自主招生数学讲义

自主招生数学讲义分配

编号内容负责人

1数列递推公式，求数列通项邵宏宏

2数列求和邵宏宏

3数学归纳法孙雁

4杂数列季风

5三角恒等变换孙雁

6三角不等式王敏杰

7抽象函数倪国红

8函数与方程张宇

9函数图像张宇

10向量综合倪国红

11直线与圆黄润育

12圆锥曲线周延军

13参数方程、极坐标周延军

14立体几何季风

15复数综合黄润育

16组合杂题王敏杰

说明：

1.建议大家参考发给大家的自主招生试题集，主要是复旦、交大等的试题,

挑选相应内容的中等或中等偏上试题；

2.讲义格式，试题数量参考发给大家的讲义范例;

3.时间上要求在国庆后交初稿

大学自主招生数学简明讲义

第一讲递推数列求通项...........................................3

第二讲数列求和.................................................8

第三讲数学归纳法..............................................11

第四讲数列杂题................................................16

第五讲三角恒等变换............................................19

第六讲三角不等式..............................................24

第七讲函数性质................................................29

第八讲函数与方程..............................................32

第九讲函数性质................................................35

第十讲向量综合................................................45

第十一讲直线与圆................................................45

第十二讲圆锥曲线................................................57

第十三讲参数方程、极坐标........................................58

第十四讲立体几何................................................58

第十五讲复数综合................................................64

第十六讲组合杂题................................................64

第一讲递推数列求通项

一、公式法

例1、已知无穷数列｛a,,｝的前"项和为S,,,并且4+S“=l(〃eN*),求

｛%｝的通项公式？

反思：利用相关数列｛%｝与⑸｝的关系：4=S1,a“=S”—S“T(〃22)与

提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.

二、归纳猜想法：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利

用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法.

例2、已知数列｛%｝中，q=l,=2a„_1+l(n>2),求数列｛%｝的通

项公式.

【解析】：,/a｝-\,an-2a+1(〃>2),4=24+1=3,

%—2%+1=7

猜测勺=2"—1(〃eN*),再用数学归纳法证明.(略)

反思：用归纳法求递推数列，首先要熟悉一般数列的通项公式，再就是一定

要用数学归纳法证明其正确性.

三、累加法：利用=%+@-％)+…-与-1)求通项公式的方法称为

累加法。累加法是求型如=《,+/(〃)的递推数列通项公式的基本方法

(/(〃)可求前〃项和).

例3、已知无穷数列｛a“｝的的通项公式是%=［；］,若数列｛"｝满足

Y

a=l,bn+｝-bn=-(„>1),求数列也｝的通项公式.

反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为〃的=%+/(〃)O

四、累乘法:利用恒等式4=4"生…里22)求通项公式的方

%a2an-\

法称为累乘法，累乘法是求型如：=g(")a”的递推数列通项公式的基本方

法(数列g(〃)可求前n项积)。

反思：用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为%T=g(〃)a..

五、构造新数列(待定系数法)：将递推公式=4%+d(q,d为常数，

q=0,4*0)通过(a“+1+x)=q(a“+x)与原递推公式恒等变成

an+i+-=q(an+-)的方法叫构造新数列，也即是待定系数法。

q-\q-\

例5、已知数列｛。“｝中，4=1，4=2。“_]+1(〃22),求｛6(“｝的通项公式.

反思:构造新数列的实质是通过他用+x)="(a,,+x)来构造一个我们所熟知

的等差或等比数列.

六、倒数变换：将递推数列凡“=*一(CH0,4Y0),取倒数变成

%+d

-=-的形式的方法叫倒数变换。然后就转变为第五种情况，此时

%+icanc

将数列1看成一个新的数列，即再利用“构造新数列”的方法求解。

例6、已知数列｛4｝(〃GN*)中，卬=1,。用=—^―,求数列｛4｝的通项

2a“+1

公式.

