五法求二面角

五法求二面角一定法从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面这直线叫做二面角的,这两个半平面叫做二面角的面在上取点分在两面内引两条射线与棱垂直这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种规律1中从二面角S—AM中平面ABM上的一已知点（B）向棱AM作垂线，得垂足另一半平面ASM内过该垂足F）作棱AM垂线（如GF两垂线（、GF便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例2009国卷Ⅰ理）如图，四棱锥ABCD中底面矩形，底ABCD，ADSD2

，点M侧棱

上，

ABM

=60°（I）证明M侧棱的中点SAMB的余弦值。（II）求二面角证（I略（II面角的定义等边三角形

中过点

作

BFAM

交

AM

于点

F

点

F

为AM的点F点平面内

GFAM

，GF交AS于G连结AC∵△ADC≌ADS∴AS-AC且M是SC的点，

G

F∴AM⊥，GF⊥AM，∴GF∥AS，又∵

F

为AM的点，∴GF是△的位线，点G是AS的点。则

即为所求二面角.∵

SM

，则

22

，又∵

AC，AM∵

，

60

0

∴△

∴

BF

在△GAB中

62

，AB，GAB

0

，∴

BG

3112cosBFG

FBGF

6633

G

F

1111练习（2008山）如图，已知四棱锥-ABCD底面ABCD为形，PA⊥平面ABCD60

E，分别是,的中.（Ⅰ）证明⊥PD;（Ⅱ）若H为PD上的动点EH与平面成最大角的正切值为

62

，求二面角——的弦分第1题易发现可过⊥AD后推⊥面APD，使命题获证，而第2题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后虑到运用在二面角的棱上到可计算二面角的平面角的顶点S，两SC进而计算二面角的余弦值案：二面角的余弦值为二三线

155

）三垂线定理在平面内的一条直线果和这个平面的一条斜线的射影垂直么也和这条斜线垂直．通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角大小。本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如（例）过二面角B-FC中半平面BFC的一已知点B另一半平面的线，得1足；再过该垂足O作的线，得垂足，结1起点与终点得斜线段PB成三垂线定理的基本构

A

1

D

1

C

1

B

1图（斜线、垂线BO、射影OP解直角三角形求二面角的度数。例．(2009山东卷理如图，在直柱

E

1

E

D

CABCD-ABD中，底面ABCD为腰梯形，1

ABAB//CDAB=4,BC=CD=2,AAEE、分是棱、AA、AB的点。1（1证明：直线EE//平面；（2求二面角-C的弦值。证（）略解（）因为BC=CD=2,、是AB的所以BF=BC=CF,△为正三角形,CF的中点则⊥

D

1

C

1又因为直四棱柱D中CC⊥平面所11

A

1

F1

B

1以CC⊥所⊥平面CC过在面F内1OPC垂足为P,连接BP,∠二面角的一

E

1

E

D

O

C个平面角,在为正三角形

OB

在eq\o\ac(△,Rt)CCF1

A

B

22中△∽△CC∵

OPOFCCF1

12∴22

,在eq\o\ac(△,Rt)OPF中

OP

2

OB

2

11422

7

所以7二面角-C的弦值为7练习（2008天）如图，在四棱锥

PABCD

中，底面

ABCD

是矩形．已知

ADPAPAB

．（Ⅰ）证明AD平；（Ⅱ）求异面直线与AD所成的角的小；（Ⅲ）求二面角

BDA

的大小的正切值．分本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题证明⊥平面PAB后，容易发现平面PAB⊥面ABCD，点P就二面角P-BD-A的平面上的一个点，于是可过点作棱的垂再作平面ABCD的垂线是可形成三垂线定理中的斜线与射影内容而可得本解法案二面角

BDA的大小

394

）三补法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时将两平面的图形补充完整之有明确的交（称为补棱借前的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决例（2008湖）如图所示，四棱锥的面ABCD

是边长为的菱形，BCD°是的中点⊥底面ABCDPA＝2.（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面;（Ⅱ）求平面和平面所二面角（锐角）的正

A

DB

E

C弦值分析：本题的平面PAD和平面PBE没有明确的交线，依本法显然要补充完整（延长ADBE相于点F连结PF）再在完整图形中的P上一个适合的形成二面角的平面角解之）略解（）延长、BE相于点F，结PF.过点作⊥PB于H，由（Ⅰ）知

平面PBE⊥平面所以AH⊥面在eq\o\ac(△,Rt)中，因为∠＝°，所以，AF=2=2=在等腰eq\o\ac(△,Rt)中取PF中点G连接

H

GD

FA

B

C

00则AG⊥.连结HG由三垂线定理的逆定理得，⊥所以∠是面PAD和平面PBE成二面角的平面角（锐角.在等腰eq\o\ac(△,Rt)中

22

在eq\o\ac(△,Rt)中AB

AB2AB

2

25所

以

，

在

Rt

△

AHG

中，AHsinAGHAG

5

C

1

A

1

B

1练习已知斜三棱柱ABCABC的棱长都是，1侧棱与底面成60的，侧面BCCB⊥底面ABC。11（1求证AC⊥；1（2求面与平面ABC所成的二面（锐1角）的大小。提示：本题需要补棱，可过A点CB的行线L（答案：所成的二面角为45）

ACB

L四、射影面积法（

q=

s射影S

）凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式

SS

射斜

）求出二面角的大小。例北京理）如图，在三棱PABC中，

PBC2，

，

，

AC

．

A

B（Ⅰ）求证：AB；（Ⅱ）求二面角BAP

的余弦值；

C分析题要求二面角B—APC的小果利用射影面积法解题难到在平面ABP与平面中立一对原图形与射影形并分别求出与于是得到下面解法。解）证略（Ⅱ）

BC

，

BP

，

eq\o\ac(△,)≌△

．又又

AC，．ACB90，即AC，

，

E

PBC面PAC．取AP中E．结BECE

．

A

BC

BP，BE

．是BE在面PAC内射影，

．∴△是△在面内射影，于是可求得：

BPAC

2

2

2，BEAB

2

AE

2

，AEEC2则S射ACE

1222

，S

原

112622设二面角

BAP

的大小为

，则cos

SS

射原

13

D

C练习4：如图5E为方体ABCDABD的11

A

B棱CC的点，求平面E和面ABD所成锐角1111

E的余弦值.

D

1

C

1分

平面ABE与面ABD交即二面角的111

A

1

B

1棱没有给出，要找到二面角的平面角，则必须先作两个平

图5面的交线给题带来一定的难度虑到三角形AB1在平面ABD上射影是三角形AB而得两个三角形的面积即可求得二面角的111大小。（答案：所求二面角的余弦值为cos=五、向法

23

）向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法说有的立体几何题都可以用向量法求解用向量法立体几何题时常要建立空间直角坐标系写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。例2009天津卷理）如图，在五面体中，FA

平面ABCD,，AD，MEC的点(I)求异面直线BF与DE所的角的大小；

12

AD(II)证平面AMD

平面CDE；求二面角的弦值。现在我们用向量法解答：如图所示，建立空间直角坐标系，以点A为坐标原点得D

B

M（I）

解于cosBF

01BF所以异面直线DE所成的角的大小为.1（II）明由AM2

，因AMAD.AMADA面而C平，以平面A平DE.（III）

解：设平面DE的向量为ux，y，，则令可得y0.又由题设，平面的一个法向量为

v练习2008湖北）如图，在直三棱柱（Ⅰ）求证：AB；

BC中平面侧ABB11

（Ⅱ）若直线

与平面

BC1

所成的角为

二角的大小为，试判断与的大小关系，1并予