圆（解析版）-中考数学二轮复习课程标准考点方法突破

考点15圆

课标对考点的要求

对圆问题，中考命题需要满足下列要求：

(1)理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；探索并了解点与圆的位置关系。

(2)探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。

(3)探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角的度数等于它所对

弧上的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对

角互补。

(4)知道三角形的内心和外心。

(5)了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一

点画圆的切线。

(6)探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等。

(7)会计算圆的弧长、扇形的面积。

(8)了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。

重要考点知识解肃

一、圆的有关概念

1.与圆有关的概念和性质

(1)圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.

(2)弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.

(3)弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.

(4)圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.

(5)圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.

(6)弦心距：圆心到弦的距离.

2.注意

(1)经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；

(2)3点确定-一个圆，经过1点或2点的圆有无数个.

(3)任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆.

二、垂径定理及其推论

1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直

角三角形.

2.推论

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

三、圆心角、弧、弦的关系

1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.圆心角、弧和弦之间的等量关系

必须在同圆等式中才成立.

2.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各

组量都分别相等.

四、圆周角定理及其推论

1.定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

2.推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.2）直径所对的圆周角是直角.

圆内接四边形的对角互补.在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角

间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等.

五、与圆有关的位置关系

1.点与圆的位置关系

设点到圆心的距离为d.（l）d<r=点在。。内；（2）d=r=点在。。上；（3）d>r=点在。。外.

判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可.

2.直线和圆的位置关系

位置关系相离相切相交

图形0

公共点个数0个1个2个

数量关系d>rd-rd<r

由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况.

六、切线的性质与判定

1.切线的性质

(1)切线与圆只有一个公共点.

(2)切线到圆心的距离等于圆的半径.

(3)切线垂直于经过切点的半径.

利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题.

2.切线的判定

(1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线(定义法).

(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.

(3)经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共

点时，作垂直，证垂线段等于半径.

七、三角形与圆

1.三角形的外接圆相关概念

经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接

三角形.外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.

2.三角形的内切圆

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外

切三角形.内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等.

八、正多边形的有关概念

正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.

正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径.

正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角.

正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.

九、与圆有关的计算公式

1.求解圆的周长和面积的公式

设圆的周长为r,贝I］：

(1)求圆的直径公式d=2r

(2)求圆的周长公式C=2nr

(3)求圆的面积公式S=

2.弧长和扇形面积的计算：

扇形的弧长/=匕；

180

扇形的面积S=V±=,/r.

3602

3.圆锥与侧面展开图

(1)圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.

(2)若圆锥的底面半径为r,母线长为/,则这个扇形的半径为/,扇形的弧长为2”，

圆锥的侧面积为Sm=^-l-2nr=iirl.

2

圆锥的表面积：S圆推表二S圆锥恻+S刚椎底=兀"+兀/=口•(/+/•).

在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解.

重要问题解题思维方法总结

一、解题要领

1.判定切线的方法

(1)若切点明确，则“连半径，证垂直”。常见手法有全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有

时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；

(2)若切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法有角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平

分线；总而言之，要完成两个层次的证明：

①直线所垂直的是圆的半径(过圆上一点)；

②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化，要善于进行由此

及彼的联想、要总结常添加的辅助线.

2.与圆有关的计算

计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式

复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是

要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已

知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：

(1)构造思想：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段(已知任意两条线段可求其它

所有线段长)；③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型；⑤构造三角函数.

(2)方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，

解决问题。

(3)建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基

本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。

二、攻克典型基本模型图是解决圆的所有难题的宝剑

类型1图形：

(1)如图1,力5是。。的直径，点反。是。。上的两点.

基本结论有：在“4C平分/胡炉'；uADLCff,；“如是。。的切线”三个论断中，知二推一。

(2)如图2、3,朦等于弓形腔1的高；底451的弦心距或弓形8(方的半弦如。

(3)如图(4)：若呢L/8于则:

①CK=CD；BK=DE；CK=-BE=DC-,AE+ABCBK畛AD;

2

②/ADC^/ACB=>A(f=AD'AB

(4)在⑴中的条件①、②、③中任选两个条件，当加，必于£时(如图5),则:

D

C

①DE=GB；®DC=CG-,③AD+BG=AB：®AD-BG=-DG1=DC

4

类型2图形：如图：应中，N4®90°。点。是芯上一点，以8为半径作。。交”■于点£,基本结

论有：

图I

(1)在“B0平分NCBA"；“BO//DF';"AB是。0的切线”；“BD=BC'。四个论断中，知一推三。

X-Z--XI

(2)①G是/时的内心；②CG=GD;③△BC24CDE=BO・DE=CO・CE=-CB；

2

(3)在图(1)中的线段6aCE、AE、49中，知二求四。

4£1

(4)如图(3),若①BC=CE,则：②——二—=tan/ADE；③BC：AC：4斤3：4：5；(在①、②、③中知

AD2

一推二)④设比;CD交于点、H,,但BH=2EH

类型3图形：如图：R”比中,乙仍小90°,以AB为直径作。。交AC于D,基本结论有:

如图：

(1)彼切。是外的中点;

(2)若如'切。0,则：

①)DE=BE=CE；

②。、0、B、6四点共圆=/微>2/4

③CD•CA=4B匕DECDBC

RBDBA

图形特殊化：在(D的条件下

如图：DE//AB<^AABC,/碗是等腰直角三角形;

如图：若鹿的延长线交18的延长线于点区若48孙，则:

c

“E11

①——=-；②了

EF37T

类型4图形：如图，中，AB=AC,以46为直径作。。，交花■于点。，交然于点凡

基本结论有：

(1)g4co应切0a

(2)在鹿_L47或庞切。。下，有：

①/加。是等腰三角形；

②EF=EC；③〃是康的中点。④与基本图形1的结论重合。

⑤连AD,产生母子三角形。

类型5图形：以直角梯形4皿的直腰为直径的圆切斜腰于E,基本结论有:

(1)如图1：①AD+BC=CD；②NCOD=NAEF90°；③必平分/ADC(或0C平分/比》)；(注：在①、

②、③及④“切是。。的切线”四个论断中，知一推三)

@AD•BC=—AB=/f；

4

(2)如图2,连/凡CO,则有：CO//AE,乔2内与基本图形2重合)

(3)如图3,若EFLAB于F,交和于G,则：EG=K.

类型6图形：如图：直线必的半径如于分倒切。。于0,BQ交直线图于凡

基本结论有：

(1)PQ=PR(//W是等腰三角形)；

(2)在“PRLOB”、切“PQ=PR”中，知二推一

(3)2PR•RE=BR-RQ=BE.2R=A必

类型7图形：如图，ZM8C内接于。。，/为△/%1的内心。基本结论有:

(1)如图1,①)BD=CD=ID；②Df=DE•DA；③N4/90°+-£ACB\

2

D

图1

(2)如图2,若/胡华60°,则：BD+CE=BC.

国2

类型8图形：已知，力夕是。。的直径，。是公中点，CDIAB千九BG交CD、AC

于区凡基本结论有：

(1)CD=LBG；BE=EF=CE-,GF=2DE

2

(反之，由CA^BG或BE=EF可得:C是众中点)

(2)0E=-AF,OE//AC-,AODE<^/\AGF

2

(3)BE•BG=BD•BA

(4)若〃是仍的中点，则：①/好是等边三角形；②BC^CG=AG

中考典例解析

【例题1】（2021重庆）如图，AB是。0的直径，AC,BC是00的弦，若乙4=20°,则NB的度数为（)

c

A.70°B.90°C.40°D.60°

【答案】A

【解析】根据直径所对的圆周角为90°,即可求解.

是。。的直径,

/.ZC=90°,

VZA=20°,

二ZB=90°-ZA=70°.

【例题2】（2021山东济宁）如图，正五边形ABCDE中，的度数为（）

【答案】C

【解析】首先可根据五边形内角和公式求出每个内角的度数，然后求出/CA8和NZME,即可求出NC4D

根据正多边形内角和公式可得，

正五边形A8CCE的内角和=180°X（5-2）=540°,

则/8AE=ZB=N£=5400=108°,

5

根据正五边形的性质，ZXABC<△A&9,

：.ZCAB=ZDAE=1.（180°-108°）=36°,

2

.♦.NCW=108°-36°-36°=36°.

【例题3】（2021山东济宁）如图，AABC中，NA8C=90°,AB=2,4C=4,点。为BC的中点，以O

为圆心，以08为半径作半圆，交AC于点。，则图中阴影部分的面积是

42

【解析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得OE的长、/OO8的度数，然后根据图形可知阴影部分

的面积是△ABC的面积减去△COC*的面积和扇形BOD的面积，从而可以解答本题.

