微积分微分中值定理与导数的应用演示文稿

微积分微分中值定理与导数的应用演示文稿当前1页，总共85页。优选微积分微分中值定理与导数的应用当前2页，总共85页。第一节微分中值定理定理1(费马(Fermat)定理)设f(x)在U(x0,δ)，内有定义，若f(x)在x0可导且对任意的x∈U(x0,δ)

，有f(x)≤f(x0)（或f(x)≥f(x0)），则f｀(x0)=0.当前3页，总共85页。通常称f(x)=0的根为函数f(x)的驻点.可导函数的极值点一定是驻点．当前4页，总共85页。定理2(罗尔(Rolle)中值定理)如果函数f(x)满足：(1)在[a,b]上连续,(2)在(a,b)内可导,(3)f(a)=f(b),则至少存在一点∈(a,b),使得f()=0．在曲线上至少存在一点C,在该点曲线具有水平切线．或者说，该点的切线平行于弦AB.当前5页，总共85页。证因为f(x)在[a,b]上连续,f(x)在[a,b]上必取得最大值M和最小值m．(1)如果M=m,则f(x)在[a,b]上恒等于常数M,因此,对一切x∈(a,b),都有f(x)=0.于是定理自然成立.(2)若M＞m,由于f(a)=f(b),因此M和m中至少有一个不等于f(a).设M≠f(a),则f(x)应在(a,b)内的某一点处达到最大值,即f()=M,由费马定理知f()=0．当前6页，总共85页。例1验证罗尔定理对函数f(x)=

x2-2x+3在区间[-1,3]上的正确性．显然函数f(x)=-2x+3在[-1,3]上满足罗尔定理的三个条件,解由f(x)=2x-2=2(x-1),可知f(1)=0,因此存在=1∈(-1,3),使f(1)=0．当前7页，总共85页。定理3(拉格朗日(Lagrange)中值定理)若函数y=f(x)满足下列条件:(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,b)内可导．则至少存在一点∈(a,b),使得证作辅助函数F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且当前8页，总共85页。F(x)满足罗尔定理的条件,故至少存在一点∈(a,b),使得F()=0,即因此得当前9页，总共85页。拉格朗日中值定理中的公式称为拉格朗日中值公式,也可以写成f(b)-f(a)=f()(b-a)(a＜＜b)是(a,b)中的一个点,=a+(b-a)(0＜＜1),拉格朗日中值公式还可写成f(b)-f(a)=(b-a)f[a+(b-a)](0＜＜1)当前10页，总共85页。例3证当前11页，总共85页。推论1如果f(x)在开区间(a,b)内可导,且f(x)≡0,则在(a,b)内,f(x)恒为一个常数．证在(a,b)内任取两点x1,x2,设x1<x2,显然f(x)在[x1,x2]上满足拉格朗日中值定理的条件因为f(x)≡0,所以f()=0.从而f(x2)=f(x1).当前12页，总共85页。例5证当前13页，总共85页。推论2若f(x)及g(x)在(a,b)内可导,且对任意x∈(a,b),有f(x)=g(x),则在(a,b)内,f(x)=g(x)+C(C为常数).证因[f(x)-g(x)]=f(x)-g(x)=0,由推论1,有f(x)-g(x)=C,即f(x)=g(x)+C,x∈(a,b)．当前14页，总共85页。定理4(柯西(Canchy)中值定理)若函数f(x)和g(x)满足以下条件:(1)在闭区间[a,b]上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,且g(x)≠0,那么在(a,b)内至少存在一点,使得证若g(a)=g(b),则由罗尔定理,至少存在一点1∈(a,b),使g(1)=0,这与定理的假设矛盾.故g(a)≠g(b).当前15页，总共85页。作辅助函数F(x)满足罗尔定理的三个条件,于是在(a,b)内至少存在一点,使得从而有当前16页，总共85页。例6证当前17页，总共85页。当前18页，总共85页。第二节洛必达法则一、型未定式定理1设f(x),g(x)满足下列条件：(1)f(x)=0,g(x)=0；(2)f(x),g(x)在内可导,且g(x)≠0；(3)存在(或为∞)．则当前19页，总共85页。证由条件(1),设f(x0)=0,g(x0)=0.由条件(1)和(2)知f(x)与g(x)在U(x0)内连续设x∈,则f(x)与g(x)在[x0,x]或[x,x0]上满足柯西定理的条件,当x→x0时,显然有→x0,由条件(3)得当前20页，总共85页。注意:(1)如果仍为型未定式,且f(x),g(x)满足定理条件，则可继续使用洛必达法则；(2)洛必达法则仅适用于未定式求极限,运用洛必达法则时,要验证定理的条件,当既不存在也不为∞时,不能运用洛必达法则．应该注意：求极限时应将洛必达法则和无穷小代换等技巧结合使用，才能使求解过程更加简便。当前21页，总共85页。例2解当前22页，总共85页。例3解上式右端的极限不存在且不为∞，所以洛必达法则失效．当前23页，总共85页。推论1设f(x)与g(x)满足(1)f(x)=0,g(x)=0;(2)存在X＞0,当x＞X时,f(x)和g(x)可导,且g(x)≠0;(3)存在(或为∞)．则证令x=1/t,则x→∞时,t→0当前24页，总共85页。例4解当前25页，总共85页。二、型未定式定理2设f(x),g(x)满足下列条件：(1)f(x)=∞,g(x)=∞；(2)f(x)和g(x)在内可导,且g(x)≠0；(3)存在(或为∞)．则当前26页，总共85页。推论2设f(x)与g(x)满足(1)f(x)=,g(x)=;(2)存在X＞0,当x＞X时,f(x)和g(x)可导,且g(x)≠0;(3)存在(或为∞)．则当前27页，总共85页。例5解当前28页，总共85页。解例6当前29页，总共85页。三、其他未定式若对某极限过程有f(x)→0且g(x)→∞,则称lim[f(x)g(x)]为0·∞型未定式．若对某极限过程有f(x)→∞且g(x)→∞,则称lim[f(x)-g(x)]为∞-∞型未定式．若对某极限过程有f(x)→且g(x)→０,则称limf(x)g(x)为00型未定式．若对某极限过程有f(x)→1且g(x)→∞,则称limf(x)g(x)为1型未定式．若对某极限过程有f(x)→＋∞且g(x)→0,则称limf(x)g(x)为0型未定式．当前30页，总共85页。例9解当前31页，总共85页。例10解当前32页，总共85页。例13解这是型未定式

