自动控制期末章节复习

第一章自动控制的一般概念

§1-1内容提要和基本要求

1.1.1基本概念

1基本术语

(1)自动控制：即在不需要人直接参与的条件下，依靠控制器使受控对象按预定技术要求进

行工作，使被控量等于输入量(或使被控量与输入量保持某种函数关系)。

(2)自动控制系统：受控对象和控制器的总体，它能对受控对象的工作状态进行自动控制。

(3)受控对象：被控制的机器、设备或生产过程。控制器：对受控对象进行控制的设备总

(4)体，一般有测量、运算、放大等部件和执行装置

等组成。

(5)被控量：受控对象的输出量。

(6)输入量：是作用于自动控制系统的输入端并作为控制依据的物理量，也称为输入信号、

输入指令、参考输人、给定值。

(7)干扰：使被控量偏离期望状态的信号。

2.基本控制方式

(1)开环控制

①按给定值操纵的开环控制，如图11(a)所示。

②按干扰补偿的开环控制,如图IT(b)所示。

(a)(b)

图1-1开环控制的原理方框图

(2)按偏差调节的闭环控制，如图12所示。

图1-2按偏差调节的闭环控制原理方框图

(3)复合控制，如图1-3所示。

(a)(b)

图1-3复合控制的原理方框图

3.对控制系统的性能要求

(1)稳指动态过程的平稳性

(2)快指动态过程的快速性

(3)准指动态过程的最终精度

1.1.2基本要求

1.明确自动控制的基本概念。

2.正确理解三种基本控制方式及其特点。

3.初步掌握由系统工作原理图画原理方框图的方法，并能判别系统的控制方式。

4.正确认识对控制系统的性能要求。

第二章自动控制系统的数学模型

§2」内容提要和基本要求

2.1.1基本概念

1.建立系统微分方程的一般步骤

(1)分析系统和各个元件的工作原理，找出各物理量(变量)之间的关系，确定系统和各元

件的输入、输出变量。

(2)从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理(或化学)定律，列写

出动态微分方程。

(3)对已建立的微分方程进行数学处理，如忽略次要因素，对方程进行线性化等，以简化原

始方程。

(4)消去中间变量，写出关于输入、输出变量的微分方程。

(5)将与输入有关的各项放在等号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，并按降基排列。

2.拉氏变换的基本法则及典型函数的拉氏变换形式

(1)拉普拉斯变换定义

oo

函数/⑺，f为实变量，如果线性积分力(SP+汝)存在，则称其为函数

的拉普拉斯变换，简称拉氏变换。记作尸(S)或即

OO

〃了«)]"")=[/("2(2T)

一般称尸(s)为/«)的象函数，而/Q)为口(s)的原函数。

1a+ja)

厂团(s)]=「[b(s)e"杰=/(f)(2-2)

2町

为拉氏反变换。

(2)拉氏变换的基本法则

①线性性质

⑺土牡⑴]=aL[f.⑺]±bL[f2(t)]=西(s)±bF2(s)(23)

②微分法则

L(^^Ll=s"F(s)-sn-,f(0)-sn-2f(0)--廿"m(2Y)

式中/(o),f(o),为函数/⑴及其各阶导数在，=o时的值，当

/(0)=/(0)==-1>(0)=0时，有

n

Lrdf(t)]=5«F(5)(2-5)

③积分法则

川)(/)(%)"]=’尸($)+」广，(0)++1尸(0)(2-6)

nSSS

式中/(_0(0),/(-2)(0),/i)(0)为函数/⑺的各重积分在f=0时的值，

当—T)(0)=1-2)(0)=寸(f)(0)=0时，有

L[\=1F(s)(2-7)

„s"

④终值定理

lim/(r)=limsF(s)(2-8)

/->oos->0

⑤位移定理

〃/(/-£))]=ef'b(s)(实数位移)(2-9)

"e""(f)]=F(s-a)(复数位移)(2-10)

