函数的基本性质

函数的基本性质第一页，共四十八页，2022年，8月28日新课导入一、情景问题如图为2008年北京奥运会奥林匹克公园场馆自动气象站某日一天24小时内的气温变化图（24时与0时气温相同为32C），观察这张气温变化图：问：该图形是否为函数图象？定义域是什么？问：如何用数学语言来刻画温度随时间变化而变化的趋势呢？第二页，共四十八页，2022年，8月28日请同学们画出函数f(x)=x和f(x)=x2的图象，并观察图象的变化特征，说说自己的看法.第三页，共四十八页，2022年，8月28日可观察到的图象特征：（1）函数f(x)=x的图象由左至右是上升的；（2）函数f(x)=x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；也就是图象在区间(-∞,0]上，随x着的增大，相应的f(x)随着减小，在区间(0,+∞)上，随着x的增大，相应的f(x)也随着增大.归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上的变化趋势也不同.函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映.第四页，共四十八页，2022年，8月28日思考：1．如何用函数解析式f(x)=x2描述“随着x的增大，相应的f(x)随着减小”，“随着x的增大，相应的f(x)也随着增大”？2.在区间(0,+∞)上任取x1,x2，函数值的大小变化与自变量的大小变化有何关系？如何用数学符号语言来描述这种关系呢？第五页，共四十八页，2022年，8月28日对于函数f(x)=x2

，在区间(0,+∞)上，任取两个x1,x2，当x1x2时，有f(x1)f(x2).这时，我们就说函数f(x)=x2在区间(0,+∞)上是增函数.请你仿照刚才的描述，说明函数f(x)=x2在区间(-∞,0)上是减函数.第六页，共四十八页，2022年，8月28日新课一、函数的单调性1.增函数的定义设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数（increasingfunction）.请你仿照增函数的定义给出函数f(x)在区间D上是减函数的定义.第七页，共四十八页，2022年，8月28日2.减函数的定义设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数（decreasingfunction）.第八页，共四十八页，2022年，8月28日3．对定义要点分析1）函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的;2）应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）.第九页，共四十八页，2022年，8月28日3．对定义要点分析3）如果函数y=f(x)在某一区间D上是增(减)函数，就说f(x)在这个区间D上具有单调函数，这一区间D叫做f(x)的单调区间.说明：

(1)函数的单调区间D是其定义域I的子集；

(2)判断函数的单调性的方法：比较法（要注意变形的程度）(3)证明函数的单调性的步骤：第十页，共四十八页，2022年，8月28日课堂例题-5-4O12345-1-3-2-2-1123xy第十一页，共四十八页，2022年，8月28日课堂练习1.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高.画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）.第十二页，共四十八页，2022年，8月28日2.请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系.工人数生产效率O第十三页，共四十八页，2022年，8月28日3.根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.-1123451234567Oxy第十四页，共四十八页，2022年，8月28日第十五页，共四十八页，2022年，8月28日课堂小结（1）增减函数的图象有什么特点？增函数的图象从左自右是上升的，减函数的图象从左自右是下降的.（2）用定义证明函数的单调性，需要抓住要点“在给定区间任意取两个自变量”去比较它们的函数值的大小.（3）如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.第十六页，共四十八页，2022年，8月28日

单调性与最大(小)值—函数的最大(小)值第十七页，共四十八页，2022年，8月28日-5-4O12345-1-3-2-2-1123xy第十八页，共四十八页，2022年，8月28日发现，函数图象在x=-2时，其函数值最小，而在x=1时，其函数值最大.-5-4O12345-1-3-2-2-1123xy第十九页，共四十八页，2022年，8月28日观察f(x)=x2的图象有一个最低点第二十页，共四十八页，2022年，8月28日观察f(x)=-x2的图象xyO有一个最高点第二十一页，共四十八页，2022年，8月28日观察函数f(x)=x的图象发现，没有最低点，也没有最高点.第二十二页，共四十八页，2022年，8月28日新课

函数的最大（小）值1．函数的最大（小）值的定义设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；（2）存在x0∈I

，使得f(x0)=M.那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值(maximumvalue)。请你仿造函数最大值的定义，给出是函数y=f(x)的最小值的定义.第二十三页，共四十八页，2022年，8月28日设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；（2）存在x0∈I