当前33页，总共85页。第三节泰勒公式一、泰勒公式将一个复杂函数f(x)用一个多项式Pn(x)＝a0＋a1x+…+a1xn来近似表示

当x很小时,有ex≈1+x,sinx≈x,两点不足：(1)精度不高,误差仅为x的高阶无穷小o(x);(2)没有准确好用的误差估计式．当前34页，总共85页。设f(x)在U(x0)内有直到n+1阶导数．

(1)试求一个关于x-的n次多项式使得在x0附近,有f(x)≈pn(x),换言之,要求

即f(x)和pn(x)在x=x0处的函数值及k阶(k≤n)导数值相等.(2)给出误差f(x)-pn(x)的表达式．将x=x0代入pn(x)的表达式,得到当前35页，总共85页。对pn(x)求导,再将x=x0代入,得到对pn(x)求导,再将x=x0代入,得到当前36页，总共85页。定理(泰勒中值定理)设函数f(x)在(a,b)内具有直到n+1阶导数,x0∈(a,b),则对于任意x∈(a,b),有

其中(介于与x之间)证令G(x)=(x=x0)n+1函数f(x)在x=x0点的n阶泰勒展开式.当前37页，总共85页。在(a,b)内具有直到n+1阶的导数,由前面的公式知当前38页，总共85页。对Rn(x)与G(x)在相应区间上使用柯西定理n+1次,有当前39页，总共85页。拉格朗日型余项当前40页，总共85页。拉格朗日中值定理可看作是零阶(n=1)拉格朗日型余项的泰勒公式对于多项式pn(x)近似表达函数f(x),对于某个固定的n,当x在开区间(a,b)内变动时有≤M(M为常数),则其误差有估计式.而且=0.从而当x→x0时,Rn(x)是关于的高阶无穷小,即余项又可以表示为称这种形式的余项为皮亚诺(Peano)余项．当前41页，总共85页。当x0

