量子力学练习题

PAGEPAGE1/91若（）

量子力学练习题（一）、ˆ 均为厄米算符，则ˆˆ 也为厄米算符2、不 同 定 态 线 性 叠 加 还 是 定 态（）3、若（）

与ˆ 对易，且ˆ 与ˆ 对易，则必有ˆ 与ˆ 对易4若两力学量算符（）

与ˆ对易，则在任意态中，它们都有确定值5所谓全同粒子就是指所有性质均相同粒子（）6、归一化波函数模方|(r,t)|2表示时刻，r 处粒子出现概率（）7.设为n

(x)一维线性谐振子归一化波函数，则有*(x)ˆn

(x)dx

*n1

(x)ˆn

(x)dx8、 称为隧道效应；9、在2和ˆ共同本征态

中，22z10、氢原子处于

320

lmAr2er3a0Y20

x y,态，则其最可几半径r11、 Planck量子假说揭示了微观粒子能量 特性。两个角动量j1

1、j2

1耦合总角动量J 和2量子力学几率守恒定律微分形式和积分形式分别为本征值方程特点是什么？全同性原理是已知x

d，ˆxd ，求[ˆ,ˆ]?dx dx 17.求[ˆ,f(ˆ)]?如果电子质量电荷和加速电压分别为则其德布罗意波长19.若Ψ ,...,Ψ,...是体系一系列可能状态则这些态线性叠加Ψ=1 2 nCΨ+CΨ+...+CΨ+... (其中C,C,...,C,...为复常数)也是体1 1 2 2 n n 1 2 n3系一个可能状态（ ）20.设氢原子处于态 3r,,

,

,2 21 10

2

11求氢原子能量、角动量平方、角动量z分量取值情况和相应概率P以与各力学量平均值。量子力学练习题（二）1、简述量子力学主要基本假定。2、何谓系统定态，其主要特征是什么？3测得结果是什么？4、什么是简单（正常）塞曼效应？5、为什么波函数称为体系状态波函数或态函数？6、子自旋角动是电子自转形成（ ）32 x7.在 态下，计算 平均值。8.若ˆ和ˆ满足[ˆ,ˆ]1，求[ˆ2,ˆ2]?2设体系一个未归一化态为Ψ=C1Ψ1CΨ2（其中Ψ1和Ψ2C是两个系数21 2数Ψ归一化常数。[计算ˆˆ，其中是泡利算符，是ˆ[l试证明

lˆˆy z

lˆˆˆˆˆ iy y z z y x xAcos2kx设t=0时，粒子状态为 ，求此时粒子动量可能取值和相应几率，并求粒子平均动量。一个质量为 粒子在宽度为a一维有限深势阱U 0

x0,xaUx 0

0xa中运动，试利用本征值方程ˆˆ2U2x 00E求束缚态能级 0

满足方程。考虑一维线性谐振子，其哈密顿量ˆ

ˆ22

2x2，121求本征值方程为ˆ|nE|n(n1)|n，令ˆ()12(ˆ inn1

nˆ)，ˆ

2()12(ˆ i2

ˆ)（1）

证明：[ˆ,ˆ]1；ˆ|n n|n1，ˆ|n

|n1（2）

若|0是归一化基态矢量(ˆ|00)，则第n化因子N .n量子力学练习题（三）1、氢原子电子云实际是 。2、电子衍射图样是电子之间相互作用造成。（）设ˆ

(x)Qu(x)，(x,t)

(x(xt在Q表象中矩n nn n nn阵表示为 ，归一化条件为以下关于角动量三个分量共同本征态说法中，正确为（ ）（A）三个分量共同本征态是 ；（B）三个分量中，只有两个分量有共同本征态（C三个分量没有共同本征态； 以上都不对。设|nf |n，则n|n' ，|n封闭性条件是 ，力n学量ˆ矩阵元G mn若两个力学量算符不对易，则它们一般没有共同本征态（ ）两电子体系自旋单态波函数为

1，s

1则耦合总角动量s 和 相应耦1 2 2 3合态个数分别为 个和 个。氢原子所有能级都是简并（ ）算符i(xˆˆx)是 （厄米；非厄米）算符。证电子具有自旋试验是 实验。其归

