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文档简介

§3

平面曲线的弧长与 曲率数学分析第十章定积分的应用

本节定义光滑曲线的弧长,并用定积分给出弧长计算公式.定义1设平面曲线C由以下参数方程表示:平面曲线的弧长后退前进目录退出平面曲线的弧长定义2设平面曲线C由参数方程平面曲线的弧长定理10.1（光滑曲线弧长公式）证曲线,则C是可求长的,且弧长为设曲线C由参数方若C为一光滑平面曲线的弧长平面曲线的弧长由第一章§1习题6可知于是,平面曲线的弧长即从而平面曲线的弧长因此当f在

[a,b]

上连续可微时,则

C又可看作注1若曲线C由直角坐标方程则C亦可看作注2若曲线C由极坐标方程表示,示,平面曲线的弧长由于平面曲线的弧长解例1a平面曲线的弧长例2解解段弧长.例3平面曲线的弧长在光滑曲线上,

弧段与的长度相差不*平面曲线的曲率曲率是刻画曲线的弯曲程度的一个概念.如图所示,多而弯曲程度却很不一样.转过的角度要大得多.比动点从Q移到R时切线.到Q时,切线转过的角度这反映动点沿曲线从P移*平面曲线的曲率设表示曲线在点处切线的倾角,表示动点由P沿曲线移至时切线倾角的增量.之长为,则称为弧段的平均曲率.若如果存在有限极限则称此极限K为曲线C在点P的曲率.*平面曲线的曲率可得*平面曲线的曲率即若曲线由表示,则由于曲线光滑,故总有例1求椭圆上曲率解由于最大和最小的点.*平面曲线的曲率因此椭圆在各点的曲率为处曲率最小,当时,在处曲率最大,在显然,直线上各点处的曲率为0.设曲线上一点P处曲率的圆,使它在点P处与曲线有相同的切线,

并在

P近旁与曲线位于切线的同侧(见图).在

P处的曲率圆.曲率圆的圆心称为曲率中心.的半径称为曲率半径,我们把这个圆称为曲线若过P

作一个半径为曲率圆*平面曲线的曲率由例1可得,若则各点处曲率相等,为

火车轨道从直道进入半径为

R的(使火车的向心加速度以保证火车行驶安全使得曲率由零连续地变到圆形弯道时,例2如图所示,为了行车安全,必须经过一段缓冲轨道(用虚线表示),*平面曲线的曲率缓冲曲线常采用三次曲线

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