连接0Z）,过。作于E,

在△A8C中，NA8C=90°,AB=2,AC=4,

台14BC=JAC?-AB2="-22=2«，

/.ZC=30°,

/.ZDOB=60",

•：OD=ljiC=«,

2

：.DE=3.,

2_

...阴影部分的面积是：1X2X2V3-^xyX旦-6°•兀义3=至返-2L,

_2273236042

故答案为：殳应-2L

42

【例题4】（2021大连）如图I,△ABC内接于。0,直线MN与。0相切于点。，0。与8c相交于点E,

BC//MN.

（1）求证：NBAC=NDOC；

（2）如图2,若AC是。。的直径，E是0£＞的中点，。。的半径为4,求AE的长.

图2

【解析】（1）连接08,如图I,根据切线的性质得到0力，仞M则。。_L8C,利用垂径定理得到劭=①,

然后根据圆周角定理得到结论;

（2）先计算出CE=2v”,根据垂径定理得到BE=CE=2V5,接着利用勾股定理计算出A8,然后计算AE

的长.

【解答】（I）证明：连接。8,如图I,

；直线MN与。。相切于点D,

：.0DLMN,

■:BC//MN,

.,.0D1.BC,

：.BD=CD,

：.ZB0D=ZC0D,

'：ZBAC=^ZB0C,

•*.NBAC=4coD；

(2)是。。的中点，

：.0E=DE=2,

在RtAOCE中，CE=\<OC2-OE2=V42-22=2、%

•：0E1BC,

:.BE=CE=2事,

是。。的直径，

，乙48c=90°,

222f2

：.AB=y!AC-BC=i8-(4v3)=4,

2z

在RlAABE中，AE=vAB+BE=1+(2a2=2V7.

图1图2

考点问题综合训练

一、选择题

1.（2021辽宁营口）如图,OO中，点C为弦AB中点，连接。C,OB,/COB=56°,点。是AB上任

)

124°C.122°D.134°

【答案】B

【解析】作AB所对的圆周角N4P8,如图，先利用等腰三角形的性质得到OC平分NAO8,则/AOC=N

80c=56",再根据圆周角定理得到NAPB=56°,然后根据圆内接四边形的性质计算/AOB的度数.

解：作AB所对的圆周角NAPB,如图,

VOCLAB,OA=OB,

：.OC平分NAOB,

...NAOC=NBOC=56°,

；.NAP8=_1NAO8=56°,

2

VZAPB+ZADB=\SO0,

AZADB=180°-56°=124°.

故选：B.

【解析】根据正方形的性质得到8c弧所对的圆心角为90°,则N8OC=90°,然后根据圆周角定理求解.

连接。8、OC,

,：正方形ABCD内接于。0,

.♦.8C弧所对的圆心角为90",

AZBOC=90°,

.•./BPC=」＞/8OC=45°.

2

3.（2021云南）如图，等边AABC的三个顶点都在。。上，AO是。。的直径.若OA=3,则劣弧B£）的

长是（)

22

【答案】B

【解析】连接08、BD,由等边△ABC,可得ND=NC=60。，S.OB=OD,故△BOQ是等边三角形，ZBOD

=60。，又半径OA=3,根据弧长公式即可得劣弧8。的长.

解：连接08、BD,如图：

.,./C=60。，

:弧/18=弧48,

/.ZD=ZC=60o,

OB=OD,

.♦.△80。是等边三角形，

：.ZBOD=60°,

\•半径0A=3,

二劣弧BQ的长为也@=

180

【点评】本题考查等边三角形及圆的弧长，解题的关键是掌握弧长公式并能熟练应用.

4.（2021四川泸州）如图，OO的直径A8=8,AM,BN是它的两条切线，OE与00相切于点E,并与

AM,8N分别相交于£>,C两点，BD,OC相交于点F,若C£>=10,则8尸的长是（）

A8717R10^/17r队由D10任

9999

【答案】A

【解析】如图，构建如图平面直角坐标系，过点。作力”，8c于”.想办法求出C,。两点坐标，构建一

次函数，利用方程组确定交点坐标即可.

如图，构建如图平面直角坐标系，过点。作于H.

