分析力学基础达朗贝尔原理

分析力学基础达朗贝尔原理第一页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础2达朗贝尔原理前言达朗贝尔惯性力与质点系达朗贝尔原理一般运动刚体的动静法平面运动刚体的动静法定轴转动刚体的动静法动反力分析力学基础/达朗贝尔原理第二页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础3达朗贝尔原理前言达朗贝尔惯性力与质点系达朗贝尔原理一般运动刚体的动静法平面运动刚体的动静法定轴转动刚体的动静法动反力

分析力学基础/达朗贝尔原理第三页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础4前言质点系的达朗贝尔原理1743年由达朗贝尔提出与矢量动力学不同，从另一个角度给出了作用于系统的力与系统运动的关系构成了分析动力学的基础分析力学基础/达朗贝尔原理/前言第四页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础5达朗贝尔原理前言达朗贝尔惯性力与质点系达朗贝尔原理一般运动刚体的动静法平面运动刚体的动静法定轴转动刚体的动静法动反力

分析力学基础/达朗贝尔原理第五页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础6达朗贝尔惯性力、质点系达朗贝尔原理达朗贝尔惯性力质点系达朗贝尔原理分析力学基础/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理第六页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础7达朗贝尔惯性力考虑惯性基下质点的运动分析力学基础/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理根据牛顿定律质点的动力学方程

定义达朗贝尔惯性力

质点运动的任意时刻，质点的达朗贝尔惯性力与作用于质点的所有真实的作用力组成平衡力系质点达朗贝尔原理

第七页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础8分析力学基础/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理动静法真实的作用力指作用于质点的外力(包括理想约束力)引入达朗贝尔惯性力使惯性基下的质点动力学方程变换为一种力的平衡方程的形式这种处理方法称为动静法动力学“静力学”第八页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础9分析力学基础/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理回顾非惯性系下动力学方程惯性基非惯性平动基定义非惯性系下动力学方程考虑特殊情况：惯性系下动力学方程牵连加速度牵连惯性力第九页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础10分析力学基础/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理非惯性系惯性力牵连加速度达朗贝尔惯性力达朗贝尔惯性力与非惯性系惯性力绝对加速度处理相对运动问题动静法处理绝对运动问题牵连惯性力使方程类似于惯性系下的牛顿方程第十页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础11分析力学基础/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理质点系外力内力牛顿定律质点Pi所对Pk的作用力力质点Pk所受的力质点系达朗贝尔原理定义达朗贝尔惯性力

第十一页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础12分析力学基础/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理质点系外力内力质点Pk所受的力n个方程相加达朗贝尔惯性力

第十二页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础13分析力学基础/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理质点系外力系力系主矢达朗贝尔惯性力系

外力系与达朗贝尔惯性力系构成平衡力系力系对点O的主矩外力系平衡方程质点系达朗贝尔原理

惯性力系第十三页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础14分析力学基础/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理/例[例]小球P1与P2与铅垂轴AB固连将小球视为质点，质量均为m轴AB作匀角速度w旋转。求轴承A与B处所受的力第十四页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础15分析力学基础/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理/解[解]连体基运动分析系统作定轴匀角速度转动质点P1与P2作匀速圆周运动转动加速度动静法系统“冻结”（一般状态下）加惯性力设定正向真实外力主动力理想约束力设定正向与加速度方向相反大小第十五页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础16分析力学基础/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理/解连体基动静法系统“冻结”（一般状态下）惯性力主动力理想约束力平面力系平衡方程构成力偶第十六页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础17分析力学基础/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理/解连体基动静法系统“冻结”（一般状态下）平面力系平衡方程由于平面x-y随轴AB一起转动，所以轴承受到的力在惯性基上观察是在不断的改变方向第十七页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础18分析力学基础/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理/例[例]变摆长的摆套在环上，摆绳原长为l0，以匀速v向下拉小球视为质点，质量为m建立此摆的的动力学方程第十八页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础19分析力学基础/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理/解[解]小球运动的一般位置动静法惯性基小球加速度惯性力设定正向真实外力主动力理想约束力以小球为对象坐标y小球笛卡儿坐标与加速度方向相反第十九页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础20分析力学基础/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理/解动静法惯性基小球平衡方程小球动力学方程第二十页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础21达朗贝尔原理前言达朗贝尔惯性力与质点系达朗贝尔原理一般运动刚体的动静法平面运动刚体的动静法定轴转动刚体的动静法动反力