(3)典型函数的拉氏变换形式如表2T所示

表2T典型函数的拉氏变换形式

典型函数原函数/⑺象函数F(s)

1单位脉冲函数即)1

2单位阶跃函数1(01

S

3单位斜坡函数t

4单位等加速函数1J1

1

5指数函数*

s-a

6正弦函数sin面(d

s2+a)2

7余弦函数cos初s

一+布

3.线性微分方程的求解

用拉氏变换求解微分方程的步骤

(1)将系统微分方程进行拉氏变换得到以S为变量的象方程(系统初始值取。=0时的对应

值)。

(2)解象方程，求出系统输出变量的象函数表达式。

(3)将输出的象函数进行拉氏反变换，得微分方程的解。

4.传递函数的概念及性质

(1)传递函数定义为:零初始条件下，线性定常系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。

+«„-i+a“c(〃=/?o力,“+出

即dt"+a,dt"-'+dt+b“i+"N)

(2-11)

m

+a„_,s+a„]cG)=rbos++bm_}s+勾]R(s)

(2-12)

则系统传递函数%=如'"++”"，=G(s)(2-13)

R(s)aos"++an''

(2)有关传递函数的性质

①由传递函数定义可知，它只适用于线性定常系统。

②传递函数完全由系统的结构、参数确定，与外界输入无关。传递函数只表示一

③个输出对一个输入变量间的动态联系，它不能表明中间各变量

间的动态特征，这是其局限性。

④传递函数是在零初始条件下定义的，它只反映系统的零初始状态的系统动态特性。

⑤传递函数是一种数学抽象，物理性质不同的系统，完全可以有相同的传递函数。

5.典型环节的传递函数形式

(1)比例(或放大)环节G(s)=Z

(2)纯微分环节G(s)=s

(3)积分环节G(s)=X

S

(4)惯性环节(或一阶环节)G(s)=」一

'76+1

(5)一阶微分环节G(s)=rs+1

12

(6)振荡环节(或二阶环节)G(s)=--------=-——立------

''T2s2+2二公+]S2+2J/“S+@

(7)二阶微分环节G(s)=ds?+2。$+1

6.由系统微分方程组建立动态结构图(也称方框图)的方法

(1)对各方程组进行零初始条件下的拉氏变换，将变换方程组的每一个子方程都用子结构图

表示出来。

(3)系统的输入变量置于左端，输出变量(被控量)置于右端，并且按系统中各变量的传递

顺序，依次将各元件结构图中相同的量连接起来，即可得到系统的结构图。

7.用动态结构图等效变换求传递函数和梅逊公式求传递函数的方法

(1)用动态结构图等效变换求传递函数结构

图变换的原则是变换前后要等效。基本

的运算形式有三种，如图2-1所示。

①串联连接G(S)=GG)G2(S)(2-14)

②并联连接G(S)=G(S)±G2(S)(2-15)

③反馈连接G(s)(2-16)

R(s)

(a)串联连接(b)并联连接(c)反馈连接

图2T结构图的三种基本连接形式

除这三种基本连接形式外，还有其它连接形式。但只要在保持传递信号关系不变的原则

下，移动引出点、综合点，就可变为上述的三种基本连接形式。分述如下：

④引出点前后移动的等效变换，如图2-2所示。

(b)引出点的前移

图2-2引出点前后移动的等效变换

⑤相邻引出点之间的移动，如图2-3所示。

.s)即)

R(s)R(s)

LXLX

R(s)R(s)R(s)R(s)

(a)(b)

图2-3相邻引出点的移动

⑥综合点前后移动的等效变换，如图2-4所示。

R(s)入~C(s)

专iG(s)

Q(s)

(a)综合点的后移

(b)综合点的前移

图2-4综合点前后移动的等效变换

⑦相邻综合点之间的移动，如图2-5所示。

Y(s)Y(s)Y(s)

