重庆一诊断模拟考试试题

2009一—2010年重庆市部分重点中学第一次诊断性模拟考

试训练试题

数学(理工农医类)

注意事项：

i.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡匕并将准考证号条形码粘贴在

答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上无效。

3.填空题和解答题用0.5毫米的黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内。答在试题

卷上无效。

4.考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.已知全集〃=Z,A={—1,0,1,2},8={X|X2=0，则为

A.{-1,2)B.{1,2}C.{-1,0)D.{-1,0,2)

2.已知aeR,贝ij“a>2”是“/>2a”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.直线y=Mx+1)与圆/+>2=1的位置关系是

A.相离B.相切C.相交D.与k的取值有关

4.设。=10832,/>=108,3,。=108],,则

55

A.a<b<cB.a<c<hC.b<a<cD.h<c<a

5.已知函数/(x)=sinx+cosx,g(x)=2sinx,动直线x=，与/(尤)、g(x)的图象分别

交于点尸、Q,|尸。|的取值范围是

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,VI]D.[1,V2]

22

6.设G、F,是椭圆=+4=1(。>b〉0)的两个焦点，以々为圆心，且过椭圆中心的圆与椭圆的

ah

一个交点为M,若直线KM与圆片相切，则该椭圆的离心率是

C3V2

A.2—y/3B.—1D.

2

7.已知等差数列｛%｝的前"项和为S“，且$2=10,S$=55,则过点和Q（〃+2,a/2）

（neN*）的直线的一个方向向量的坐标可以是

114

A.（2,4）B.（一一,-1）C.（一—,一一）D.（-1,-1）

233

8.已知。、A.B、C是不共线的四点，若存在一组正实数4、4、4,使4d+4为+

A3OC=d,贝I」三个角NA08、ZBOC.ZCOA

A.都是锐角B.至多有两个钝角C.恰有两个钝角D.至少有两个钝角

j.22]

9.若椭圆一7+==1（。>6>0）的离心率6=—，右焦点为F（c,0）,方程以2+2法+。=0的两

a'b-2

个实数根分别是占和X1,则点尸（为,々）到原点的距离为

A.B.C.2D.一

24

10.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色.先染1,再染2个偶数2、4；再

染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16；

再染16后面最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25.按此规则一直染下去，得到•红色

子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,….则在这个红色子数列中，由1开始的第

2009个数是

A.3948B.3953C.3955D.3958

二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置上。

|x-11(x<0)

11.已知〃x)=<噫g>。),则W(F1

12.在AABC中，若角5=60°,tanA=—,BC=2,则AC373__.

4

VJx-yW0

13.已知O为原点，点P（x,y）的坐标满足.x-Gy+220,

），20

则华孚的最大值是_百—，此时点p的坐标是，5

国—―-

q2

14.设首项不为零的等差数列｛4｝前〃项之和是S“，若不等式4：+彳N几62对任意｛4｝和正整

n

数”恒成立，则实数4的最大值为—1_.

15.在函数/(x)=f(x>0)的图像上依次取点列优,｝满足：《(〃,/(〃)),〃=1,2,3,….设A)为平

面上任意一点，若%关于《的对称点为4,4关于巴的对称点为……，依次类推，可在平

面上得相应点列4,4，&,…，儿.则当〃为偶数时，向量市的坐标为.(小〃(〃一1))

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题满分13分)

在A48C中，角A、B、C所对的边分别为。、b、c,已知。=2,b=@，B=60.

(1)求c的值及的面积S；

(2)求sin(2A+C)的值.

17.(本小题满分13分)

设函数/(X)的定义域为R,对于任意实数x,y都有/(x+y)=/(x)+/(y),又当x>0时，

/(x)<0且/(2)=-1.试问函数/(x)在区间［-6,6］上是否存在最大值与最小值？若存在，求出最

大值、最小值；如果没有，请说明理由.

18.(本小题满分13分)

5一，

设数列｛〃“｝满足：4=一，且以4，。2，。3,为系数的一兀二次方程。“一J一。〃工+1=0

6

(〃wN*,〃22)都有根a,民且两个根a,/满足3a-加+3£=1.

(1)求数列｛4｝的通项

⑵求｛《,｝的前〃项和

19.(本小题满分13分)

图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面(阴影部分)示意图，其中

四边形A8CC是矩形，弧Cm。是半圆，凹槽的横截面的周长为4.已知凹槽的强度与横截面的面

积成正比，比例系数为百，设A8=2x,8C=y.

(1)写出y关于x函数表达式，并指出x的取值范围;

(2)求当x取何值时，凹槽的强度最大.

图2

20.(本小题满分12分)

2222

已知双曲线C*暇=1(。>0]>0)与椭圆会+3=1有公共焦点，且以抛物线)，2=2元的

准线为双曲线C的一条准线.动直线/过双曲线。的右焦点厂且与双曲线的右支交于「、。两

点.

(1)求双曲线C的方程；

(2)无论直线/绕点F怎样转动，在双曲线C上是否总存在定点M,使恒成立？若

存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.

21.(本题满分12分)

已知数列｛4｝中，6=1，且为=/一%_]+2〃3-2(〃22,”eN*).

〃一1

(1)求数列｛〃”｝的通项公式；

(2)令"=1("wN*),数列也｝的前〃项和为S“，试比较S,“与〃的大小；

a”

(3)令g=3"(〃eN*),数列｛.*｝的前〃项和为求证：对任意〃eN*,

〃+1

都有Tn<2.

2009一—2010年重庆市部分重点中学第一次诊断性模拟考试训练

试题参考答案

16.解(1)•.•a=2,b=S,B=60°,由余弦定理可得

2

h=a?+。2-2accosB.

