概率论7期望方差中心极限课件

r.v.的平均取值——数学期望

r.v.取值平均偏离均值的情况—描述两r.v.间的某种关系的数

——协方差与本章内容随机变量某一方面的概率特性都可用数字来描写分布函数能完整地描述r.v.的统计特性,但实际应用中并不都需要知道分布函数,而只需知道r.v.的某些特征.如:判断棉花质量时,既看纤维的平均长度,又要看纤维长度与平均长度的偏离程度。平均长度越长,偏离程度越小,质量就越好;考察一射手的水平,既要看平均环数是否高,还要看他弹着点的范围是否小,即数据的波动是否小.可见,与r.v.有关的某些数值,虽不能完整地描述r.v.,但能清晰地描述r.v.在某些方面的重要特征,这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义.4.1随机变量的数学期望例1某一班级有N个学生,进行数学期终考试,成绩统计如下:求全班数学的平均成绩.(其中N1+N2+…+Nk=N)一、数学期望的定义1.离散型r.v.数学期望的定义解设X为获奖的数值,则X的分布律为例2在有奖销售彩票活动中,每张彩票面值2元,一千万张设有一等奖20名,奖金20万或红旗轿车；二等奖1000名,奖金3000元或25寸彩电；三等奖2000名,奖金1000元或洗衣机；四等奖100万名,奖金2元,问买一张彩票获奖(收益)的数学期望是多少？EX=200000×20/10000000+3000×1/10000+1000×2/10000+2×100/1000=1.1000(1)分别化验每个人的血,共需化验n次；(2)分组化验,k个人的血混在一起化验,若结果为阴性,则只需化验一次;若为阳性,则对k个人的血逐个化验,找出有病者,此时

k个人的血需化验k+1次.设每人血液化验呈阳性的概率为p,且每人化验结果是相互独立的.试说明选择哪一方案较经济.例3为普查某种疾病,n个人需验血.验血方案有如下两种：解只须计算方案(2)所需化验次数的期望.为简单计,不妨设n是k的倍数，共分成n/k组.设第i组需化验的次数为Xi,则Xi

P1k+1例4

X~B(n,p),求E(X)

.解特例若Y~B(1,p)(两点分布),则E(Y)=p=np=np例5

X~P(

),求E(X)

.例6甲乙两个射手的技术统计如下：P甲X89100.30.10.6P乙Y89100.20.50.3甲、乙两个射手谁的水平高？设连续r.v.X的d.f.为f(x)若广义积分绝对收敛,则称此积分为X的数学期望,记作E(X),即数学期望的本质——加权平均,它是一个数,不是r.v.定义2、连续型r.v.数学期望例9

X~N(,2),求E(X)

.解——概率积分[注]常见

r.v.

的数学期望分布期望概率分布参数为p的0-1分布pB(n,p)npP()分布期望概率密度区间(a,b)上的均匀分布Exp()N(,2)EX1：设随机变量X的分布律为解:求随机变量Y=X2的数学期望XPk-101YPk10二、r.v.函数Y=g(X)的数学期望设离散r.v.X

的概率分布为

若无穷级数绝对收敛，则绝对收敛,则设连续r.v.的p.d.f.为f(x),若广义积分注：若g(x)=x,则根据定理1，有这与定义是一致的。定理1.1.E(C)=C2.E(aX)=aE(X)3.E(X+Y)=E(X)+E(Y)4.当X,Y独立时，E(XY)=E(X)E(Y).常数线性性质三、数学期望的性质逆命题不成立，即若E(XY)=E(X)E(Y)，X,Y不一定独立证4:设(X,Y)~f(x,y)，X,Y独立数学期望的应用应用1据统计65岁的人在10年内正常死亡的概率为解0.98,因事故死亡概率为0.02.保险公司开办老人事故死亡保险,参加者需交纳保险费100元.若10年内因事故死亡公司赔偿a元,应如何定a,才能使公司可期望获益;若有1000人投保,公司期望总获益多少?设Xi

表示公司从第i个投保者身上所得的收益,i=1~1000.则Xi~0.980.02100100应用2市场上对某种产品每年需求量为X吨，X~U[2000,4000],每出售一吨可赚3万元,售不出去，则每吨需仓库保管费1万元，问应该生产这中商品多少吨,才能使平均利润最大？

解设每年生产y吨的利润为Y显然，2000<y<4000解即可以验证，零件的平均利润最大.故时,销售一个几个重要的r.v.函数的数学期望——X的k阶原点矩——X的k阶绝对原点矩——X的k阶中心矩——X的方差[附录]——X,Y的k+l阶混合原点矩——X,Y的k+l阶混合中心矩——X,Y的二阶原点矩——X,Y的二阶混合中心矩

X,Y的协方差——X,Y的相关系数作业：P81——4，5，

7，9，10概率积分因为：返回方差随机变量的数学期望体现了随机变量取值的平均水平,是随机变量的一个重要的数字特征.但在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.

如某零件真实长度为a,现用甲、乙两台仪器各测量10次,将测量结果X用坐标上的点表示如图：哪台仪器好一些?乙仪器测量结果

甲仪器测量结果较好测量结果的均值都是

a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果乙炮射击结果乙较好因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.