=0时的泰勒公式,又称为马克劳林公式

具有拉格朗日型余项的马克劳林公式也可写成当前42页，总共85页。二、函数的泰勒展开式举例例1求f(x)=ex的n阶马克劳林公式.解当前43页，总共85页。例2求f(x)=sinx的n阶马克劳林公式.解当前44页，总共85页。当前45页，总共85页。第四节函数的单调性与极值一、函数的单调性定理1设f(x)∈C([a,b]),且在(a,b)内可导,则(1)若对任意x∈(a,b),有f(x)＞0,则f(x)在[a,b]上严格单调增加;(2)若对任意x∈(a,b),有f(x)＜0,则f(x)在[a,b]上严格单调减少.证对任意x1,x2∈[a,b],设x1<x2,由拉格朗日中值定理由f(x)＞0,得f()＞0,故f(x2)＞f(x1),(1)得证.类似地可证(2).当前46页，总共85页。证因sinx∈(-/2,/2),(sinx)=cosx>0,x∈(-/2,/2),所以y=sinx在(-/2,/2)上严格单调增加.例1证明y=sinx在(-/2,/2)上严格单调增加.当前47页，总共85页。函数单调增减区间的分界点是导数为零的点或导数不存在的点.如果函数在定义域区间上连续,除去有限个导数不存在的点外导数存在,那么只要用f(x)=0的点及f(x)不存在的点来划分函数的定义域区间,在每一区间上判别导数的符号,便可求得函数的单调增减区间．当前48页，总共85页。例6证当前49页，总共85页。二、函数的极值定义1设f(x)在x0的某邻域U(x0)内有定义.若对任意x∈(x0),有f(x)＜f(x0)[f(x)＞f(x0)],则称f(x)在点x0处取得极大值(极小值)f(x0),称为极大值点(极小值点)．极大值和极小值统称为极值,极大值点和极小值点统称为极值点当前50页，总共85页。当前51页，总共85页。当前52页，总共85页。例8解当前53页，总共85页。当前54页，总共85页。当前55页，总共85页。当前56页，总共85页。例9解当前57页，总共85页。第五节最优化问题一、闭区间上连续函数的最大值和最小值求一个函数(称为目标函数)的最大值或最小值问题.当前58页，总共85页。当前59页，总共85页。例1解当前60页，总共85页。二、经济学中的最优化问题举例当前61页，总共85页。1.最大利润与最小成本问题设某种产品的总成本函数为C(Q),总收益函数为R(Q)(Q为产量),则总利润L可表示为L(Q)＝R(Q)-C(Q)假如L(Q)在(0,+∞)内二阶可导,则要使利润最大,必须使产量Q满足条件L(Q)=0,即R(Q)=C(Q)表明产出的边际收益等于边际成本还要求L(Q)=R(Q)-C(Q)＜0,即R(Q)<C(Q)“最大利润原则”“亏损最小原则”当前62页，总共85页。单位成本(即平均成本)最小的问题设某种产品的总成本为C(Q),则生产的平均成本为最小,,必须使产量Q满足条件表明产出的边际成本等于平均成本当前63页，总共85页。例3解总收益R(Q)=PQ=60Q,总利润L(Q)=R(Q)-C(Q)令L(Q)=0,得唯一驻点Q0=200,又L(Q0)=L(200)=-0.6＜0，所以当日产量为Q0=200单位时可获最大利润.最大利润为L(200)=3000(元)当前64页，总共85页。2.库存问题假定计划期内货物的总需求为R,考虑分n次均匀进货且不允许缺货的进货模型.设计划期为T天,待求的进货次数为n,那么每次进货的批量为q=,进货周期为t=,再设每件物品贮存一天的费用为c1,每次进货的费用为c2,在计划期(T天)内总费用E由两部分组成当前65页，总共85页。(1)进货费(2)贮存费于是总费用E可表示为批量q的函数最优批量q*应使一元函数E=f(q)达到极小值,当前66页，总共85页。最优进货次数为最优进货周期最小总费用当前67页，总共85页。3.复利问题例6设林场的林木价值是时间t的增函数V=,又设在树木生长期间保养费用为零,试求最佳伐木出售的时间．解如果考虑到资金的时间因素,晚砍伐所得收益与早砍伐所得收益不能简单相比,而应折成现值．设年利率为r,则在时刻t伐木所得收益V(t)=的现值,按连续复利计算应为当前68页，总共85页。当前69页，总共85页。三、其他优化问题例9巴巴拉小姐得到纽约市隧道管理局一份工作,她的第一项任务是决定每辆汽车以多大速度通过隧道,可使车流量最大.经观测,她找到了一个很好的描述平均车速v(km／h)与车流量f(v)(辆/秒)关系的数学模型

试问:平均车速多大时,车流量最大?最大车流量是多少?当前70页，总共85页。解得唯一驻点v=26.15(km／h).由于这是一个实际问题，所以函数的最大值必存在.当车速v=26.15km／h时,车流量最大,且最大车流量为f(26.15)=8.8(辆/秒).当前71页，总共85页。第六节函数的凸性、曲线的拐点及渐近线一、函数的凸性、曲线的拐点在(0,)上都是单调的,但它们增长方式不同,从几何上来说，两条曲线弯曲方向不同.函数图形向上或向下凸的性质称为函数的凸性.当前72页，总共85页。向下凸的曲线,其上任意两点间的弧段总位于联结此两点的弦的下方,向上凸的情形正好相反．当前73页，总共85页。一般，设曲线y=f(x)在[a,b]上连续，任取x1,x2∈[a,b].若曲线是向下凸的，则由于连接点(x1,f(x1))和(x2,f(x2))的弦在曲线y=f(x)的上方，从而弦上中点处的纵坐标应大于或等于曲线上相应点（横坐标相同点）处的纵坐标即当前74页，总共85页。反过来，可以证明，对于连续函数f(x)来说，若上述不等式在[a,b]上恒成立，则曲线在[a,b]上是向下凸的类似可得曲线向上凸的不等式.当前75页，总共85页。定义1设f(x)在[a,b]上连续,若对[a,b]中任意两点x1,x2,恒有则称f(x)在[a,b]上是下凸的；若恒有则称f(x)在[a,b]上是上凸的.若上述不等式中的不等号为严格不等号，则称f(x)在[a,b]上是严格下凸（或严格上凸）的.当前76页，总共85页。定理1设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么(1)若在(a,b)内f“(x)>0,则f(x)在[a,b]上是严格下凸的;(2)若在(a,b)内f“

(x)<0,则f(x)在[a,b]上是严格上凸的.例2解当前77页，总共85页。定义2设f(x)∈C(U(x0)),若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))的左右两侧凸性相反,则称点(x0,f(x0))为该曲线的拐点．例5解当前78页，总共85页。