反思:倒数变换有两个要点需要注意:一是取倒数.二是一定要注意新数列的首

项,公差或公比变化了。

七、特征根法：形如递推公式为%+2=/%,川+9%(其中P，q均为常数)。

对于由递推公式a“+2=pan+i+qan,有ax=a,a2=/3给出的数列

｛%｝，方程-px—q=0,叫做数列｛a“｝的特征方程。

若否,彳2是特征方程的两个根，

当王工£时，数列｛%｝的通项为a“=Ax7+&7，其中A,B由

-1

a｝=a,a2=ft决定(即把a”的,x”乙和〃=1,2，代入a“=Axf+,

得到关于A、B的方程组)：

当占=/时，数列｛a“｝的通项为=(A+8〃)X：T,其中A,B由

'

-a,a2-p决定(即把q，出,％”%和"=1,2,代入%=(A+Bn)x"",

得到关于A、B的方程组)。

例7:数列｛a,J满足3a“+2-5a“+]+2a“=0(〃20,”eN),a,=a,a2-b,

求a“

反思：本题解题的关键是先求出特征方程的根。再由初始值确定出A,B的

用己知量a,b表示的值，从而可得数列｛an｝的通项公式。

八、不动点法

若A,BW0且AD-BCW0,解x=4“上°，设。〃为其两根

Cx+D

I、若a。力，数列｛a，,一0｝是等比数列;

a“一B

11、若。=(3,数列｛—*—｝是等差数歹I」。

a„-a

7a-2

例8、已知数列｛aj满足an+i=L~7，a1=2,求数列

2an+3

｛an｝的通项公式。

金,、3x—1

反思：本题解题的关键是先求出函数f(x)=；；——三的不动点，即方程

4x+7

7x-211,2

x=5二3的根*=1'进而可推出其从

而可知数列｛；P为等差数列，再求出数列｛；f｝的通项公式，最

后求出数列｛an｝的通项公式。

九、换元法即是将一复杂的整体用一个新的符号来表示，从而使递推数

列看起来更简单，更易找到解决的方法。

例9、已知数列｛aS满足

a

n+i=白(1+4an+Jl+24an),a1=1,求数列｛an｝的

10

通项公式。

反思：本题解题的关键是通过将护Wa：的换元为bn,使得所给递推

,_1,3

关系式转化Dn+l=2bn+'形式，从而可知数列｛bn-3｝为等比数

列，进而求出数列｛bn-3｝的通项公式，最后再求出数列｛@n｝的通项

公式。

十、取对数法：形如an+[=pan(p>0,an>0)

这种类型般是等式两边取对数后转化为%t=pan+q,再利用构造新

数列(待定系数法)求解。

例10：已知数列｛%｝中，q=1,%+](a>0),求数列

a

｛%的通项公式

十一、周期型：由已知递推式计算出前儿项，寻找周期。此题型一般是在不

能运用以上各种方法的情况下可考虑到这种方法，具有一定的探索性，虽然

比较简单，但也是一种很重要的数学思想，需要好好掌握。

2«,„(0<«„<1)

例11：若数列｛/｝满足%M，若q=—，则出0的值

2«„<1)

为___________

反思：此题的关键在于观察递推数列的形式，取一些特定的n的值，求出数

列的前几项的值，从而找到其周期，这样问题就迎刃而解了。

第二讲数列求和

1.公式法

等差数列前n项和：

_"伍1+许).n(n+l)

_-----------HUj---------U.

特别的，当前n项的个数为奇数时，S2k+i=(2攵+1)4+1，即前n项和为中

间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。

等比数列前n项和：

q=l时，S"—na^

“1W)

q于1,S“=」-----特别要注意对公比的讨论。

其他公式：

n1a1

1、S“=Zk=7(〃+D2、S“=2二=工"("+1)(2〃+1)

y2y6

3、S„=£/=［］(〃+1)『

攵=12

一1

［例1］已知log?x=---------,求x+V+x'd-------xn-\—的前n项和.

log?3

*S

［例2］设Sn=l+2+3+...+n,nGN,求/(〃)=-----=-----的最大值.

(n+32)S„+1

2.错位相减法

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要

用于求数列｛a0・b”｝的前n项和，其中｛%｝、｛%｝分别是等差数列和等比

数列.

23,,_,

［例3］求和：Sn=l+3x+5x+7x+---+(2n-l)x

［例4］求数歹I」*2,三46三2,n…前n项的和.

222232〃

练习：

n-,

求：Sn=l+5x+9x?+..+(4n-3)x

3.反序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来

排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个(％+6,).

