机械基础陈长生高职高专课件

书名：机械基础ISBN：978-7-111-31944-3出版社：机械工业出版社本书配有电子课件

第二章零件的变形及强度计算

零件变形的基本形式有四种：a）拉伸或压缩；b）剪切；c）扭转；d）弯曲。其它复杂的变形都可以看成是这几种基本变形的组合。

零件变形过大时，会丧失工作精度、引起噪声、降低使用寿命，甚至发生破坏。

第一节零件的拉伸和压缩

一、拉伸和压缩的概念

工程上经常遇到承受拉伸或压缩的零件。如图a所示的起重机吊架中的拉杆AB（拉伸），图b所示的建筑物中的支柱（压缩）。

受力零件的共同特点是：外力的作用线与零件的轴线重合，零件的变形是沿轴线方向伸长或缩短。若把零件的形状和受力情况进行简化，都可以简化成图2-1a所示的计算简图。

1．截面法

截面法是用以确定零件内力的常用方法。

取左段来研究。由平衡方程，可得：

即该横截面上的内力是一个与杆轴线重合、大小等于FP的轴向力。

综上所述，用截面法求内力的步骤为：

一截为二。即在欲求内力处，假想用一截面将零件一截为二；

弃一留一。即选其中一部分为研究对象并画受力图（包括外力和内力）；

列式求解。即列研究对象的静力平衡方程，并求解内力。

2．轴力

与杆轴线重合的内力又称为轴力。轴力的符号规定如下：轴力的方向与所在截面的外法线方向一致时，轴力为正；反之为负。由此可知，拉杆的轴力为正，压杆的轴力为负。

为了直观地反映出轴力随截面位置的变化，常用轴力图来表示。

三、拉伸和压缩时的应力

杆件是否破坏，不取决于整个截面上的内力大小，而取决于单位面积上所分布的内力大小。单位面积上的内力称为应力，它所反映的是内力在截面上的分布集度。其单位为帕斯卡（Pa），工程上常用兆帕（MPa）。1Pa=1N/m2，1Mpa=106Pa。

通过观察拉杆的变形情况来推测内力的分布情况

取一等直杆，在其侧面上划两条垂直于轴线的直线ab、cd，如图a所示。并在杆的两端加一对轴向拉力FP，使其产生拉伸变形。如将杆件设想为由无数纵向纤维所组成，由此推想它们的受力是相同的，在横截面上各点的内力是均匀分布的，横截面上各点的应力也是相等的。若以FN表示内力（N），A表示横截面积（mm2），则应力σ(MPa)的大小为

这就是拉（压）杆横截面上的应力计算公式。的方向与FN一致，即垂直于横截面。垂直于横截面的应力，称为正应力，都用表示。和轴力的符号规定一样，规定拉应力为正；压应力为负。

杆件的轴向变形量为

横向变形量为

Δl称为轴向绝对变形，Δb称为横向绝对变形。拉伸时，Δl为正，Δb为负；压缩时，Δl为负，Δb为正。

绝对变形与杆件的原有尺寸有关，为消除原长度的影响，通常用单位长度的变形来表示杆件变形的程度，即

ε，ε’分别称为轴向线应变和横向线应变。显然，二者的符号总是相反的，它们是无量纲量。

2．虎克定律

实验表明，轴向拉伸或压缩的杆件，当应力不超过某一限度时，轴线变形Δl与轴向载荷FN及杆长l成正比，与杆的横截面面积成反比。这一关系称为虎克定律，即

引进比例常数E，则有

比例常数E称为弹性模量，其值随材料不同而异。

则有

σ

=Eε

上式是虎克定律的又一表达形式，即虎克定律可以表述为：当应力不超过某一极限时，应力与应变成正比。

五、零件拉伸与压缩时的强度计算

（一）极限应力

在应力作用下，零件的变形和破坏还与零件材料的力学性能有关。力学性能是指材料在外力作用下表现出来的变形和破坏方面的特性。金属材料在拉伸和压缩时的力学性能通常由拉伸试验测定。