分析力学基础/达朗贝尔原理第二十一页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础22一般运动刚体动静法刚体的达朗贝尔原理刚体达朗贝尔惯性力的简化分析力学基础/达朗贝尔原理/一般运动刚体动静法第二十二页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础23分析力学基础/达朗贝尔原理/一般运动刚体动静法刚体达朗贝尔原理质点系达朗贝尔原理

主动力与理想约束力主矢主动力与理想约束力对质心C的主矩惯性力系主矢刚体达朗贝尔原理

惯性力对质心C的主矩第二十三页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础24分析力学基础/达朗贝尔原理/一般运动刚体动静法刚体达朗贝尔原理的变换刚体达朗贝尔原理对点O

对质心C刚体达朗贝尔原理第二十四页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础25分析力学基础/达朗贝尔原理/一般运动刚体动静法刚体达朗贝尔惯性力达朗贝尔惯性力的主矢第二十五页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础26分析力学基础/达朗贝尔原理/一般运动刚体动静法达朗贝尔惯性力对质心C的主矩第二十六页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础27分析力学基础/达朗贝尔原理/一般运动刚体动静法达朗贝尔惯性力对质心C简化该力等于惯性力系的主矢该力偶的力偶矩矢量等于惯性力系对质心C的主矩简化结果为作用于质心的一个力与一力偶第二十七页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础28达朗贝尔原理前言达朗贝尔惯性力与质点系达朗贝尔原理一般运动刚体的动静法平面运动刚体的动静法定轴转动刚体的动静法动反力

分析力学基础/达朗贝尔原理第二十八页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础29平面运动刚体动静法平面运动刚体惯性力的简化分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法对质心C的主矩主矢第二十九页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础30平动刚体惯性力的简化分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法平动刚体惯性力向质心简化结果只有一个过质心的力，其大小与方向等于惯性力的主矢第三十页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础31平面定轴转动刚体惯性力的简化分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法主矢定轴O质心加速度离心惯性力切向惯性力

质心向心加速度质心切向加速度方向方向第三十一页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础32分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法平面定轴转动刚体惯性力系对质心C简化（作为平面运动的特殊情况）该力等于惯性力系的主矢该力偶的力偶矩矢量等于惯性力系对点C的主矩简化结果为作用于点C的一个力与一力偶方向与角加速度方向相反方向方向第三十二页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础33分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法方法1对质心C的主矩向点O的主矩对点O的主矩定轴O方向与角加速度方向相反第三十三页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础34分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法方法2对点O的主矩定轴O质点Pk加速度质点Pk惯性力对点O的主矩方向与角加速度方向相反第三十四页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础35分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法平面定轴转动刚体惯性力系对转轴O简化该力等于惯性力系的主矢该力偶的力偶矩矢量等于惯性力系对点O的主矩简化结果为作用于点O的一个力与一力偶方向与角加速度方向相反方向方向第三十五页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础36平面运动刚体达朗贝尔原理分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法平动平面定轴转动第三十六页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础37分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/例[例]均质杆AB长为l，质量为m。当该杆由静止开始，在地面与墙面上无摩擦地滑动试利用达朗贝尔原理求解杆刚开始滑动时的角加速度与约束反力第三十七页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础38分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解[解]惯性基杆的运动为平面一般运动