，使得f(x0)=M.那么，我们称M是函数y=f(x)的最小值(minimumvalue).第二十四页，共四十八页，2022年，8月28日课堂例题例1.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度hm与时间ts之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？第二十五页，共四十八页，2022年，8月28日第二十六页，共四十八页，2022年，8月28日课堂练习1.设f(x)是定义在区间[-6,11]上的函数.如果f(x)在区间[-6,-2]上递减，在区间[-2,11]上递增，画出f(x)的一个大致的图象，从图象上可以发现f(-2)是函数f(x)的一个__________________.第二十七页，共四十八页，2022年，8月28日2．函数的最大（小）值与单调性的关系从上面的例题可以看到，函数的最大（小）值与单调性有非常紧密的关系.我们再看一个例子.第二十八页，共四十八页，2022年，8月28日例3观察下图，用函数的单调性研究以下问题：(1)若函数y=f(x)的定义域为x∈[b,e]，求最大值和最小值；第二十九页，共四十八页，2022年，8月28日例3观察下图，用函数的单调性研究以下问题：(2)若函数y=f(x)的定义域为x∈[a,e]，求最大值和最小值；第三十页，共四十八页，2022年，8月28日例3观察下图，用函数的单调性研究以下问题：(3)若函数y=f(x)的定义域为x∈[b,d)，求最大值和最小值；第三十一页，共四十八页，2022年，8月28日课堂小结

函数的最大（小）值是一个函数在一段区间或者整个定义域上的整体性质.一个函数可能存在最大值也可能不存在最大值，最大值具有唯一性，对于最小值也一样.

我们经常利用函数的单调性求函数的最大（小）值.第三十二页，共四十八页，2022年，8月28日课后作业课本第39页习题1.3A组第5题；课本第39页习题1.3B组第1、2题.第三十三页，共四十八页，2022年，8月28日1.3.2奇偶性第三十四页，共四十八页，2022年，8月28日导入新课

从对称的角度，观察下列函数的图象：函数f(x)=x2,g(x)=|x|这两个函数图象有什么共同的特征?第三十五页，共四十八页，2022年，8月28日请列出从3到3这一段区间上，两个函数的对应值表，并思考：自变量取值互为相反数时，函数值如何变化，有怎样的等量关系？第三十六页，共四十八页，2022年，8月28日请列出从3到3这一段区间上，两个函数的对应值表，并思考：自变量取值互为相反数时，函数值如何变化，有怎样的等量关系？第三十七页，共四十八页，2022年，8月28日讨论结果：当自变量取值互为相反数时，函数值恰相等.反映在图象上，函数图象关于y轴对称.第三十八页，共四十八页，2022年，8月28日新课1．偶函数如果函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数(evenfunction)．定义域关于坐标原点对称.请你举出偶函数的例子.第三十九页，共四十八页，2022年，8月28日观察函数f(x)=x和的图象，说一说这两个函数有什么共同特征？第四十页，共四十八页，2022年，8月28日（1）图象看，它们都是关于坐标原点成中心对称；（2）从定义域看，它们的定义域都是关于坐标原点对称；（3）从函数值看，x与-x的函数值的绝对值相等且符号相反.第四十一页，共四十八页，2022年，8月28日2．奇函数如果函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数(oddfunction)．定义域关于坐标原点对称.请你举出奇函数的例子.第四十二页，共四十八页，2022年，8月28日3．函数的奇偶性奇函数和偶函数的这种性质叫做函数的奇偶性．（1）具有奇偶性的函数的定义域具有对称性，即关于坐标原点对称，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，就不具有奇偶性．第四十三页，共四十八页，2022年，8月28日（2）具有奇偶性的函数的图象具有对称性．偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于坐标原点对称；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么，这个函数是偶函数，如果一个函数的图象关于坐标原点对称，那么，这个函数是奇函数．（3）由于奇函数和偶函数的对称性质，我们在研究函数时，只要知道一半定义域上的图象和性质，就可以得到另一半定义域上的图象和性质．第四十四页，共四十八页，2022年，8月28日课堂练习第四十五页，共四十八页，2022年，8月28日课堂练习xOyf(x)x