为此需引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.这就是我们这一讲要介绍的方差——衡量随机变量取值波动程度的一个数字特征.？如何定义？引例甲、乙两射手各发6发子弹,击中的环数分别为：甲10,7,9,8,10,6,乙8,7,10,9,8,8,问哪一个射手的技术较好？再比较稳定程度甲:乙:乙比甲技术稳定，故乙技术较好.解

首先比较平均环数甲=8.3,乙=8.3甲10,7,9,8,10,6,乙8,7,10,9,8,8,进一步比较平均偏离平均值的程度甲乙

E[X-E(X)]2若E[X-E(X)]2存在,则称其为随机称为X的均方差或标准差.定义

即D(X)=E[X-E(X)]2

变量X的方差,记为D(X)或Var(X)两者量纲相同D(X)——描述r.v.X的取值偏离平均值

的平均偏离程度——

数4.2方差一、方差的定义若X为离散型r.v.，分布律为若X为连续型r.v.,概率密度为f(x)计算方差的常用公式：证:r.v.X的取值为xi,P{X=xi}=1/n2.EX的取值相当于物理学上作一条直线，使所有的点均匀分布在直线的两边;1.方差非负，即DX0；x1x2x3x4x5x6x7xn

1234567n

EX3.DX的取值相当于平均误差；4.DX=0的充分必要条件为r.v.X的取值为常数.例1：设随机变量X的概率密度为1)求D（X）,2)求1.D(c)=02.D(cX)=c2D(X)D(c1X+c2

)=c12D(X)3.特别地，若X,Y相互独立，则二、方差的性质证1:证2:证3:当X,Y相互独立时，而推论:若X1,…,Xn相互独立,a1,a2,…,an,b为常数.则若X,Y相互独立4.对任意常数C,D(X)

E(X–C)2,当且仅当C=E(X)时等号成立D(X)=0P(X=E(X))=1称为X依概率1等于常数E(X)证4:当C=E(X)时，显然等号成立；当CE(X)时，4.对任意常数C,D(X)E(X–C)2,当且仅当C=E(X)时等号成立常数a1.二项分布B(n,p)：二、几个重要r.v.的方差设第i次试验事件A发生第i次试验事件A不发生则服从两点分布的随机变量,其方差为pq2.泊松分布P()：3.均匀分布U(a,b)：4.指数分布Exp()：5.正态分布N(,2)常见随机变量的方差分布方差概率分布参数为p的0-1分布p(1-p)B(n,p)np(1-p)P()分布方差概率密度区间(a,b)上的均匀分布Exp()N(,2)则正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，独立，ci为常数，

例4已知X服从正态分布,E(X)=1.7,D(X)=3,Y=1–2X,求Y的密度函数.解

在已知某些分布类型时,若知道其期望和方差,便常能确定分布.标准化随机变量设随机变量X的期望E(X)、方差D(X)都存在,且D(X)0,则称为X的标准化随机变量.显然，例8已知X的d.f.为其中A,B是常数，且E(X)=0.5.求A,B;(2)设Y=X2,求E(Y),D(Y)解(1)(2)作业：P87—13，14，

16，185.2中心极限定理在客观实际中有许多随机变量，它们是由大量相互独立的随机因素的综合效应所形成的，而其中的每一个单个因素在总的效应中所起的作用都是微小的。这类随机变量往往近似地服从正态分布。在概率论中，论证随机变量和的极限分布是正态分布的一系列定理统称为中心极限定理。下面介绍常用的三个中心极限定理。定理1(同分布的中心极限定理——列维-林德伯格定理)设随机变量X1,X2,…

Xn,…相互独立同分布且具有有限的数学期望和方差,则随机变量的分布函数Fn(x)对任意x，满足注:作为定理1的推广，我们有下面的定理定理2（李雅普诺夫定理）设随机变量X1,X2,…

Xn,…

相互独立，且具有有限的数学期望和方差：若每个Xi对总和∑Xi影响不大，记的分布函数对任意的x，满足则随机变量定理2表明,不论各个随机变量具有怎样的分布,只要满足定理2条件,它们的和当n很大时,就近似地服从正态分布在很多问题中,所考虑的随机变量都可表示成若干独立的随机变量之和.它们往往近似地服从正态分布.在后面将学的数理统计中,我们会看到,中心极限定理是大样本统计推断的理论基础。作为定理1的特殊情况，我们给出下面的定理定理3（德莫佛—拉普拉斯定理）设随机证X可以看作n个相互独立,服从相同(0-1)分布的随机变量X1,X2,…,Xn之和:X=X1+X2+…+Xn

其中由于则定理1中的化为，故由定理1可得上述结论。变量X服从二项分布B(n,p),则有定理3表明,当n充分大时,二项分布B(n,p)可近似地用正态分布N(np,)来代替.下面举两个关于中心极限定理的应用的例子。因此,当X~B(n,p),且n充分大时,有(其中q=1-p)解设一袋味精净重Xi克,一箱味精的净重为X克,则例1:用机器包装味精,每袋味精净重为随机变量,期望值为100克,标准差为10克,一箱内装有400袋味精,求一箱味精净重大于40500克的概率.例2对敌阵地集中射击,每次集中射击的命中数的概率分布相同,数学期望为2,方差为1,求集中射击100次有180颗到220颗炮弹命中目标的概率.解:设Xi为第i次集中射击时的