把一定尺寸和形状的金属试样（图a）装在拉伸试验机上，然后对试样逐渐施加拉伸载荷，直至把试样拉断为止（图b）。通过对低碳钢的

曲线分析可知，试样在拉伸过程中经历了弹性变形（oab段）、塑性变形（bcde段）和断裂（e点）三个阶段。

弹性变形阶段，试样的变形与应力始终呈线性关系。应力σp称为比例极限。图中直线oa的斜率就是材料的弹性模量E。

塑性变形阶段，试样产生的变形是不可恢复的永久变形。该阶段又分屈服阶段（bc-塑性变形迅速增加）、强化阶段（cd-材料恢复抵抗能力）和颈缩阶段（de-试样局部出现颈缩）。应力σs称为屈服点，当零件实际应力达到屈服点时，将会引起显著的塑性变形。应力σb称为抗拉强度，当零件实际应力达到抗拉强度应力值时，将会出现破坏。

（二）许用应力

零件由于变形和破坏而失去正常工作的能力，称为失效。零件在失效前，允许材料承受的最大应力称为许用应力，常用[σ]表示。为了确保零件的安全可靠，需有一定的强度储备，为此用极限应力除以一个大于1的系数（安全系数）所得商作为材料的许用应力[σ]。上述比例极限、屈服点和抗拉强度分别是材料处于弹性比例变形时和塑性变形、断裂前能承受的最大应力，称为极限应力。

对于塑性材料，当应力达到屈服点时，零件将发生显著的塑性变形而失效。考虑到其拉压时的屈服点相同，故拉、压许用应力同为

式中，nS是塑性材料的屈服安全系数。

对于脆性材料，在无明显塑性变形下即出现断裂而失效（如铸铁）。考虑到其拉伸与压缩时的强度极限值一般不同，故有

式中，nb是脆性材料的断裂安全系数；[σl]和

[σy]分别是拉伸许用应力和压缩许用应力；σbl和σby分别是材料的抗拉强度和抗压强度。

例2-2某车间自制一台简易吊车（图a）。已知在铰接点B处吊起重物最大为FP=20kN，杆AB与BC均用圆钢制作，且dBC=20mm，材料的许用应力[σ]=58Mpa。试校核BC杆的强度，并确定AB杆的直径dAB（不计杆自重）。

第二节零件的剪切和挤压

一、剪切和挤压的概念

如图b所示，在外力FP的作用下，截面发生相对错动的变形称为剪切变形。产生相对错动的截面m—m称为剪切面，剪切变形是零件的一种基本变形。剪切变形的受力特点是作用在零件两侧面的外力大小相等、方向相反、作用线相距很近。

螺栓除受剪切作用外，还在螺栓圆柱形表面和钢板圆孔表面相互压紧（图d），这种局部受压的现象称为挤压。作用在挤压面上的压力叫挤压力，承受挤压作用的表面叫挤压面，在接触处产生的变形称为挤压变形。如果挤压变形过大，会使联接松动，影响机器正常工作，甚至造成挤压破坏。

剪力FQ形成与剪切面相切的工作应力称为切应力，用符号τ表示。切应力分布规律比较复杂，工程上常采用以实际经验为基础的实用计算法来确定。即假设切应力是均匀地分布在剪切面上的，切应力的计算公式为

式中，FQ是剪切面上的剪力；A是剪切面的面积。

为了保证零件安全可靠地工作，其强度条件为

式中，为材料的许用切应力实验表明，许用切应力与许用拉应力之间有如下关系：

塑性材料[τ]=（0.6~0.8）

[σ]

脆性材料

[τ]=（0.8~1.0）

[σ]

(二)挤压强度实用计算

如图d所示为了计算简化，假定挤压应力是均匀分布在挤压面的。由此，挤压强度的条件为

式中，σjy为挤压应力，Pjy为挤压力；Ajy为挤压计算面积，[σjy]是材料的许用挤压应力，可查设计手册而得。对于钢材，有

[σjy]=（1.7~2.0）[σ]

如果两个相互接触零件的材料不同，应对许用挤压应力低者进行挤压强度计算。

第四节圆轴的扭转

一、扭转的概念

如图所示的汽车转向轴和传动系统的传动轴AB，工作时，轴的两端都受到转向相反的一对力偶作用而产生扭转变形，轴上任意两截面皆绕轴线产生相对转动。扭转零件的受力特点是(图c)：零件两端受到一对大小相等、转向相反、作用面与轴线垂直的力偶作用。