-08=4,

'：AD,BC,CO是。。的切线，

:.NDAB=NABH=NDHB=90°,DA=DE,CE=CB,

四边形A8HO是矩形，

：.AD=BH,AB=DH=8,

C//^VCD2-DH2=V102-82=6,

设则EC=CB=x+6,

Ax+x+6=10,

，x=2,

：.D(2,4),C(8,-4),B(0,-4),

...直线OC的解析式为y=-工，直线AD的解析式为y=4x-4,

曲y=-2X,解得，，

,,4

y=4x-4y=-

：.F（"-A）,

99

得产+管4产空

故选：A.

5.（2020•黔东南州）如图，。。的直径C0=2O,AB是。。的弦，AB1CD,垂足为M,OM：OC=3：5,

则48的长为（）

A.8B.12C.16D.2v/91

【答案】C

【解析】连接。A,先根据OO的直径C£）=20,OM：OD=3：5求出及0M的长，再根据勾股定理可

求出AM的长，进而得出结论.

连接OA,

;。。的直径C£>=20,OM：OD=3：5,

，00=10,OM=6,

'JABLCD,

,,.AM=^0A2—OM2=V102—62=8,

6.（202（）•营口）如图，AB为。。的直径，点C,点。是。。上的两点，连接C4,CD,AD.若/CA8=

40°,则/AQC的度数是（）

D

A.110°B.130°C.140°D.160°

【答案】B

【解析】连接BC,如图，利用圆周角定理得到NACB=90°,则NB=50°,然后利用圆的内接四边形的

性质求/4OC的度数.

如图，连接8C,

为。。的直径，

AZACB=90°,

/.ZB=90°-ZCAB=90°-40°=50°,

：NB+N4OC=180°,

AZADC=180°-50°=130°.

7.（2020•湘西州）如图，PA.PB为圆。的切线，切点分别为A、B,PO交AB于点C,P。的延长线交

圆O于点D.下列结论不一定成立的是（）

A.△BBA为等腰三角形

B.A8与尸。相互垂直平分

C.点4、8都在以尸O为直径的圆上

D.PC为以的边AB上的中线

【答案】B

【解析】根据切线的性质即可求出答案.

(A),：PA,P8为圆。的切线，

：.PA=PB,

.•.△8雨是等腰三角形，故A正确.

(B)由圆的对称性可知：ABLPD,但不一定平分,

故8不一定正确.

(C)连接08、0A,

'：PA.PB为圆。的切线，

：.Z0BP=ZOAP=90Q,

.,.点A、B、P在以0P为直径的圆上，故C正确.

(D),.•△8附是等腰三角形，PDVAB,

.♦.PC为48以的边AB上的中线，故。正确.

8.(2020•徐州)如图，A8是。。的弦，点C在过点8的切线上，OCLOA,0C交AB于点尸.若NBPC

=70°,则NABC的度数等于()

A.75°B.70°C.65°D.60°

【答案】B

【解析】先利用对顶角相等和互余得到NA=20°,再利用等腰三角形的性质得到NOBA=/A=20°,然

后根据切线的性质得到OB1BC,从而利用互余计算出/A8c的度数.

VOCLOA,：.ZAOC=90°，

■:/APO=/BPC=70°,AZA=90°-70°=20°,

U：OA=OB,.・・NO8A=NA=20°,

TBC为OO的切线，：.ZOBC=90°，AZABC=90a-20°=70°.

9.（2020♦苏州）如图,在扇形OAB中，已知NAOB=90°,OA=V2,过前的中点C作C£>_LOA,CEL

OB,垂足分别为O、E,则图中阴影部分的面积为（）

n7T1

A.n-1B.--1C.TT-D.一一一

222

【答案】B

【分析】根据矩形的判定定理得到四边形CDOE是矩形，连接OC,根据全等三角形的性质得到。。=。£

得到矩形CQOE是正方形，根据扇形和正方形的面积公式即可得到结论.

【解析】,CCDLOA,CELOB,

AZCDO=ZCEO=ZAOB=90a,

四边形CQOE是矩形，

连接OC,

•点C是卷的中点，

:.ZAOC^ZBOC,

'：OC=OC,

:.XCOD出XCOE(/L4S),

：.OD=OE,

，矩形S0E是正方形，

,/oc=o\=@

...OE=1,

...图中阴影部分的面积=畸3一1X1=亨一1

0OU/

10.（2020•黔东南州）如图，正方形ABC。的边长为2,。为对角线的交点，点E、F分别为8C、AO的

中点.以C为圆心，2为半径作圆弧劭，再分别以E、尸为圆心，1为半径作圆弧团、OD,则图中阴影部

A.71-1B.11-2C.TT-3D.4-TI

【答案】B

【分析】根据题意和图形，可知阴影部分的面积是以2为半径的四分之一个圆的面积减去以1为半径的半

圆的面积再减去2个以边长为1的正方形的面积减去以1半径的四分之一个圆的面积，本题得以解决.

