复变函数第三章

复变函数第三章第一页，共四十五页，2022年，8月28日§1复变函数积分的概念1.1积分的定义有向曲线设函数w=f(z)定义在区域D

内，C

为D

内起点为A，终点为B

的一条光滑的有向曲线，在C

上从A

到B

依次取分点：在弧上任意取一点作和式z1z3zkz2z0=Az1z2z3...zk-1B=z1xyOzk第二页，共四十五页，2022年，8月28日3当n

趋于无穷时，不论对C

的分法及对的取法如何，只要趋于零，若有唯一极限，则称此极限值为f(z)沿C

的积分.记作注若C为闭曲线，则沿C的积分记作若C

是实轴上的闭区间，而f(z)是一个一元实函数，则复积分的定义和一元实函数定积分的定义是一致的.第三页，共四十五页，2022年，8月28日4复积分的基本性质第四页，共四十五页，2022年，8月28日5例设C为从点i到点3+4i的直线段，试求积分绝对值的一个上界.如何计算复积分？第五页，共四十五页，2022年，8月28日6复积分存在的必要条件若函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)沿（按段）光滑曲线C：

连续，则f(z)沿C

可积，且成立第六页，共四十五页，2022年，8月28日7注形式上看，例分别沿y=x与y=x2计算如下积分：第七页，共四十五页，2022年，8月28日8变量替换公式例分别沿y=x与y=x2计算如下积分：第八页，共四十五页，2022年，8月28日9Oxy例计算，其中C的正向圆周，n

为整数.为以z0

为中心，r

为半径Oxy例计算的值，其中C为1）沿直线段2）沿折线段例计算其中C

为从原点到点3+4i的直线段.第九页，共四十五页，2022年，8月28日解：直线段C

的方程：或z=3t+i4t,

0≤t≤1则在

C上dz=(3+4i)dt，从而与积分路线C无关，只与端点有关.第十页，共四十五页，2022年，8月28日11Oxy例计算，其中C的正向圆周，n

为整数.为以z0

为中心，r

为半径解：C

的方程：第十一页，共四十五页，2022年，8月28日12第十二页，共四十五页，2022年，8月28日13Oxy例计算的值，其中C为1）沿直线段2）沿折线段第十三页，共四十五页，2022年，8月28日14§2柯西-古萨基本定理柯西-古萨基本定理设函数f(z)在单连通区域B

内处处解析，则f(z)沿B内的任一条封闭曲线C的积分为零：注条件若改为f(z)在闭区域上解析，其中曲线C为单连通区域B

的边界，结论仍成立.第十四页，共四十五页，2022年，8月28日柯西-古萨基本定理设函数f(z)在单连通区域B

内处处解析，则f(z)沿B内的任一条封闭曲线C的积分为零：注条件若改为f(z)在单连通区域D上解析，且在其边界C上连续，结论仍成立.CC第十五页，共四十五页，2022年，8月28日16Oxy例计算的值，其中C为1）沿直线段2）沿折线段第十六页，共四十五页，2022年，8月28日计算复积分的方法：找出f(z)的实部和虚部写出积分曲线的参数方程

f(z)在单连通区域内解析且连续到边界C第十七页，共四十五页，2022年，8月28日§3基本定理的推广——复合闭路定理复合闭路定理

设C为多连通域D

内的一条简单闭曲线，是在C

内部的简单闭曲线，它们互不包含也互不相交，并且以

为边界的区域全含于D，若f(z)在D

内解析，则CC2C3C1简化条件：若f(z)在多连通区域D

内解析，并连续到其边界第十八页，共四十五页，2022年，8月28日CC1二连通情形：第十九页，共四十五页，2022年，8月28日20Oxy例计算，其中为包含z0

的任意一条简单闭曲线，n

为整数.解：第二十页，共四十五页，2022年，8月28日求型积分的步骤：第二十一页，共四十五页，2022年，8月28日xy第二十二页，共四十五页，2022年，8月28日23定理一若函数f(z)在单连通区域B