二、圆轴扭转时横截面上的内力——扭矩

如图a所示，一圆轴AB在一对大小相等、转向相反的外力偶矩Me作用下产生扭转变形，并处于平衡状态。取左段为研究对象，如图b所示。由平衡关系可知，扭转时横截面上内力合成的结果必定是一个力偶，其内力偶矩称为扭矩或转矩，用符号T表示。由平衡条件

T-Me=0

T=Me

为使从左右两段所求得的扭矩正负号相同，通常采用右手螺旋法则来规定扭矩的正负号。如图a所示，如果以右手四指表示扭矩的转向，则拇指的指向离开截面时的扭矩为正；反之为负（图b）。

为了形象地表示各截面扭矩的大小和正负，常需画出扭矩随截面位置变化的图像，这种图像称为扭矩图（前图d）。

例2－4图a所示的传动轴，转速n=200r/min，功率由A轮输入，B、C轮输出，已知PA=40kW，PB=25kW，PC=15kW。要求：①画出传动轴的扭矩图；②确定最大扭矩Tmax的值；③设将A轮与B轮的位置对调，试分析扭矩图是否变化？最大扭矩Ｔmsx值为多少？两种不同的载荷分布形式，哪一种更为合理？

二、圆轴扭转时横截面上的切应力

（一）圆轴扭转时横截面上应力分布规律

如图a所示，在圆轴表面上画出圆周线和纵向线，形成矩形网格。在扭转小变形的情况下（图b），可以观察到下列现象：

1）各圆周线均绕轴线相对地旋转了一个角度，但形状、大小及相邻两圆周线之间的距离均未改变；

2）所有纵向线都倾斜了一微小角度，表面上的矩形网格变成了菱形。

根据上述现象，可以推出这样的假设：圆轴扭转时，各横截面像刚性平面一样地绕轴线转动。各横截面仍保持为平面，其形状、大小都不变，各截面间的距离保持不变。

利用变形的几何关系分析应变的分布规律。

上式说明，横截面上任意点的剪应变与该点到圆心的距离成正比。

根据剪切虎克定律，横截面上距圆心为的任意点处的剪应力，与该点处的剪应变成正比，即

上式表明，横截面上各点剪应力的大小与该点到圆心的距离成正比，圆心处的剪应力为零，轴周边的剪应力最大，在半径为的同一圆周上剪应力相等。圆轴横截面上剪应力沿半径的分布规律如图所示。（二）扭转剪应力的计算