++±

R(s)Ac(s)

1±±‘土

X(s)X(s)X(s)

(a)(c)

图2-5相邻综合点的移动

(2)梅逊公式求传递函数

梅逊公式为：G(s)=%(2-17)

式中G(s)为总传递函数。

△称主特征式，且：△=1一£4+£，4一£044+(2-18)

Z4,为所有各回路的“回路传递函数”之和X&4为所有两两互不接触的回路，其“回

路传递函数”乘积之和。

Z44》为所有三个互不接触的回路，其“回路传递函数”乘积之和。

员即第&条前向通道的传递函数，〃是前向通道数。取是将△中与第4条前向通道相接触

(有重合部分)的回路所在项去掉之后的余子式。8.开环传递函数、闭环传递函数，对参

考输入和对干扰的系统闭环传递函数及误差传递函数的概念

控制系统的典型结构如图2-6所示。

图2-6控制系统的典型结构图

。(s)G2(s)H(s)为系统的开环传递函数，相当于梅逊公式中的回路传递函数

B(s)/E(s),但二者不是同一概念，开环传递函数是闭环系统的开环且不含反馈极性。(1)

r(f)作用下的系统闭环传递函数

令〃⑴=0,①(s)=氢^=----

G](S)G2.(S)-----(2-18)

R(s)1+G(S)G2(S)"(S)

(2)〃。)作用下的系统闭环传递函数

令rQ)=O,①(s)=C“(s)=------G2(s)------

(2-19)

N(s)1+G|(S)G2(S)H(S)

(3)系统总输出

根据线性叠加原理，总输出的拉氏变换形式为:

c(5)=①R(S)R(S)+①\,(s)N(s)=——G[(S)G2(S)——R(s)+------生©---N(s)

1+G,(S)G2(S)H(S)1+G、(5)G2(5)H(S)

(2-20)

(4)闭环系统的误差传递函数

令n(t)=0,①(s)=E(s)__________I_________

R(s)-1+G(S)G2(S)”(S)

令rQ)=O,①(s)=^4_——Gals)"/)―

N(s)—1+G(S)G2(S)”(S)

根据线性叠加原理，系统的总误差E(s)=①,(s)R(s)+①,"(s)N(s)(2-21)

2.1.2基本要求

1.了解建立系统动态微分方程的一般方法。

2.熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉氏变换形式。

3.掌握用拉氏变换求解微分方程的方法。

4.掌握传递函数的概念及性质。

5.掌握典型环节的传递函数形式。

6.掌握由系统微分方程组建立动态结构图的方法。

7.掌握用动态结构图等效变换求传递函数和梅逊公式求传递函数的方法。

8.掌握系统的开环传递函数、闭环传递函数，对参考输入和对干扰的系统闭环传递函数及误

差传递函数的概念。

第三章时域分析法

§3」内容提要和基本要求

3.1.1基本概念

1.典型输入信号(1)阶跃信号和

单位阶跃信号

R

r(t)=R-Kt)(t>0)R(s)=

s

当R=1时，称为单位阶跃信号

1

%)=1⑺(t>0)R(s)=

s

(2)斜坡信号和单位斜坡信号

V

r(r)=v-r(t>0)R(s)=

<2

当v=l时，称为单位斜坡信号

1

r(r)=t(t>0)R(s)=

Q2

(3)等加速信号和单位等加速信号

a

«，)=一(t>0)R(s)=

2s3

当a=1时，称为单位等加速信号

J1

，⑺=—t(t>0)R(s)=

2s3

(4)单位脉冲信号

0(tw0)②

%)=,

00(t=0)且⑺力==1

(5)正弦信号

ao)

r(r)=asin(6y/)I«s)=

s2+〃

2.典型时间响应

(1)单位阶跃响应

)i

H(s)=(!>(S)•R(s)=①(s(3-1)

s

11(3-2)

si

(2)单位斜坡响应

C(S)=(D(S)R(S)=(D(S).J

(3-3)

