理论力学课件六

第十四章动能定理1§14–1力的功§14–2动能§14–3动能定理§14–4功率·功率方程§14–5势力场·势能·机械能守恒定理§14–6动力学普遍定理及综合应用第十四章动能定理2与动量定理和动量矩定理用矢量法研究不同，动能定理用能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运动的研究中有重要的应用，而且是沟通机械运动和其它形式运动的桥梁。动能定理建立了与运动有关的物理量—动能和作用力的物理量—功之间的联系，这是一种能量传递的规律。动力学14-1力的功

力的功是力沿路程累积效应的度量。力的功是代数量。时,正功；时,功为零；时,负功。单位：焦耳（Ｊ）；一．常力的功3二．变力的功

力在曲线路程中作功为（自然形式表达式）（矢量式）（直角坐标表达式）动力学元功：4三．合力的功质点M受n个力作用合力为则合力的功即在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和。动力学5四．常见力的功

1．重力的功质点系：

质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。动力学质点：重力在三轴上的投影：62．弹性力的功弹簧原长，在弹性极限内k—弹簧的刚度系数，表示使弹簧发生单位变形时所需的力。N/m,N/cm。。弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关，而与质点运动的路径无关。动力学7作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。若m=常量,则注意：功的符号的确定。3．万有引力的功万有引力所作的功只与质点的始末位置有关，与路径无关。动力学如果作用力偶，m,且力偶的作用面垂直转轴

4．作用于转动刚体上的力的功，力偶的功设在绕z轴转动的刚体上M点作用有力，计算刚体转过一角度时力所作的功。M点轨迹已知。8正压力，摩擦力作用于瞬心C处，而瞬心的元位移(2)圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功(3)滚动摩擦阻力偶m的功

5．摩擦力的功(1)动滑动摩擦力的功N=常量时,W=–f´NS,与质点的路径有关。动力学若m=常量则9五．质点系内力的功

只要A、B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零。

不变质点系的内力功之和等于零。刚体的内力功之和等于零。不可伸长的绳索内力功之和等于零。动力学10六．理想约束反力的功约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。1．光滑固定面约束2．活动铰支座、固定铰支座和向心轴承3．刚体沿固定面作纯滚动4．联接刚体的光滑铰链（中间铰）5．柔索约束（不可伸长的绳索）

动力学拉紧时，内部拉力力的元功之和恒等等于零。11§14-2动能物体的动能是由于于物体运动而具有有的能量，是机械械运动强弱的又一一种度量。一．质点的动能二．质点系的动能能动力学瞬时量,与速度方向无关的正标量,具有与功相同的量纲,单位也是J。对于任一质点系：（为第i个质点相对质心的速度）柯尼希定理12（P为速度瞬心）1．平动刚体2．定轴转动刚体3．平面运动刚体动力学三．刚体的动能13§14-3动能定理1．质点的动能定理理：因此动能定理的微分形式将上式沿路径积分，可得动能定理的积分形式动力学两边点乘以，有14对质点系中的一质质点：：即质点系动能定理的微分形式质点系动能定理的积分形式在理想约束的条件下，质点系的动能定理可写成以下的形式动力学对整个质点系，有2．质点系的动能定定理将上式沿路径积积分，可可得15[例1]图示系统中,均质圆盘A、B各重P，半径均为R,两盘中心线为水平平线,盘A上作用矩为M(常量)的一力偶；重物D重Q。问下落距离h时重物的速度与与加速度。(绳重不不计，，绳不不可伸伸长，，盘B作纯滚滚动，，初始始时系系统静静止)动力学学16解：取系系统为为研究究对象象上式求求导得得：动力学学17动能定定理的的应用用练习习题1．图示示的均均质杆杆OA的质量量为30kg，杆在铅铅垂位位置时时弹簧簧处于于自然然状态态。设设弹簧簧常数数k=3kN/m，为使杆杆能由由铅直直位置置OA转到水水平位位置OA'，在铅直直位置置时的的角速速度至至少应应为多多大？？解：研究究OA杆由动力学学182．行星星齿轮轮传动动机构构,放在水水平面面内。。动动齿轮轮半径径r,重P,视为均均质圆圆盘；；曲柄柄重Q,长l,作用一一力偶偶,矩为M(常量),曲柄由由静止止开始始转动动；求求曲曲柄的的角速速度(以转角角的函数数表示示)和角加加速度度。动力学学解：取整整个系系统为为研究究对象象根据动能定理，得将式对t求导数数，得得193．两根根均质质直杆杆组成成的机机构及及尺寸寸如图图示；；OA杆质量量是AB杆质量量的两两倍，，各处处摩擦擦不计计，如如机构构在图图示位位置从从静止止释放放，求求当OA杆转到铅垂位置时时，AB杆B端的速度。动力学解：取整个系统为研研究对象20§14-4功率·功率方程