运动学分析

质心位置质心加速度杆的角速度杆的角加速度开始时刻一般时刻开始时刻质心加速度定义正向第三十八页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础39分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解惯性力主矢设定正向惯性力主矩设定正向与加速度方向相反与角加速度方向相反注意惯性力系简化后的作用点应该在何处第三十九页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础40分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解惯性力主矢受力分析主动力理想约束力惯性力主矩平衡分析S时刻未知约束力不出现第四十页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础41分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解平衡分析第四十一页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础42分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/例[例]质量为m，长为l的均质杆AB一端A与半径为r的圆盘的边缘固结圆盘以角速度w与角加速度a绕O转动不计重力计算图示瞬时AB杆在A处的约束力第四十二页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础43分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解[解]运动分析连体基质心加速度定轴O惯性力向点O简化主矢正向设定主矩正向设定注意惯性力系简化后的作用点应该在何处AB杆第四十三页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础44分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解受力分析连体基理想约束力正向设定对象AB平衡分析第四十四页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础45分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解连体基

平衡方程第四十五页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础46分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/例[例]两根质量为m，长为l的均质杆OA与AB以铰链连接，铰链O与机座连接在图示位置无初速开始运动求此瞬时两杆的瞬时角加速度第四十六页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础47分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解[解]惯性基杆OA定轴转动运动分析角加速度设定正向杆AB连体基平面一般运动角加速度质心加速度设定正向质心加速度此瞬时角速度为0第四十七页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础48分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解杆OA定轴转动惯性力分析杆AB平面一般运动对点O简化对点C2简化注意惯性力系简化后的作用点应该在何处第四十八页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础49分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解受力分析主动力约束力平衡分析整体为对象第四十九页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础50分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解受力分析主动力约束力平衡分析AB为对象第五十页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础51分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解第五十一页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础52例：两根质量为m，长为l的均质杆OA和AB以铰链连接，铰链O与机座连接，图示位置OA和AB水平，用软绳挂在支撑处。（04年期末考试题）试用达朗贝尔原理计算在软绳剪断的瞬时（系统在图示位置无初速开始运动），杆OA和AB的角加速度。第五十二页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础53解法[1]：系统在图示位置无初速开始运动时:

取A为基点，建立平动坐标系AB质心C2的加速度的矢量式:Y方向投影式：(2)(1)第五十三页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础54(1)(2)取系统为研究对象将(1)和(2)代入以上方程：化简得到：

(3)由达朗贝尔原理，真实力和惯性力对O点的主矩为0：第五十四页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础55(1)(2)

(3)取AB为研究对象将(2)代入以上方程：化简，得：

(4)由(3)、(4)，得：由达朗贝尔原理，真实力和惯性力对O点的主矩为0：第五十五页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础56解法[2]：系统在图示位置无初速开始运动时:

取A为基点，建立平动坐标系AB质心C2的加速度的矢量式:Y方向投影式：(2)(1)第五十六页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础57取OA为对象，由达朗贝尔原理，真实力和惯性力对O点的主矩为0：(1)(2)将(1)和(2)代入：化简得到：

(3)第五十七页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础58(1)(2)将（2）式代入，得：

(3)取AB为对象，由达朗贝尔原理，真实力和惯性力对C2点的主矩为0：

(4)真实力和惯性力的主矢在Y方向分量为0：

(5)第五十八页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础59

(3)

(4)