£(，)=厂:①(s)

11(3-4)

2\

(3)单位脉冲响应

K(s)=O(s)R(s)=0)(s)l=<D(s)(3-5)

Mf)='"(s)](3-6)

(4)三种响应之间的关系

H(s)=0(S),：=K(s)q,h(t)=卜(加7(3一7)

111

C,(s)=°(S>¥=//(s>-,c《)=['/?(707(3-8)

S5•心

K(s)=sH(s),.一瞥(3-9)

H(s)=sC(5),h(t)=C'^(3-10)

'dt

式（3-7）、（3-8）表明，单位脉冲响应积分一次就是单位阶跃响应，单位阶跃响应积分

一次就是单位斜坡响应.而式（3-9）、（3T0）表明，单位斜坡响应的一次导数就是单位阶跃

响应，单位阶跃响应的一次导数就是单位脉冲响应。所以根据三种响应之间的关系，可由其

中的任何一种换算另外两种。

3.单位阶跃响应的性能指标单位阶跃输入作用下,稳定系统的输出响应随时间变化的指标

称为阶跃响应的动态性能

指标（如图3-1）»

（1）延迟时间以：单位阶跃响应曲线上升到其稳态值的50%所需要的时间。

（2）上升时间。：单位阶跃响应曲线力。），从稳态值的10%上升到稳态值的90%所需要的

时间（也指从零第一次到达稳态值所需要的时间）。

（3）峰值时间%：单位阶跃响应曲线以。超过其稳态值达到第一个峰值所要的时间。

(4)调节时间f,：单位阶跃响应曲线人。)进入±5%(有时也取±2%)误差带，并且不再

超出该误差带的最短时间。又称为过渡过程时间。

(5)超调量。％：单位阶跃响应最大超出量与稳态值之比。即

h(t)-7z(oo)

<7%=-^~~—%(3-11)

/l(oo)

(6)稳态误差『:单位阶跃响应的稳态值与期望值之差。即♦=1-九(00)(3-12)

4.一阶系统的时间响应

(1)数学模型

\C(s)1

①(s)=~=T------阶系统的时间常数(3-13)

R(s)Ts+l

一阶系统的结构图如图3-2(a)。

(2)单位阶跃响应c(上①⑶R(上上(3-14)

c(，)=L11U'(3-15)

一心+lsis

一阶系统的单位阶跃响应曲线如图3-2(b)。

R(s)1C(.v)

Ts

(a)

图3-2一阶系统的结构图与单位阶跃响应曲线

(3)一阶系统单位阶跃响应曲线的特点

①曲线是一条由零开始，按指数规律上升并最终趋于1的曲线。

②当r=0时，曲线的斜率为1/T,响应若按此速度上升，当r=T时，C(T)=1o

③响应没有超调且没有稳态误差。

(4)一阶系统单位阶跃响应的动态性能指标

ts=3T(对应+5%误差带)(3-16)

ts=4T(对应±2%误差带)(3-17)

(5)一阶系统的单位脉冲响应和单位斜坡响应分别为

=-e"11(t>0)(3-18)

(3-19)

图3-3一阶系统的响应曲线

5.二阶系统的时间响应

(1)数学模型

C(f)=①($)=_____应_____=-------------

(3-20)

222

R(s)\'s+2^ns+^TS+2CTS+1

，一一阻尼比，4=1/7一—自然振荡角频率，T一一二阶系统的时间常数

二阶系统的结构图如图3-4。

R(s)应J研C(?

s(s+2g)

图3-4二阶系统的结构图

(2)二阶系统的两个特征根，即闭环极点近2在S平面的分布情况如图3-5所示。

当，＞1时，称过阻尼，与2=—〃”土以472—1；当。=1时，称临界阻尼，.匕2=一。“；

当o<，<1时，称欠阻尼，1.2=一”“土加/1-42；

当4=0时，称零阻尼，S1.2=土jo)„；

当，<0时，称负阻，系统将出现S平面右半平面的特征根;