化矩阵表示形式是 。 r Ne

r/a0已知电子波函数为 ，计算电子几率分布最几半径；1氢原子能量量子数是3xAeik1

Be-ikx1已知某个区域内粒子波函数为 （A和为实常数，并且A>B，求粒子几率流密度大小和方向。115.lll证明：ˆˆˆˆiˆ，其中为ˆ动量算符，为ˆ轨道动量算符。15.lll16.粒子在一半径a圆环上“自由”运动，求其能量本征值和本征函数。S17.已知ˆ2Sz

|sms

S2|s,mˆsˆ

s(s1)

2|s,m ，s|s,mm |sm。计算22平均值。z s s s x y两个质量为m非全同粒子处于一维无限深势阱 U0(0xL)((x0,x中运动，求该体系三个最低能态波函数和能级。量子力学练习题（四）1、Davission-Germer实验主要表现出电子具有 ；Compton散射实验表明光子具有粒子性（ 。2、以下哪些概念是经典牛顿力学和量子力学所都有（ ）轨道. （B）测不准关系.(C)自旋. (D) 轨道角动量。3、已知粒子坐标为r，动量p，则[r,p] （是或不是厄米算符。4.处于定态粒子能量是确定（ ）.5、设在球坐标系中粒子波函数为(r,,)，则在球壳（r~rdr）中找到粒子概率 ；在（,）方向立体角中找到粒子概率 。6.体系能量有可能不是量子化（ ）7、已知两个角动量j1

1,j2

2，则其耦合总角动量J可取 。8、以下哪些实验现象不是应用自旋概念也能解释?（ ）光谱线精细结构. （B）Stern-Gerlach实验.(C)塞曼效应.9、归一化后波函数是不唯一。(C)塞曼效应.9、归一化后波函数是不唯一。(D)（夫兰克-赫兹实验。）8称为全同性原理。10.N=3Bose子体系,，设有三个单粒子态分别记为ff 、f ，1 2 3则以下哪些函数不能作为该体系对称化波函数（ ）(A) (q ) (q )(q ) (q )(q )(A) 1 1 2 1 3 1 1 1 1 2 1 3(C) (q(q(q)(q(q(q)1 1 3 2 3 3 1 2 3 1 3 3(q1 3

)(q3

(q3 1(D)

(q(q(q)(q(q(q)1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1(q1 3 2

(q)(q1 3

)(q1 3

(q2

(q)1(q1 2

(q2 1

(q)3

(q1

(q(q3 3 211、计算[x,ˆf(x)ˆ]，ˆ是动量算符x分量，f(x)是坐x标函数。12已是两个角动12

之总角ˆ2ˆ2 。113、关于波函数，有如下几种说法：1波函数在空间某一点强度与粒子在该处出现概率成正比；波函数都是满足归一化；波函数与其一阶导数是连续； (4)波函数是单值以上正确是 。若Ψ （ ）

和Ψ是体系可能状态，则体系有可能处于态Ψ=CΨ0 2 1 0

+CΨ。2 215、以下哪种全同粒子体系波函数具有对称性？（ ）电子； (B)质子； (C)中子； (D)光子。16、设算符ˆ,ˆ分别与表达式[ˆ,ˆ]对易，则证明[ˆ,ˆn]nˆn1[ˆ,ˆ]17、质量为m粒子在宽度为a一维无限深非对称势阱中运动，设在t0时粒子状态为(0)c1 1

c2

c3

c，4 4

(n1,2,3,4)En

时一维c

,c,

是已知常数，求：1 2 3 4在时刻t0时，测量能量，结果小于在时刻t0E平均值。时刻t为时波函数(t)。

2ma2概率。如果在后粒子所处在何种状态？

2ma2，问测量18、已知泡利矩阵为

0 1

0 i

1 0x1 0 1

y

z0 1在自旋1

0

中，计算自旋角动

个分量算符 均方偏差（平方平均值与平均值平方之差。德布罗意提出了什么假说。量子力学练习题（五）1、氢原子能量量子数是3,则其轨道角动量z分量有几种取值?。全同粒子体系波函数具有一定对称性，是来自于全同粒子不可区性（ ）2、证明[ˆ2,

]i(ˆˆˆˆ)，式中ˆ2，ˆ分别为轨道角动量方和动lx量算符。

l l lx关于力学量算符性质，有如下几种说法：（1）是厄米算符； (2)本征值是实数；(3)表示力学量； (4)本征值一定是不连续以上正确是 。自由粒子所处状态只能是平面波。（）Einstein6、测量一个电子自旋z分量，发现为 /2 ，则此种情形下电子自旋分量取值概率是多少。 7、设t 110(r,0)110（1）常数c?；

100

210