［例5］求sin2f+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°的值

4.分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆

开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

［例6］求数列的前n项和：1+1,—F4,——+!,•••,+3n—2,...

aa2an~'

［例7］求数列｛n(n+l)(2n+l)｝的前n项和.

练习：求数列1±2±3±-、5+口,…的前n项和。

2482"

5.裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列

中的每项(通项)分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和

的目的.通项分解(裂项)如：

(1)an=/(n+1)-/(«)

•［o

(2)-------=tan(/2+1)°-tan

cosn°cos(7i+1)°

“n(n+1)nn+1

,、(2")2,1/11、

4a"=(277-l)(2n+l)=+22n-l-2n+l

(5)an=-----i-----=-[-...........------]

〃(几-1)(〃+2)2n(n+1)(〃+1)(〃+2)

(6)

一士22.2(〃+1)-〃_________咻-1_一1—

n(n+1)2"〃(〃+1)2"n-T-'(〃+1)2"'、"(〃+1)2"

［例9］求数列」■尸，二广,・-\---,•••的前n项和.

1+V2J2+J3+l

1。0

[例10]在数列伯口中，an=----1---------1-----1——,又么=--------

〃+1n+1〃+1an-a“+[

求数列｛bn｝的前n项的和.

[例U]求证：-----J-------+--------!--------+…+---------!----------=驾1

cos00cosl°cosl°cos20cos88°cos89°sin~l°

练习：求13,115,135,163之和。

6.合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此,

在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求

[例12]求cosl°+cos2°+cos3°+•,•+cosl78°+cosl79°的值.

解：设Sn=cosl°+cos2°+cos3°+•••+cosl780+cosl79°

•••cosn0=-cos(180°-n°)(找特殊性质项)

Sn=(cosl°+cosl79°)+(cos20+cosl78°)+(cos3°+cosl77°)

+・••+(cos89°+cos91°)+cos900(合并求和)

=0

［例13］数列｛%｝：%=1,。2=3,。3=2,a“+2=a“+i-a“，求S2002.

【例14］在各项均为正数的等比数列中，若a,a6=9,求

log,a,+log,a2+…+k>g34o的值.

以上一个6种方法虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原

数列的形式结构，使其能进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的

求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决，只要很好地把握这一规

律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。

第三讲数学归纳法

【基础知识】

1.数学归纳法可以证明与正整数n有关的命题，可以是数列通项，数列求和,

也可以是不等式证明，整除问题等.自主招生中不等式的证明较常见.

2.数学归纳法证明的格式特别要注意，第一步对初始值的验证必须做，第二

步假设n=k时命题成立，证明n=k+l时命题也成立.第二步的证明需要用

到归纳假设，还需要从题设中利用递推关系从n=k得到n=k+l时的表达

式.两个步骤都非常重要.

3.数学归纳法的关键在与如何得到•个普遍适用的递推关系，如何从n=k证

明n=k+l时命题仍成立，有时候归纳的技巧比较高.

【典型例题】

例题1：设斐波那契数列<=力=1,/用=/“+£i（〃N2,〃eN*），求证：f4n

是5的倍数.

【分析】：这是整除问题，关键是如何利用归纳假设.〃=人到〃=k+l,其

实质是将/软+4表示成和另外5的倍数的形式，利用递推公式可得.

例题2：设正数数列｛%｝的前n项的和为S“，且S”=」（%+」-）,试猜想

2%

出并证明数列｛*｝的通项公式.

【分析】：数学归纳法在数列中求通项、求和时是基本的方法之一.猜测、归

纳、证明，完整的解答需要这三个方面.

【解答】：n=l时，a]=S]=—（a,+—）,所以q=l；

2ax

n=2时，S2=4]+〃2=—（。2~1---）»所以a]+2。2—1=0，%=—1

2a2

（负值已舍）;

n=3时，S3=%+4+。3=—（“3---），所以—1=0，

2%

%=V3-V2.

猜想-下面用数学归纳法证明.

（1）当n=l,2,3时命题已证.

（2）假设n=k时，有氏=尿\成立.则当n=k+l时，

ak+]=SHI—s女，即

11、1/1、

4+1=T（z%+1+-----）-T（%+一）

24+12ak

所以。M+2阮心]-1=0,所以%猜想也成立.