二阶系统正常工作的基本条件是阻尼比？>0。

(3)过阻尼(？>1)二阶系统的单位阶跃响应

n'Ae>\t+ri-A+1

M，=/S|-S2)S1G-S])S2

(3-21)

_]______QJ______/-：+、®Qi5业•2-1)3.，

"Grg-i-i「r+^,r-i-i「

过阻尼二阶系统的单位心丽应曲线如图3-6所示。厂

图3-6过阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线

过阻尼二阶系统的单位阶跃响应无震荡、无超调、无稳态误差。(4)临界阻尼«=1)二

阶系统的单位阶跃响应

(3-22)

临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应无震荡、无超调、无稳态误差。(5)零阻尼(4=0)二

阶系统的单位阶跃响应

"(/')=1-cos幼](3-23)

零阻尼二阶系统的单位阶跃响应等幅震荡。

(4)欠阻尼(0<?<1)二阶系统的单位阶跃响应

h⑴=I——/12e"(fOn，-sinl11-02①/+arccos,I(3-24)

欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线如图3-7所示•

图3-7欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线

欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应震荡衰减、有超调、无稳态误差。欠阻尼二阶系统的单位阶

跃响应性能指标

峰值时间：％=---[,(3-25)

超调量：b%=h(tpS10()%=斤*]00%(3-26)

/2(00)

3

调节时间：阻尼比4<0.7时，t=——(取±5%误差带)(3-27)

'勿，

阻尼比4〉0.7时，4=,(6.45:一1.7)(取±5%误差带)(3-28)

6.系统稳定性分析

(1)线性系统的稳定概念若系统受干扰，偏离了平衡状态，而当扰动消失后，系统仍能恢复

到原平衡状态，则称系统是稳定的或具有稳定性。稳定性是系统的固有特性.

稳定性只由系统结构、参数决定，与初始条件及外作用无关。

(2)稳定的充分必要条件线性系统稳定的充分必要条件是系统特征方程的根均具有负实

部，或者全部根都分布在左半复平面内。特征方程的根即系统闭环传递函数的极点。(3)

古尔维茨(Hurwitz)判据系统

特征方程的一般形式：。(5)=劭5"+。产1+45"-2++。》+%=0(3-29)

一般首次项系数规定为劭>0。

用上式的各项系数构造古尔维茨行列式:

4。3。5

%〃2a2n-2

0勾田生«2«-3

Dn=(3-30)

0aoa2。2〃-4

000an

该〃阶行列式的主对角线依次是勾,死,。3，，4，在每一列由上而下按下标递减的

顺序填入其它系数，缺项的用0补齐。

判别系统闭环稳定的充分必要条件是特征方程的古尔维茨行列式

4

a1

a

Dk>0,(^=1,2,3,,M)D]=tZ],D2—,2=%2

%0

(3-31)

(4)林纳德-奇帕特(Lienard-Chipard)判据(也称代数稳定判据)

判别系统闭环稳定的充分必要条件是

①系统特征方程的各项系数大于零，即4>0(i=0,l,2,,〃)

②奇数阶或偶数阶古尔维茨行列式大于零，即。奇>0或。偈〉

(5)劳斯判据

根据系统特征方程的系数列写劳斯表，如表3-1所示。

表3-1劳斯表

s"%a2«4。6

s"T的%a7

s"~2_QXUA~(kyCl^.