1

7=C2?+4-2XCX2X—

・•.2.

/.c2-2c-3=0.

・•.c=3或c=舍..

z.c=3.

G_3百

—acsinB=—x3x2x

22

(2)在AA8C中，b=币,B=60,

/.sin60°sinA.

V21

a<b,

：.A为锐角.

5=亚

7.

vA+C=180?B=120,

A尸与。sA」sinA=@

sin(2A+C)=sin(120?

72214

17.解：令x=y=0知/(0)=0

令x+y=0知/(%)+/(-x)=0/./(x)为奇函数.

任取两个自变量Xpx2且一8VX<%2V+8，则

/（々）-/（内）=/（彳271）

，/x2>XjX2-Xj>0知/(%2—X)<0即/(12)一/(西)<0

故/心)</&)

/(X)在(-8,+8)上是减函数.

因此/(X)在［-6,6］上有最大值和最小值

最小值为/(6)=/(4)+/(2)=/(2)+f(2)+/(2)=3/(2)=-3

最大值为/(-6)=-/(6)=3

18.解：由3。一3+3£=1及韦达定理得

3(a+/3)-a/3-3—------=1n+—(neN*,n>2)

%33

(1)设有4满足=：(a,i+㈤nX=—；,即a"一；=；1)

所以%—3=(%—g)•n%=(：)"+；(〃€”)

⑵5„=%+a2+---+a„=g+(；)2+,•,+(；)"+3=^1^一；€)”

19.解：(1)易知半圆Cm。的半径为x,故半圆Cm。的弧长为左x.

所以4=2x+2y+/rr,

得y=4-Q+柳

依题意知：0<x<y

4

得0<1<----

4+4

所以，4-Q+”)x(0<x<」)

-24+不

(2)依题意，设凹槽的强度为7,横截面的面积为S,则有

2

T=V3S=V3(2xy-^y-)

f一争

=V3[4x-(2+y)x2]

6(4+3万)/4y8石

24+3乃4+34

44

因为0<-----<----,

4+344+万

所以，当、=六时，凹槽的强度最大.

4

答：当尸石藐时,凹槽的强度最大―

20.解：（1）设尸（c,0）（c〉0）,则由题意有：

c2=8-4

2222

,a]C=4,fl=1,b=3

.c2

故双曲线C1的方程为f—二=1,

3

（2）解法一：由（1）得点/为（2,0）

当直线/的斜率存在时，设直线方程y=*（x—2）,/和弘），QG，乃）

将方程y=k（x-2）与双曲线方程联立消去y得：伙2—3）——4/工+4/+3=。,

公―3*0

A>0

…二及〉。

解得公＞3

-k2-3

4k2+3八

玉.“2=卜二3〉0

假设双曲线C上存在定点M,使MP_LMQ恒成立，设为

则：MP-MQ=（xl-m）（x2一〃?）+（弘一n）（y2-n）

=(王一〃?)(％2一加)+伙(西一2)—九］［攵(尤2-2)—〃］

=(k2+1)X1%2一(2忆2+&〃+〃?)(玉+《2)+加2+4/+4%〃+〃2

62+1)(4攵2+3)4(21+而+m)E

+〃/+4&2+4切+〃2

k2-3k2-3

(m2+〃2-4m-5)k2-\2nk-3(m2+n2-1)

=k2-3

MPLMQ,：.MPMQ=0,

故得：(m2+n2-4m-5)k2-12nk-3(〃/+n2-l)=0对任意的k2>3恒成立,

m2+n2-4m-5=0

,m=—\

・・・《12〃=0,解得，

n=0

1=0i

...当点M为(—1,0)时，MP_LMQ恒成立；

当直线/的斜率不存在时，由尸(2,3),Q(2,—3)知点M(—1,0)使得WP1MQ也成立.

又因为点(-1,0)是双曲线C的左顶点，

所以双曲线C上存在定点M(—1,0)，使MP_LMQ恒成立.

解法二(略解)：当直线/的斜率不存在时，由尸(2,3),2(2,-3),MP1MQ,且点M在双曲线

C上可求得M(—l,0),

4k24k2+3_______

当直线/的斜率存在时，将M(—1,0),玉+々=之一，x,.x=—一代入经计

k—32k—3

算发现声•丽=0对任意的廿＞3恒成立，从而恒有成立.

因而双曲线C上存在定点M(―1,0),使MP_L恒成立.

21解：(1)由题。“=/一%|+2〃-3"-2知，%=也+23-2,

n-\nn-1

由累加法，当〃22时，％-幺=2+2x3+2x3?+…+2X3”2

n1

代入q=l,得“22时，%=]+2(1-3"i)=3'i

'n1-3

又％=1,故/=〃-3"T(〃eN*).

3"T1

(2)〃eN*时,-----=—

a”〃

方法1：当〃=1时，5.=1+->1；当"=2时，5,=1+-+-+->2；

2222234

J—岸<3.

当〃=3时，Sa

22345678

猜想当时，S*＜n.

下面用数学归纳法证明：

①当〃=3时，由上可知S2、＜3成立;

②假设〃=女伙23)时，上式成立，即1+；+；+…+/<上

当”=%+1时，左边=1+-+'+•••+，-+/一+…+丁7

232*2k+12日

117k

<k+———+•••+——<^+———〈&+1,所以当”=k+1时成立.

2«+12A+,2A+1

由①②可知当〃>3,neN*时,S?”<n.

综上所述：当〃=10'J',S2,>1；当〃=2时，S：2>2；

当〃23(〃GN*)时,S2„<n.

、…。，111

万法