综上得，对一切〃wN,%=五一J7一1总成立.

例题3：证明：1+/+提+…+与<2-」(”22,neN*)

【分析】：这是数学归纳法证明不等式，利用归纳假设和不等式证明的基本方

法是关键.不等式证明的常用方法有比较法，放缩法，公式法，分析法，综

合法，反证法等.

【证明】：①当〃=2时，左边=3<2-4=右边，即不等式成立；

42

②假设〃=灯攵22)时不等式成立，即1+提+"+…+£<2—：

则〃=攵+1左边

,11111cl1cl

=1+—+—+•••+—+----r<2——+-----<2——+-----=2-----

2232k2伏+iyk(k+l)2kA(&+1)k+\

故，”=k+l时不等式也成立.

由①、②知，原不等式成立.

例题4：证明不等式(])">“！>(g)",当自然数论6时成立.

【分析】：由于是两个不等式，证明时要注意归纳假设也是两个不等式.

【证明】：①当〃=6时，不等式变形为(g)6=729>6!=120>(g)6=64,

显然成立；

②假设〃=以左26)时不等式成立，BP(1/>A!〉(g)*

L4.1k+1

则〃=左+1时要证(下一)E>伏+1)!>(亍)e；

根据归纳假设，(Z+l)!=(k+l)M!<(k+l)-(1y；

伙+1).()<(胃产o2<(1+)，

22k

而/伙)=(1+3”单调递增，且2=/Xl)W/(Q<e<3,故

（中产〉伏+1）!成立

同理，（左+1）!=伏+1）4！〉伏+i>（1y,

（%+1）・（£“）〃>（­A+1/+,=13>（i+也成立

33k

b1L1

故〃=4+1时不等式（寸+>（A+1）!〉（中+也成立.

由①、②知，原不等式成立.

例题5：对于任意〃eN,X],/,…x,均为非负实数，且玉+々+…+x.,

试用数学归纳法证明：（1—看）（1—》2）…（1一五）之；成立.

【分析】：如何利用已知条件中的关于n的表达式，是归纳假设的关键.

证明：①显然，〃=1时，%,<^-=>1-x,当〃=2时，xt+x2<,

又西,々为正数，故（1一司）（1一々）=1-（阳+%2）+%》22^+王/2,,不等

式成立；

②假设当"=左时，不等式成立，即正数玉,々,彳3,…次，

若X|+尤2+曰•+----+,xk<—,则（1—X]）（1-々）（1—X3）…（1—X*）2万.

于是，当〃=攵+1时，正数玉,z2，毛,…,々，X"|

有玉+x2+x3H----1-xk+X&+14—,根据归纳假设，

有（1一国）（1一》2）（1一%3>-（1-4-4+1）25成立.

故只需证明（1_4）（1_XkI）21_/_七+1成立即可.

显然，（l_xj（l_x*+1）_（l_x*_4+]）=44+120成立，故〃=k+]时

不等式也成立.

综合①、②得，原命题成立.

,,（ny

例题6：已知对任意“eN*,有。“>0,且,求证：an=n

i=[\i=\7

【分析】：本题归纳假设时稍有不同，需假设之前的都成立

【证明】：①当〃=1时，〃：=〃；，又册>0,故％=1；

②假设〃<Z（ZN1）时均有%=左，则〃=左+1时

<ky/k\2k

+2%Eq+a2i

I/=iJk/,=17f=l

即疯=2-14+吭，又%>°及归纳假设得ta：=幺宇

«=1i-1幺

得a；+i--k(k+1)=0=>%]=k+1,即n=女+1时也有aM=Zr+1成立.

由①、②知，原命题成立.

【巩固练习】

1.若其中n为非负整数,求证：11".?十时向是133的倍数.

2.已知数列｛4｝的前n项和S“=-q,—（；）"T+2（n为正整数），猜测并证

明｛4“｝的通项公式.

3.证明不等式:1+3+<2M，£N*)

V2"V3。4n

i〃1

4.已知数列｛斯｝，册=-----------7=(n£N*),求证：\ak<2(1——方——)

(〃+&=]"几+1

5.设4n=J1.2+j2.3+・.・+Jn(n+1)(〃wN“)，

证明不等式也a.〈呼对所有的正整数n都成立.