【解析】由题意可得，

阴影部分的面积是：，X22-”XM-2（1X1T5X12）=『2,

II.（2020•金华）如图，。0是等边△A8C的内切圆，分别切A8,BC,AC于点E,F,D,P是办上一

点，则NEPF的度数是（）

A.65°B.60°C.58°D.50°

【答案】B

【解析】如图，连接OE,OF.求出/EO尸的度数即可解决问题.

如图，连接OE,OF.

：OO是△A8C的内切圆，E,F是切点,

.\OE1AB,OFVBC,

：.NOEB=NOFB=90°,

「△ABC是等边三角形，

.•.NB=60°,

/.ZEOF=120°,

；.NEPF=3/EOF=60°.

二、填空题

1.（2021江西）如图，在边长为6我的正六边形ABCQEF中，连接BE,CF,其中点M,N分别为BE和

CF上的动点.若以M,N,D为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长

为.

【答案】9或10或18.

【解析】连接。尸,。8,8£则△£＞打尸是等边三角形.解直角三角形求出。尸，可得结论.当点N在OC上，点

M在OE上时，求出等边三角形的边长的最大值，最小值，可得结论.

解：连接。£。仇8尸.则△QBF是等边三角形.

A

设B£交。F于J.

:六边形ABCDEF是正六边形，

.•.由对称性可知，DFLBE,NJEF=60°,EF=ED=6®

：.FJ=DJ^EF*sin（）Oa=6“X返=9,

2

ADF=18,

，当点M与8重合，点N与F重合时，满足条件，

.,.△CMN的边长为18,

如图，当点N在。C上，点M在0E上时，

等边△OWN的边长的最大值为6«七10.39,最小值为9,

.♦.△DWN的边长为整数时，边长为10或9,

综上所述，等边△OMN的边长为9或10或18.

2.（2021重庆）如图，在菱形ABCO中，对角线AC=12,80=16,分别以点A,B,C,。为圆心，IAB

2

的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为一.（结果保留IT）

【答案】96-IOOTT.

【解析】先求出菱形面积，再计算四个扇形的面积即可求解.

在菱形ABCD中，有：AC=12,80=16.

AB=JC|BD）2+C|AC）2=IO-

VZABC+ZBCD+ZCDA+ZDAB^360°.

二四个扇形的面积，是一个以LB的长为半径的圆.

2

二图中阴影部分的面积=工乂12X16-irX102=96-100n.

2

3.（2021内蒙古通辽）如图，AB是。0的弦，A8=2«,点C是。。上的一个动点，且NAC8=60°,

若点M,N分别是AB,8C的中点，则图中阴影部分面积的最大值是—.

34

【解析】连接。4、OB、OM,根据圆周角定理得到NAOB=120°,求出OM=1,04=2,再根据三角形

s

中位线性质得到MN//AC,MN=1AC,然后根据三角形相似得到△HBN=（MN）2=工，故当AABC的

2S/kABCAC4

面积最大时，△A/BN的面积最大，由C、0、M在一条直线时，△A8C的面积最大，求得△ABC的最大值,

进而即可求得△M3N的面积最大值，利用扇形的面积和三角形的面积求得弓形的面积，进而即可求得阴影

部分的最大值.

VZACB=60°,

AZAOB=\20°,

'：OA=OB,

•.NOA8=/O8A=30°,

:AM=BM=1AB=J3,

2

,.OMLAB,

,.tan30°=@L

AM

•.0"=返乂《=1,

3

;CM=20例=2,

.•点M、N分别是A8、8C的中点,

'.MN//AC,MN^lAC,

2

•△MBNS^ABC,

.SAMBN_（MN）2=2

2AABCAC4

,当△ABC的面积最大时，△M£W的面积最大，

VC＞。、M在一条直线时，△48C的面积最大，

.♦.△A8C的面积最大值为：Ax2A/3X（2+1）=3虫，

2

.•.△M8N的面积最大值为：‘返，

4

VS弓形=S南杉（MB-SAA08=12。冗XJ_-Ax2-J3X1--^--V3'

36023

...此时，5阴影="-“+多巨=里二-返.