一．功率：力在单位时间内所作的功（它是衡量机器工作能力的一个重要指标）。功率是代数量，并有瞬时性。作用力的功率：力矩的功率：功率的单位位：瓦特（（W），千瓦（kW），１W=１J/s。动力学21二．功率方程：由的两边同除以dt得动力学分析：起动阶段（加速）：即制动阶段（减速）：即稳定阶段（匀速）：即机器稳定运行时，机械效率是评定机器质量量优劣的重要指指标之一。一般般情况下＜１。22§14-5势力场、势能、、机械能守恒定定律一．势力场1．力场：若质点在某空空间内的任何位位置都受到一个个大小和方向完完全由所在位置置确定的力的作作用，则此空间间称为力场。动力学重力场、万有引引力场、弹性力力场都是势力场场。质点在势力场中中受到的场力称称为有势力(保守力),如重力、弹力等等。2．势力场：在力场中,如果作用于质点点的场力作功只只决定于质点的的始末位置，与与运动路径无关关，这种力场称称为势力场。23二．势能在势力场中,质点从位置M运动到任选位置置M0,有势力所作的功功称为质点在位位置M相对于位置M0的势能，用V表示。M0作为基准位置，，势能为零，称称为零势能点。。势能具有相对对性。是坐标的单值连续函数。等势面：质点位位于该面上任何何地方，势能都都相等。质点系的势能：动力学241.重力场质点：质点系：2.弹性力场：取弹簧的自然位置为零势能点3.万有引力场：取与引力中心相距无穷远处为零势能位置有势力的功等于于质点系在运动动的始末位置的的势能之差。动力学三．有势力的功在M1位置：

M2位置：M1→M2：25设质点系只受到到有势力(或同时受到不作作功的非有势力力)作用，则—机械能守恒定律对非保守系统，设非保守力的功为W12'

,则有动力学四．机械能守恒恒定律机械能：系统的的动能与势能的的代数和。这样的系统成为为保守系统。[例1]长为l，质量为m的均质直杆，初瞬时直立于光滑的桌面上。当杆无初速度地倾倒后，求质心的速度（用杆的倾角和质心的位置表达）。26解：由于水平方向向不受外力，且初始静止，故故质心C铅垂下降。由于约束反力不不作功,主动力为有势力力，因此可用机械能能守恒定律求解解。由机械能守恒定律：将代入上式，化简后得动力学初瞬时：任一瞬时：27§14-6动力学普遍定理理及综合应用动力学普遍定理理包括质点和质质点系的动量定定理、动量矩定定理和动能定理理。动量定理和动量量矩定理是矢量量形式，动能定定理是标量形式式，他们都可应应用研究机械运运动，而动能定定理还可以研究究其它形式的运运动能量转化问问题。动力学普遍定理理提供了解决动动力学问题的一一般方法。动力力学普遍定理的的综合应用，大大体上包括两方方面的含义：一是能根据问题题的已知条件和和待求量，选择择适当的定理求求解，包括各种种守恒情况的判判断，相应守恒恒定理的应用。。避开那些无关关的未知量，直直接求得需求的的结果。二是对对比较复杂的问问题，能根据需需要选用两、三三个定理联合求求解。求解过程中,要正确进行运运动分析,提供正确的运运动学补充方方程。动力学28举例说明动力力学普遍定理理的综合应用用：[例1]两根均质杆AC和BC各重为P，长为l，在C处光滑铰接，，置于光滑水水平面上；设设两杆轴线始始终在铅垂面面内，初始静静止，C点高度为h，求铰C到达地面时的的速度。动力学29讨论动量守恒恒定理＋动能能定理求解。。计算动能能时，利用平平面运动的运运动学关系。。动力学解：由于不求系统的内力，可以不拆开。研究对象：整体分析受力：，且初始静止，所以水平方向质心位置守恒。代入动能定理理：30[例2]均质圆盘A：m，r；滑块B：m；杆AB：质量不计，平行于斜斜面。斜面倾倾角，摩擦系数f，圆盘作纯滚动动，系统初始始静止。求：：滑块的加速速度。动力学解：选系统为为研究对象运动学关系：由动能定理：对ｔ求导，得31[例3]重150N的均质圆盘与与重60N、长24cm的均质杆AB在B处用铰链连接接。系统由由图示位置无无初速地释放放。求系统经过最低低位置B'点时的速度及及支座A的约束反力。。解：（1）取圆盘为研研究对象，圆盘平动。动力学32（2）用动能定理理求速度。取系统研究。。初始时T1=0，最低位置时：：代入数据，得动力学33（3）用动量矩定定理求杆的角角加速度。由于所以＝0。动力学杆质心C的加速度：盘质心加速度度：（4）由质心运动动定理求支座座反力。研究整个系统统。代入数据，得得34相对质心动量矩守守恒定理+动能定理+动量矩定理+质心运动定理。可用对积分形式的的动能定理求导计计算，但要注意需取取杆AB在一般位置进行分析析。动力学

[例4]

基本量计算(动量,动量矩,动能)35[例５]质量为m的杆置于两个半径为r，质量为的实心圆柱上，圆柱放在水平面上，求当杆上加水平力时，杆的加速度。设接触处都有摩擦，而无相对滑动。动力学