22

」、、丁3572n+l/------/.、

6.求证：------------->A/〃+1,(neN

2462n')

7.已知正数九”％2，13,…%，求证：'+"+一-y]X\X2，，，Xn

n

第四讲数列杂题

【典型例题】

例题1：在｛4｝中，q=4,an-7%+6,

①求证：,"一3|<；\an_｝-3|②求liman。

例题2：口袋中有4个白球，2个黄球，一次摸2个球，摸到的白球均退回口

袋，保留黄球，到第〃次两个黄球都被摸出，即第〃+1次时所摸出的只能是

白球，则令这种情况的发生概率是匕，求鸟,巴,鸟。

例题3：数列｛%｝满足勺+|+(-1)"勺=2〃-1,则｛4｝的前60项和为。

例题4：设(1+啦)"=%+%、巧，其中X,,%为整数，求〃T8时，主的极

%

限.

例题5：数列｛%｝满足条件：％=1,%=1+」一（〃22）

1<<1(„>2)

试证明：⑴l<an<2(neN*)⑵

32

【巩固练习】

1.下列正确的不等式是.

A.16<<17；B.18<<19；

C.20<<21；D.22<<23.

7T

2.设函数/(x)=2x-cosx,｛%｝是公差为g的等差数歹U,

8

/3)+/@)+…+/应)=5乃，则"(生)了一的3=<)

c12c12132

A^0B、—7tC、—71D、一TC

16816

3.1・1!+2,2!+3・3!H---!■〃♦〃！=.\

4.在正项等比数列｛氏｝中，。5=；，。6+。7=3，则满足

6+的+…+。”＞。避2…。”的最大正整数〃的值为

2x-l

5.已知函数力（x）=一丁，对于〃=1,2,…，定义。+|。）=工（0（幻），若

力5（1）二八0），则人8（X）=・

「a1

Xn+[—1

6.设。为正整数，数列｛%｝满足斗=a,x„+1=[—产]现有

下列命题：

①当a=5时，数列｛xj的前3项依次为5,3,2；

②对数列｛%｝都存在正整数k,当nNk时总有％=；

③当〃21时，xn>4a-1；

④对某个正整数左，若先+小4，则乙=[6]。

其中的真命题有。(写出所有真命题的编号)

HTT

7.数列｛%｝的通项公式%=〃cos5-+l,前〃项和为S“，则S2012=—。

|x|

8.设函数〃x)=U,则S=1+2/(X)+3/2(X)+-+4"T(X)=

x

9.已知数列｛%｝、｛a,｝满足。“+1=-。“-2仇，，且仇,+[=6%+6仇，，又

at=2,4=4,求⑴an,bn；(2)lim—.

bn

10.设〃=｛3,4｝为部分正整数组成的集合，数列｛4｝的首项q=1,前〃

项和为S“，已知对任意整数攵eM,当整数〃>k时，

5“+*+品=2(9+&)都成立,求4

11.已知数列｛a“｝中，4=3,a“=3""T,求证，an=4m+3(m是非负整

数)

12.数列｛x,J满足：X=0,x“+]=-x；+x“+c(〃eN*)

(I)证明：数列｛x.｝是单调递减数列的充分必要条件是c<0

(II)求c的取值范围，使数列｛x,J是单调递增数列。

13A,5两人轮流掷一个骰子，第一次由A先掷，若A掷到一点，下次仍由

A掷：若A掷不到一点，下次换B掷，对B同样适用规则。如此依次投掷,

记第〃次由A掷的概率为4。

(1)求4+1与4的关系；(2)求limA“。

>00

14.求证：(1+-)"<(1+—),,+1(ne2V*)

n〃+1

第五讲三角恒等变换

【基础知识】

1.三角问题主要包括三角化简求值，解三角形和三角恒等式证明.通常都要

用到三角公式，正余弦定理，三角形中相关的定理等.自主招生中对三角

变换要求较高.

2.要熟练运用三角恒等式变换，需要熟悉半角公式、和差化积、积化和差等

公式.

