另解

设是以为周期的偶函数,或是定义在

上的偶函数,则称为的余弦级数,其中

若是以为周期的奇函数,或是定义在上的

的奇函数,则称为的正弦级数,其中二偶函数与奇函数的傅立叶级数

若将定义在(或)上的函数展成余弦级数或正弦级数,先把定义在(或)上的函数作偶式延拓或作奇式延拓至(或)yxoyxo

设函数

求的Fourier级数展开式.

是上的偶函级,其周期延拓后(如下图)xyo

由于是按段光滑函数,故可展开成余弦级数.因为所以把在内展成(i)正弦级数;(ii)余弦级数.(i)为了把展成正弦级数,对作奇式周期延拓xyo则所以当时,由收敛定理得(ii)为了把展成余弦级数,对作偶式周期延拓如下图:xyo则三、小结利用变量代换求傅氏展开式;求傅氏展开式的步骤;1.画图形验证是否满足狄氏条件(

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