%-",C23~C33~

a\a\

「_&念一的3

C24-0-

C"C1303

S-c=QXAQHZLGACMc―^£13^34

0404

s2q,n-iC2,n-\

51cl.„

S°=an

利用劳斯判据判别系统闭环稳定的充分必要条件是:劳斯表中第一列所有各项均为正数。

若劳斯表中第一列出现负数，则第一列各数值符号改变的次数就是系统闭环不稳定特征

根的个数，即具有正实部根的个数。

在列写劳斯表的过程中，若某一行的第一列元素为零，但该行其余元素不为零，或不全

为零，那么下一行的元素会变成无穷大，这时可用一个很小的正数£代替第一列的零继续计

算。

若某一行的元素全部为零，则表明存在对称于s平面原点的根，它们可以是两个大小相

等符号相反的实根或一对共舸虚根，也可以是两对对称于坐标原点的共轨复根，这时可用全

零行上面的一行元素构造辅助方程(辅助方程的次数通常为偶数，求辅助方程的解就可以得

到对称于坐标原点的根)，再将辅助方程对复变量s求导，用所得方程系数取代全零行的元

素，继续进行劳斯阵列的计算。

7.系统稳态误差分析

控制系统的典型结构如图3-8所示。R(s)是参考输入，N(s)是干扰输入，C(s)是系

统输出，E(s)是系统的误差。

图3-8控制系统的典型结构

(1)误差及稳态误差误差的定义一般有两种方式：

e(Z)=r(/)-c(Z)(3-32)

e。)=「(，)一/?(7)(3-33)

当系统是单位负反馈时，统一为式(3-32)。稳态误差：稳定系统误差的终值称为稳态

误差。

e.”=lime⑺(3-34)

♦为衡量系统最终控制精度的重要性能指标。

(2)稳态误差的计算

E(s)=E£s)+EJS)=①“(s)R(s)+①5(5)N(s)

=——1——R(s)+-叩”(S)<3-35)

1+G⑶G2(S)”(S)1+G(S)G2(S)H(S)

应用终值定理，<=!5e(/)=!5sE(s)(3-36)

注意应用终值定理的条件，在这里sE(s)的所有极点均应在s平面的左半部。求稳态误

差首先判别系统的稳定性，只有稳定的系统计算稳态误差才有意义。

(3)/•")作用下的稳态误差

系统的开环传递函数:

2

/、/、Kn&s+l)(n.v+2(^r25+l)

G(s)H(s)=G(s)a(s)”(s)=/n(隼+i)(审+2仃”1)(3-37)

K为开环增益(当开环传递函数分子、分母的最低项系数都化为1时得到的),

u为积分环节1/s的数目。

11H+i

e=limsEAs)-limsR(s)=lims・；--7?(5)=lim♦R(s)

ssr1。R2。G(s)H(s)1。1+K/*sfOs'K

(3-38)

(4)系统的型次和静态误差系数系统的型次

0=0的系统称为0型系统，

。=1的系统称为I型系统，

"=2的系统称为II型系统，III型以上的系

统，对稳定性不利而很少采用。静态误差系

数

①静态位置误差系数K,,

勺,表示阶跃输入下的稳态精度峪,=^G(s)”(s)(3-39)

②静态速度误差系数K.

Kv表示系统在斜坡输入下的稳态精度Kv=limsG(s)H(s)(3-40)

STO

③静态加速度误差系数K“K”表示在等加速信号输入下的稳态精度

K“=lims2G(s)H(s)(3-41)

对应不同的参考输入信号和系统型次，系统稳态误差和静态误差系数如表3-2所示：

表3-2参考输入信号作用的系统稳态误差和静态误差系数

系统静态误差系数稳态误差

型次k.k“e)=i⑴r(t)=t2/2

0型k001/(1+K)0000

I型00k001/K00

II型0000k00\/K

in型000000000

可见，增大开环增益K可以减小由参考输入引起的稳态误差增加控制系统的型次

可以使原来有稳态误差的系统变成稳态误差为零。

(5)〃(，)作用下的稳态误差

作用下稳态误差的表达式

e”=limsE,(s)=lims•①(s)-N(s)-lim.y----G?(s)"s)N(S)(3-42)

20八'10"八)()Z]+G(S)G2(S)“(S)

