高数下课件ch9-2一阶微分方程

F(x,y,y) yf(x, f(x,y)g(x)h(y)，dyg(x)h(dy

dyf(x,y)改写 g(x)dx两边积分得

g(x)dx例1求微分方程y

(1y2)(1x2)

满足条件y(0)1即 dy 1即 1

2ydy 2xdx1 1

ln(1y2)ln(1x2)lnC1y2C(1x2 y(0)1， C 1y22(1x2注 在方程中，１xln注 x 求微分方程yexyex0

yex

e dyex(ey1)

dy

xdx ln(1ey)ex ey1exp(exC yln[1exp(exC,(t0速度为零解v(t)．同时受到重力P与阻力R的作用． Pmg，方向与v一致； Rkv，方向与v相反；

RP

FmgF (a为加速度 mdvmg 即

1ln(mgkv)tC mmgkvektkm vk

k Ce (C k k v(0)0，代入上式

Cmkm

vk

(1ekt

dyf(x,y)若fx,y)

， ，x

dyx x

1 x1xdy

x2y2sin

1(y)2sin x dyf(x,y)g(y uy

yxu，dyux， ， uxdug(u)

dug(u) g(u)

dxg(u) u(x,C

y(x,Cx例 y2x2dyxydy

dy

xyx

(y)2 x u

yxx

ux du

ux

x

(11)dudx ulnuClnx， ln(xu)u

lnyyCx

f(x,y)

y

vxy 齐次方程实际是指关于次数相齐,5x2y2dy2xydx0满足y(0)1 v y

xvy，dxydvv (v2y2y2)dy2vy2(ydvvdy) (y (v21)dy2vy

dy2vdv v2 ln(v21)lny

v21y x2y2Cy；又因y(0)1，得C所以所求特解 x2y21xy uxydu1

du

2uduu22x(xy4)22xC(xy1)dx(4yx1)dy xsh，ytk，则 dxds，dydt，(sthk1)ds(4ts4kh1)dt

hk14kh1

h1，kxs1，yt，，(st)ds(4ts)dt， dt

tss

ut，

dtussd 4ts

d d 4u2于是方程化为u d 4u4u1du

d 4u

4u2 ln(4u21)arctan(2u)Cln lns2(4u21)arctan(2u)即

ln(4t2s2)

t)C，ln[4y2(x1)2]arctan(2y)Cx dyf(a1xb1yc1 a2xb2y xsh，ytk，将方程化为齐次方程a1hb1kc1

ahbk

形如dyPx)yQx的方程，称为一阶线性方程 P(x)、Q(x) 是连续的，Q(x)称为自由项． Q(x)0 dyPxy0称为 Q(x) 时，称为一阶线性非齐次方程

dyP(x)y0dyP(x)dx

dyP(x)y lnyP(x)dxy yCeP(x)例 求微分方

dy3y0dy3

dyy

lny3xln yCe3 (C为任意常数另解：(直接套 P(x)

yCe3dxCe3

(C为任意常数dyP(x)yQ( (Q(x) yu(x)eP(x)dx，yu(x)eP(x)dxu(x)eP(x)dx[P(将yy(1u(x)eP(x)dxu(x)eP(x)dx[P(x)]P(x)u(x)eP(x)dxQ( u(x)eP(x)dxQ(x)，

u(x)Q(x) u(x)Q(x)eP(x 方 dyP(x)yQ( yeP(x)dxQ(x)eP(x)dxdxC 常数变易(戏P(x)eP(x)dxQ(x)eP(x)dxy 结论例 3ye例 y(1) P(x)3Q(x)e3x ye3dxe3xe3dxdxC e3x[e3xe3xdxC]e3x[xC]由于y(1)0，得y(1)e3[1C0，即C ye3x(x例例xyycos y1ycos ，Px)1Qx)os，

1

y

ex dxC elnxcosxelnxdxC 1cosxdxC

1(sinxCx例例yyx dxx

1xy dx1x

1

x ye

y[yelnydyy(yC dyP(x)yQ(x) (n0,

(2式两端同乘以yn(1n)yndy(1n)P(x)y1n(1n)Q(x)

dy1n(1n)yndy， z 则(2式化为dz(1n)Pxz(1nQ

y1n e(n1)P(x)dx(1n)Q(x)e(1n)P(x)dxdxC 例例yyx3

3yy3

2 y3y 2

y3 3 1 zy3，

y

dz2z2 2dx

2x

2 y3ze

xe 33

dxCe

xe33

dxC2x

2

2 2 e xe

e

CCe x 例例(y3x2xy)y dx