内解析，则定理二

设函数f(z)在单连通区域B

内解析，则函数F(z)在B

内解析，且F′(z)=f(z).§4原函数与不定积分与连接起点和终点的路线C

无关.第二十三页，共四十五页，2022年，8月28日由充分小及在小领域内的一致连续性第二十四页，共四十五页，2022年，8月28日25原函数

在若函数在区域

B内的导数等于f(z)，即则称为f(z)在区域

B内的原函数.注定理二中的F(z)就是f(z)的一个原函数.不定积分f(z)的原函数的一般表达F(z)+c(c

为任意复常数)为f(z)的不定积分，记作定理三

（牛顿-莱布尼兹公式）若函数f(z)在单连通区域B

内解析，

是f(z)的任一原函数，则第二十五页，共四十五页，2022年，8月28日26原函数：原函数：第二十六页，共四十五页，2022年，8月28日计算复积分的方法：第二十七页，共四十五页，2022年，8月28日28§5柯西积分公式（复合闭路定理）（积分估值）第二十八页，共四十五页，2022年，8月28日29定理（柯西积分公式）若函数

f(z)在区域D内解析，C为D内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，z0

为C

内的任一点，则注条件改为

f(z)在简单闭曲线

C的内部解析且连续到边界，则结论仍成立.或第二十九页，共四十五页，2022年，8月28日30在上述定理中，若C

代表圆周：，则即一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的值的平均数.（解析函数平均值定理）例求下列积分的值：第三十页，共四十五页，2022年，8月28日31解：由函数

f(z)=sinz

在

z平面上解析，且z=0含于内部，则根据柯西积分公式，第三十一页，共四十五页，2022年，8月28日32(z=-1,z=3含于内部)第三十二页，共四十五页，2022年，8月28日xy第三十三页，共四十五页，2022年，8月28日第三十四页，共四十五页，2022年，8月28日35§6解析函数的高阶导数定理解析函数

f(z)的导数仍为解析函数，它的

n阶导数为：其中C

为解析区域D

内围绕z0

的任何一条正向简单曲线，且它的内部全含于D.注一个解析函数具有无穷阶导数，且它们也是解析的.第三十五页，共四十五页，2022年，8月28日36例求下列积分的值，其中C

为正向圆周：B

内任何一条简单闭曲线C

都有例设函数

f(z)在单连通区域B

内连续，且对证明f(z)在B

内解析.（Morera定理）第三十六页，共四十五页，2022年，8月28日37定理（柯西积分公式）若函数

f(z)在区域D内解析，C为D内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，z

为C

内的任一点，则注条件改为

f(z)在简单闭曲线

C的内部以及C上解析，则结论仍成立.或第三十七页，共四十五页，2022年，8月28日38定理（高阶导数公式）解析函数

f(z)的导数仍为解析函数，它的

n阶导数为：其中C

为解析区域D

内围绕z0

的任何一条正向简单曲线，且它的内部全含于D.注一个解析函数具有无穷阶导数，且它们也是解析的.第三十八页，共四十五页，2022年，8月28日39§7解析函数与调和函数的关系调和函数若二元实函数H(x,y)在区域D

内具有二阶连续偏导，且满足Laplace方程则称H(x,y)为D

内的调和函数.第三十九页，共四十五页，2022年，8月28日定理任何在区域D

内解析的函数，它的实部和虚部都是D

内的调和函数.证：设D

内的解析函数则两等式分别关于x,y求偏导由解析函数高阶导数定理知，u和v具有任意阶连续偏导，故从而同理因此u和v调和.第四十页，共四十五页，2022年，8月28日41共轭调和函数区域D

内满足C.-R.方程的两个调和函数u,v

中，v称为u在区域D

内的共轭调和函数.注区域D

内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.u+iv

=f(z)调和解析为

u的共轭调和函数第四十一页，共四十五页，2022年，8月28日42例

验证u(x,y)=y3-3xy2

是调和函数，并求以u(x,y)为实部的解析函数f(z).例

已知一调和函数