0sin81—cos0

tan—=-----------=­；-------

21+cos0sin，

sin20=cos26-sin?0=2cos2。-1=l-2sin20；

a+Ba-B

sina+sin/?=2sin-------cos--------

22

a+Ba-0

cosa+cosB=2cos------cos......-

22

sina•cos尸=；[sin(a+尸)+sin(a—/7)]；

cosa•cos；[cos(a+£)+cos(a—/?)]

3.三角恒等变换是代数变换，选择公式前要注意观察，通常观察已知条件和

结论中代数式形的变化，观察角的变化，观察三角比名称的变化，观察代

数式次数的变化等，然后根据变化选择合适的公式.

【典型例题】

34,

例题1：已知sina+sin/=—,cosa+cosy=—,求cosa•cosy的值.

【分析】：已知条件平方和后可以得到cos(a-力，结论中用积化和差，还需

要cos(a+/),需要从条件中再用和差化积.

【解答】:sina+siny=2sin"+7cos里―

225

-a+ya-y4

cosa+cosy=2cos------cos-------=—

225

两式平方和得，4cos2~~~=2[1+cos(cr一y)]=1=>cos(a-/)=一；，

勿

两式相除得，tanae+U=±3ncos(a+/)=」7-

2425

故cosa-cosy=—[cos(a+/)+cos(a-/)]=-.

例题2：在A4BC中，若2asin4=(2/>+c)sin8+(2c+b)sinC,求A的大小.

【分析】：解三角形通常利用正、余弦定理化为边或者角的运算.

【解答】：利用正弦定理化为边，则

2a2=(2b+c)b+(2c+b)c=>a2=b2+c2+be

12%

再对照余弦定理，得cosA=——=>A=—.

23

例题3：试推导三角形面积公式一海伦秦九韶公式：5=而匚而万两，其

中p=/(a+/?+c).

【解答】：S=gabsinC=；6z/?Vl-cos2C=；abyjfl+cosC)(l-cosC)

E「a2+/72-c2,_(tz+/?)2-c2(Q+6+C)(Q+0-C)

又cosC=---------------=>1+cosC=----------------=---------------------------

2ah2ah2ah

i_c2_(a_6)2_(c+"/?)(c_a+ZO

1-COSCx——

2ab2ah

(c+Q+b)(a+Z?+c)(c+o—b)(c-a+b)

2ah2ah

即S={P(p-a)(p-b)(p-c)

例题4：化筒：cos2a+cos2/?-2cosacosJ3cos(a+/3)

【分析】：三角比中sina,cosa可以看成对偶式，利用这种关系构造对偶式求

解.

【解答］：令M=cos2a+cos2/?-2cosacos(3cos(<z+/?)

N=sin2a+sin2y5-2sinasinpcos(a+P)

则A/+N=2-2cos2(a+/)=2sin2{a+0)

M-N=cos2a+cos2尸一2cos(a—0cos(a+/?)=0

故M=N=sin2(a+/)

即cos2a+cos2/?-2cosacos0cos(a+4)=sin?(a+/3)

实际上，也化简了

sin2a+sin2/7-2sinasin/?cos(a+/?)=sin2(«+/?)

例题5：设为锐角，且sin?a+sirj2(3-sin(a+0),求证：a+〃='

【分析】：作为等式的证明，各种方法都要考虑，本题可以用反证法.

［解答］：根据题意得sin?a+sin'夕=sinacos(3+cosasinJ3

即sina(sina-cosJ3)=sin6(cosa-sin〃)............①

7/77TT

因为a,尸为锐角，若&+n—4>0,根据正余弦函数的

单调性，则sina-cos0>sin(--/?)-cos/?=0

.7C.

cosa—sin,<cos(y一尸)一sin'=0

此时①式两边一正一负，不成立，与已知条件矛盾；

同理，若a+°=0<a<%-/3<三

Ji

则sina-cos(5<sin(—一夕)一cos尸=0

JI.

cosa—sin/?>cos(y-°)-sin/?=0

此时①式两边仍然一正一负，不成立，与已知条件矛盾；

7T

故只有a+£=,

例题6：求证：sin3。=4sin6sin(60°-6)sin(60°+。)

【分析】：注意观察两边的角的变化，式的变化，利用积化和差公式即可.