横截面上距圆心为

的剪应力

的计算公式为

当ρ=R时，

此时由式（2-15）可得

令

，则上式可写成

式中，

是仅与截面尺寸有关的几何量，称为抗扭截面系数。

对于实心圆轴（图a），有

对于

的空心圆轴（图b），有

四、圆轴扭转时的强度和刚度计算

（一）强度计算

为了保证圆轴能安全地工作，应限制轴上危险截面的最大工作应力不超过材料的许用剪应力，即圆轴扭转的强度条件为

式中

与

分别为危险截面上的扭矩和抗扭截面系数。

（二）刚度计算

1．圆轴扭转时的变形

圆轴扭转时的变形是以两个横截面的相对扭转角

来度量。

直径圆轴两截面间的扭转角计算公式为

GIp称为扭转刚度。

工程上常常采用单位长度的扭转角

来衡量扭转变形的程度，即

其单位为弧度/米（rad/m）。

2．刚度条件

为了保证轴的刚度，通常规定单位长度扭转角的最大值

不超过轴单位长度的许用扭转角

。即

工程上，

的单位习惯上用度/米（°/m）表示。故用1rad=180°/π代入上式换算成度，得

的数值可从有关手册中查得。一般情况下，可大致按下列数据取用：

精密机器的轴

[θ]=（0.25~0.5）°/m

一般传动轴

[θ]=（0.5~1.0）°/m1

要求不高的轴

[θ]=（1.0~2.5）°/m

例2-5

一汽车传动轴由无缝钢管制成，外径

mm，内径

mm，许用剪应力

=60Mpa，传递的最大力偶矩

1.5kNm，

=2°/m，G=80GPa。试校核其强度和刚度；若保持扭转强度或扭转刚度不变，将传动轴改为同材料的实心轴，试分别确定其直径；并分别求出空心轴和实心轴的重量比值。

第四节直梁的弯曲

一、直梁平面弯曲的概念

直杆类零件（图a、b、c），其受力变形特点是：外力垂直于杆件的轴线，使杆的轴线变形后成曲线，这种形式的变形称为弯曲变形。以弯曲变形为主的杆件习惯上称为梁。

当作用在梁上的所有载荷都在纵向对称面内时，则弯曲变形后的轴线也将是位于这个对称面内的一条平面曲线，这种弯曲称为平面弯曲。

二、梁的计算简图

作用在梁上的载荷通常可以简化为下列三种类型：

集中力

集中力偶

分布载荷

经过简化，梁有三种典型形式：

1．简支梁

梁的一端为固定铰链支座，另一端为活动铰链支座。如图f所示。

2．外伸梁

外伸梁的支座与简支梁完全一样，所不同的是梁的一端或两端伸出支座以外，如图d所示。

悬臂梁一端固定，另一端自由的梁，如图e所示。

以上三种梁的未知约束反力最多只有三个，应用静力平衡条件就可以确定。

三、梁横截面上的内力——剪力和弯矩

梁如图a所示AB，用截面沿n—n将梁分为左、右两段(图b、c)。若以左段为研究对象，由于外力FA有使左段上移和顺时针转动的作用，因此，在横截面n—n上必有垂直向下的内力FQ和逆时针转动的内力偶矩M与之平衡，如图b所示。

由静力平衡方程即可求出FQ与M之值

上面分析可知，AB梁发生弯曲变形时，横截面上的内力由两部分组成：作用线切于截面、通过截面形心并在纵向对称面内的力FQ和位于纵向对称面的力偶M，它们分别称为剪力和弯矩。

工程中，对于一般的梁(跨度与横截面高度之比l／h>5)，弯矩起着主要的作用，而剪力则是次要因素，在强度计算中可以忽略。因此，下面仅讨论有关弯矩的一些问题。

弯矩符号规定：梁变形后，若凹面向上，截面上的弯矩为正；反之，若凹面向下，截面上的弯矩为负，如图2-26所示。

弯矩的计算有以下的规律：若取梁的左段为研究对象，横截面上的弯矩的大小等于此截面左边梁上所有外力(包括力偶)对截面形心力矩的代数和，外力矩为顺时针时，截面上的弯矩为正，反之为负。若取梁的右段为研究对象，方法类似。

有了上述规律后，在实际运算中不必用假想截面将截面截开，再用平衡方程去求弯矩，而可直接利用上述规律求出任意截面上弯矩的值及其转向。

四、弯矩图

为了形象地表示弯矩沿梁长的变化情况，常需画出梁各截面弯矩的变化规律的图像，这种图像称为弯矩图。

例2-6

简支梁如图所示。在跨度内某一点受集中力的作用，试作此梁的弯矩图。

五、弯矩图的作图规律

由以上例题可以总结出弯矩图与载荷之间的几点普遍规律：

1)在两集中力之间的梁段上，弯矩图为斜直线。

2)在集中力作用处，弯矩图出现折角。

3)在均布载荷作用的梁段上，弯矩图为抛物线。

4)在集中力偶作用处，其左右两截面上的弯矩值发生突变，突变值等于集中力偶矩之值

。

利用以上规律，不仅可以检查弯矩图形状的正确性，而且无需列出弯矩方程式，只需直接求出几个点的弯矩值，即可画出弯矩图。

例2-9

试作简支梁(图a)受集中力FP和集中力偶M=FPl作用时的弯矩图。

六、平面弯曲时梁横截面上的正应力

由于一般的梁（通常指跨度与截面高度之比大于5的梁）影响其弯曲强度的主要因素是弯曲正应力，所以这里只讨论梁横截面上的弯曲正应力。

在弯曲小变形的情况下，可推出这样的假设：梁作平面弯曲时，其横截面仍保持为平面，只是产生了相对转动，梁的一部分纵向“纤维”伸长，一部分纵向“纤维”缩短。由缩短区到伸长区，存在一层既不伸长也不缩短的“纤维”，称为中性层(图c)。距中性层越远的纵向“纤维”伸长量(或缩短量)越大。纯弯曲时梁横截面上弯曲正应力的分布规律