如图3-8所示，误差信号与干扰作用点之间的传递函数

&n(a+i)

=---号-------(3-43)

小”(7>+1)

其它部分的传递函数

A

《口(3+1)

GAs)H(s)(3-44)

k2

>1

将式(3-43)和(3-44)代入(3-42),得

e=lim---&心阳—N(s)

ssn(3-45)

STO/+%十八|人2

若误差信号与干扰作用点之间的传递函数G(s)中无积分环节，对阶跃干扰来说,

1;在G(s)中引入积分环节，可以消除某种形式干扰引起的稳态误差q,“，同时

K\

也可以消除系统对某种形式的参考输入的稳态误差0叩。

3.1.2基本要求

(1)熟练掌握一、二阶系统的数学模型和阶跃响应的特点。熟练计算性能指标和结构参数,

特别是一阶系统和典型欠阻尼二阶系统动态性能的计算方法。

(2)了解一阶系统的脉冲响应和斜坡响应的特点。

(3)正确理解系统稳定性的概念，能熟练运用稳定性判据判定系统的稳定性并进行有关的参

数计算、分析。

(4)正确理解稳态误差的概念，明确终值定理的应用条件。

(5)熟练掌握计算稳态误差的方法。掌握系

(6)统的型次和静态误差系数的概念。

第四章根轨迹法

§4-1内容提要和基本要求

4.1.1内容提要

1.根轨迹方程

设闭环系统的特征方程为

£>($)=l+G(s)”(s)=O(4-1)

闭环极点就是特征方程的根。若求开环传递函数中某一参数从零变到无穷时闭环所有

的极点，就是求解（4-1）式，因此（4-1）式即为根轨迹方程。通常根轨迹方程写为下列形

式

G(s)〃(s)=-1(4-2)

n（s-p,）

/=1

其中K*为开环根轨迹增益，Z,、p,.分别为开环零、极点。

式（4—3）又可以分解为模值方程和相角方程

tn

模值方程“i=i]（4—4）

口卜-，,」

相角方程gZ（.v-z,.）-、N(s—Pi)-Qk+1)7,k-0,+1,±2,(4-5)

通常我们利用相角方程来绘制根轨迹，利用模值方程来计算根轨迹某一点处所对应的

根轨迹增益K*或开环增益K。

2.绘制根轨迹的基本法则

⑴根轨迹的分支数根轨迹的分支数等于开环特征方程的阶数。在（4-3）式

中假设九2小。

（2）根轨迹的连续性与对称性根轨迹是连

续曲线，且对称于实轴。

（3）根轨迹的起点与终点

根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点.如果开环零点数m小于开环极点数n,则

有（n-m）条根轨迹趋于无穷远处。

（4）实轴上的根轨迹实轴上某一区域，若其右边开环实零、极点的个数之和为奇数，则该区

域必是根轨迹。

(5)根轨迹的渐近线

如果系统的开环极点数n大于开环零点数m,则n-m条渐近线与实轴的交点环、夹角

为

=Qk+1)兀-0,1,2,,n-m-V)(4—6)

n-m

m

£Pi-£zj

(ra_I=I/=i(4—7)

n-m

(6)根轨迹的起始角与终止角

根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角，称为起始角，用6“表示；根轨

迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角，称为终止角，用夕%表示。

%=(2%+1)乃+£%而一»＞，"，左=0，±1，±2，(4一8)

尸17=1

评

%=(2k+l)乃一£夕赤上=0,±1,±2,(4-9)

(7)根轨迹分离点坐标d

分离点的坐标d可由下列方程求得

mn

式中Zj为开环零点，Pi为开环极点。

(8)分离角与会合角根轨迹离开分离点处的切线与实轴正方向的夹角，称为分离角，以。

d表示。根轨迹

进入会合点处的切线与实轴正方向的夹角，称为回合角，以如表示。

=-(2Z+1)乃+-±N