[证明]：右边=2sin6[cos20-cos120°]=sin30+sin(-6)+sin6=sin36

故等式成立.

ARC

例题7：在AABC中，求证：一r=4sin—sin—sin—

R222

【分析】：和差化积与积化和差公式在复杂的三角化简中很重要.

【解答】：S=—(4+Z?+c)r=1a，sinC=»r=""，吊。

22(a+b+c)

Ssin^sin^sm£cos^cos^cos^

r_absinC2sinAsinBsinC222222

sinA+sin8+sinCA+8A—BCC

R(a+b+c)sin----cos-+-s-i-n-—cos—

2222

B8sin&in4inCcos&osO

8sin-sin-sin-cos-cos

2222222222

A-B.CA-BA+B

cos-----1-sinCOS----------FCOS

2222

rARC

即等式一=4sin—sin—sin一成立.

R222

【巩固练习】

a~-b'sin(A-B)

l.Z\ABC中，求证:

-sinC

2.在aABC中，设a+c=2b,A-C=60°,求sinB的值

3.化简：cos3a-cos3a+sin3a-sin3a

AC

4.在△ABC中,已知tanA:tanB:tanC=l:2:3,求-——

AB

5.化简：cos36=4cos6cos(60°-3)cos(600+3)

6.化简：tan30=tan-tan(60°-0)-tan(600+0)

、上国sinl0+sin20+sin30d---1-sin440

7•计算：——--------------------------

cos1+cos2+cos3+…+cos44°

【提示解答】

第六讲三角不等式

【基础知识】

1.三角形不等式包括三角形中的不等关系和三角函数的最值，这两个方

面在处理方法上在同小异，并互为所用，并且代数与几何的相关知识常常练

习在一起.

2.三角不等式首先是不等式，因此，不等式的有关性质和证明方法在这

里都用得上.其次它含三角函数，因此三角函数的单调性、有界性（或极值）,

正负区间，图像特征都是处理三角不等式的锐利武器.

3.三角形内的不等式是一类特殊的三角不等式，无论在结构上还是在证

法上都有特别之处，需要加倍注意.熟记一些基本的不等关系.

..71.

A>Bo〃>b<=>sinA>sinB；若xE（0,—）,则sinx<x<tanx

【典型例题】

TTTT

例题1：已知函数/（x）=tanx,xw（0,5）,若玉,々£（°，万）且工尸％2，求

证：

【分析】：这是求证正切函数的凸性，不能用图像说明，必须用代数证明.

.X+x

sin----?-

【证虹协j+『⑷”（詈）t翳+黜）

>2

x+方

cos----

2

.X]+工2

n

1sin（』+%2）>"2。cos2M+Z

>cosx}•cosx2

2cos%cos犬2cos?+工22

2

<=>；[1+COS（X[+x2）]>；[COS（X]+X2）+C0S（王一/）]=1>COS（Xj-x2）

故不等式成立

例题2：在锐角△ABC中，求证：

sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC

【证明】：因为△ABC是锐角三角形，故A+8>」n2>A>上—8>0

222

兀

所以，sinA>sin（--fi）=cosB,同理有sinB>cosC,sinC>cosA

于是,sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC

7T

例题3：若夕6(0,万)，求证：smO<0<tan9

【分析】：本题是经典的数形结合问题，如果利用导数，结合函数单调性也可

以解决.

【证明】：方法一，利用单位圆

如图，单位圆与x轴交于点A,角。的终边与单位圆

交于点B,0B的延长线与过A的切线相交与C,则比较

△A08,扇形A05及△A。。的面积，化简后即得到

sin8<6<tan0

方法二，利用导数，利用函数单调性

JT1

考虑/'(X)=tanx-x,xG[0,—),/'(%)=----彳-----1>0,

2cosx

即/(%)单调递增，于是/(x)>/(0)=0=>tanJ>x

TT

考虑函数g（x）=x-sinx,x£[0,—）g'（x）=l-cosx>0，

即/(X)单调递增，于是g(x)〉g(0)=0=X>sinX

综上得原不等式成立.

例题4：求证：2sin4x+3sin2xcos2x4-5cos4x<5

证明：设4=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x,

B=2cos4x