中性层与梁横截面的交线称为中性轴(图c)。中性轴是横截面上压、拉应力的分界线，中性轴以上各点为压应力

，中性轴以下的各点为拉应力

。由虎克定律

可知，横截面上各点的应力大小应与所在点到中性轴z的距离y成正比，距中性轴越远的点应力越大。离中性轴距离相同的各点

(截面宽度方向)正应力相同，中性轴上各点(y=0处)正应力为0。

（二）弯曲正应力的计算

如图所示，当梁横截面上的弯矩为

时，该截面距中性轴

轴为

的任一点处的正应力计算公式为

式中，

是横截面对

轴的惯性矩，是只与截面的形状、尺寸有关的几何量，其单位为m4或mm4。

由上式可知，当y=ymax时，

弯曲正应力达到最大值，即

令

则

式中

称为抗弯截面系数，也是衡量截面抗弯强度的一个几何量。

常用截面的I、W计算公式七、梁弯曲时的强度计算

梁的弯曲强度条件是：梁内危险截面上的最大弯曲正应力不超过材料的许用弯曲应力

，即

式中，M是梁危险截面处的弯矩（N·m）；WZ危险截面的抗弯截面系数（m3）；[σ]材料的许用应力（Pa）。

运用梁的弯曲强度条件，可对梁进行强度校核、设计截面和确定许可载荷等三类问题。

例2-10

螺栓压板夹具如图a所示。已知板长3a=150mm,压板材料的许用应力[]=140MPa。试计算压板传给工件的最大允许压紧力P。

八、梁的弯曲刚度简介

对于某些要求高的零件，不但要有足够的弯曲强度，而且要有足够的弯曲刚度，以保证其正常工作。例如图2-34所示的齿轮轴，在工作时变形过大，要影响齿轮的啮合。

图2-34轴的刚度与齿轮的啮合

弯曲刚度可以从梁的轴线及横截面两方面来表示。图2-33所示的梁受力变形后，截面形心的垂直位移y称为该截面的挠度，截面相对原来位置的转角

称为该截面的转角。

图2-35梁的挠度与转角

工程中对受弯零件的最大挠度和最大转角有一定的限制，这种对变形大小的限制，称为刚度条件，即

式中[y]和[]分别是梁的许用挠度和许用转角，其值在各工程类设计里都有详细规定。如机械工程中，转轴的许用挠度一般规定为[y]＝(0.0001～0.0005)l，l为轴的跨度；许用转角一般规定为0.001rad。粱的许用挠度和许用转角可查有关手册。

机械设计手册上常备有各种梁受不同载荷单独作用时的挠度和转角计算公式，设计时可直接查取。

第六节零件的组合变形

工程中许多零件受到外力作用时，将同时产生两种或两种以上的基本变形，称为组合变形。图a所示拐轴的AB段，在力FP作用下产生弯扭组合变形。

根据图a拐轴的载荷，可以画出AB轴段的扭矩图和弯矩图（图b、c）。固定端

为危险截面，其扭矩和弯矩的绝对值分别为

，

。截面

上的扭转剪应力和弯曲正应力的分布规律如图2-42d所示。

由图可知，

点和

点存在最大弯曲正应力和最大扭转剪应力，分别为

截面A上同时作用有正应力切应力，这时不能简单地运用扭转强度条件和弯曲强度条件进行强度计算，而是需要运用相应的强度理论将截面上的应力折算成相当应力

，然后运用

进行强度计算。

对于机器中的圆轴，一般用塑性材料制成，此时可用第三或第四强度理论进行强度计算。

用第三强度理论时，其强度条件为或称为第三强度当量弯矩。用第四强度理论时，其强度条件为

对于圆轴，同样地有

式中

称为第四强度理论的当量弯矩。

例2-11

图所示的AB轴上，装有带轮和齿轮。已知带轮直径D=160mm，带拉力T1=5kN，T2=2kN。齿轮节圆直径d0=100mm，压力角

。轴的材料为钢，许用应力

，直径d=38mm。试按弯、扭组合变形强度条件校核该轴的强度。

第七节交