(5)由(3)，(4)，(5)化简得到：第五十九页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础60分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解长为l的杆AB和半径为r的圆盘C通过铰链A连接，杆AB和圆盘C的质量均为m。地面粗糙。图示位置杆AB与水平线夹角为45度，用达朗贝尔原理求系统在图示位置无初速地开始运动时杆AB的角加速度和圆盘轮心C的加速度。第六十页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础61分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解长为l的杆AB和半径为r的圆盘C通过铰链A连接，杆AB和圆盘C的质量均为m。地面粗糙。图示位置杆AB与水平线夹角为45度，用达朗贝尔原理求系统在图示位置无初速地开始运动时杆AB的角加速度和圆盘轮心C的加速度。加速度分析假定圆盘转动的角加速度和杆AB的角加速度E第六十一页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础62分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解加速度分析E惯性力分析第六十二页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础63分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解惯性力分析受力分析主动力以整体为研究对象D对D点取矩第六十三页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础64分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解受力分析主动力以AB杆为研究对象对A点取矩第六十四页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础65分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解D第六十五页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础663.图示匀质细杆一端与无重滑块A铰接，滑槽光滑，另一端用绳悬挂，使杆处于水平位置。已知：杆的质量为m,q＝30°。试用达朗贝尔原理（动静法）求突然割断绳OB的瞬时，滑块A的加速度及滑槽对滑块A的作用力。第六十六页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础671.画出运动分析图，假定未知运动量2.写出简化的达朗贝尔惯性力3.画出受力分析图，假定未知约束力第六十七页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础684.列写独立的平衡方程3个方程，4个未知量，列出1个运动关系5.选择广义坐标，寻找加速度补充方程第六十八页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础695.选择广义坐标，寻找加速度补充方程A点的加速度方向始终沿滑槽方向补充加速度方程第六十九页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础70第七十页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础71YBA45oOgXw1w21.圆盘半径r

，杆长，杆OA和圆盘B的质量均为m，用达朗贝尔原理求在图示位置无初速地开始运动时杆OA的角加速度和圆盘中心B点的加速度。(2006)2．如图所示，半径为r的圆盘与匀质折杆OAB在B处铰接。设圆盘的质量为m，折杆OAB的质量为2m，OA=AB=2r,图示位置AB水平，BC水平。用达朗贝尔原理求系统在图示位置无初速开始运动时折杆OAB的角加速度和B端作用于圆盘的约束力。(2008)AOgBC第七十一页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础72YBA45oOgXw1w21.圆盘半径r

，杆长，杆OA和圆盘B的质量均为m，用达朗贝尔原理求在图示位置无初速地开始运动时杆OA的角加速度和圆盘中心B点的加速度。(2006)2．如图所示，半径为r的圆盘与匀质折杆OAB在B处铰接。设圆盘的质量为m，折杆OAB的质量为2m，OA=AB=2r,图示位置AB水平，BC水平。用达朗贝尔原理求系统在图示位置无初速开始运动时折杆OAB的角加速度和B端作用于圆盘的约束力。(2008)AOgBC第七十二页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础73定轴转动刚体动静法动反力讨论对象分析力学基础/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法定轴转动刚体作用于刚体的力为空间力系旋转轴OA不是刚体的主轴刚体的质心不在旋转轴OA上刚体定轴转动的一般情况不能抽象为平面问题第七十三页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础74运动分析分析力学基础/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法连体基质点Pk的速度加速度刚体绕Oz轴的转角为角速度角加速度质心C的加速度第七十四页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础75惯性力的简化分析力学基础/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法质点Pk的惯性力惯性力主矢第七十五页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础76分析力学基础/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法惯性力对点O的主矩第七十六页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础77分析力学基础/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法定轴转动刚体惯性力的主矢在连体基的坐标式定轴转动刚体惯性力对点O的主矩第七十七页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础78分析力学基础/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法在连体基的坐标式第七十八页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础79分析力学基础/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法小结：定轴转动刚体惯性力对点O可简化作用于点O一个力与一力偶该力等于惯性力系的主矢该力偶的力偶矩矢量等于惯性力系对点O的主矩在连体基的坐标式当质心在Oz轴上当Oz轴为刚体的主轴第七十九页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础80定轴运动刚体达朗贝尔原理分析力学基础/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法受力分析主动力对点O的主矢与主矩约束力平衡方程（空间力系）第八十页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础81分析力学基础/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法平衡方程

5个方程可以解出理想约束力第八十一页，共九十页，2022年，8月28日2023年3月14日理论力学CAI分析力学基础82分析力学基础/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法

刚体不转动静约束反力静平衡方程可以解出理想约