3434

4.（2020•黑龙江）如图，4。是△A8C的外接圆。0的直径，若/BCA=50°,则

【答案】50.

【解析】根据圆周角定理即可得到结论.

：AD是△A8C的外接圆。0的直径，

...点A,B,C,。在001.1,

=50°,

二NAD8=/BC4=50°

5.（2020•天水）如图所示，若用半径为8,圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），

则这个圆锥的底面半径是.

【解析】根据半径为8,圆心角为120°的扇形弧长，等于圆锥的底面周长，列方程求解即可.

设圆锥的底面半径为r,

,—912071X8

由题意得，-------=2nr,

180

8

得

解-

r=3

6.（2020•苏州）如图，已知AB是。。的直径，AC是。。的切线，连接OC交。。于点。，连接80.若

ZC=40°,则NB的度数是°.

【答案】25.

【分析】先根据切线的性质得/。4。=90°,再利用互余计算出/AOC=90°-NC=50°,由于

NODB,利用三角形的外角性质得a乙40c=25°.

【解析】：AC是。。的切线,

：.OAYAC,：.AOAC=^a,

ZAOC=90°-NC=90°-40°=50°,

'：OB=OD,

:.NOBD=NODB,

而ZAOC=ZOBD+ZODB,

：.ZOBD=^ZAOC=25°,

即/ABO的度数为25°

7.（2020•重庆）如图，在边长为2的正方形ABCO中，对角线AC的中点为。，分别以点A,C为圆心,

以AO的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中的阴影部分的面积为.（结果保留TT）

【答案】4-TT.

【解析】据勾股定理求出AC,得至IJO4、0c的长，根据正方形的面积公式、扇形面积公式计算，得到答案.

•.•四边形ABC。为正方形,

：.AB=BC=2,ZDAB=ZDCB=90°,

22f

由勾股定理得，AC=^AB+BC=2v2.

：.OA=OC=y/2

2

...图中的阴影部分的面积=22-阳啜X2=4-n

□0U

8.（2020•荆门）如图所示的扇形AOB中，OA=OB=2,NAOB=90°,C为油上一点，NAOC=30°,

连接BC,过C作OA的垂线交AO于点。，则图中阴影部分的面积为.

B

•济心.2、月

【答案】［T—2~

【解析】根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积=S网彩BOC-SAOBC+5AC。。进行计算.

VZAOB=90°,ZAOC=30°,/.ZBOC=60Q,

•扇形AOB中，0A=。8=2,：.OB=OC=2,△80C是等边三角形，

■:过C作04的垂线交AO于点D,：.NOOC=90",

VZAOC=30°,

,0D=毋0C=V3,CD=|oc=1,

，图中阴影部分的面积一S鼠形BOC-SAOBC+SACOD

2.

0%fin2-lx2x2x^T+lx^x1

□OUL£L

2

-

3n-.；32

9.（2020•鄂州）用一个圆心角为120°,半径为4的扇形制作一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面圆的半径

为.

4

【答案】--

3

【解析】根据扇形的弧长公式求出弧长，根据圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长求出半径.

设圆锥底面的半径为r,

1207TX48

扇形的弧长为:---------=F,

180---3

•.•圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长,

8

-

根据题意得2m=3

4

得-

3

10.（2020•泰安）如图，点。是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A,。在半圆上，且A£>〃BO,ZABO

=60°,AB=8,过点。作。C_L8E于点C,则阴影部分的面积是,

【答案】-----8V3.

3

【分析】连接。A，易求得圆。的半径为8,扇形的圆心角的度数，然后根据S阴影=&\AOB+S窗形0AO+S期形

ODE-SABCD即可得到结论.

【解析】连接。4,

VZABO=60Q,04=08,△AO8是等边三角形，

：A8=8,二。。的半径为8,

'."AD//OB,：.^DAO=ZAOB=6Q0,

\'OA=OD,：.ZA(?D=60°,

,.•NAO2=NAOO=60°,ZDO£=60°,

,.•DC_LBE于点C,

：.CD=^-OD=4>,l3,OC=^OD=4,8C=8+4=12,

S阴影=Sz\AO8+S第形0Ao+S扇形ODE-S^BCD

2

=1x8x4^+2x的糅二-1xl2x4V/3

L30UZ

呼-8、3

D

11.（2020•台州）如图，在△ABC中，。是边8c上的一点，以AO为直径的交AC于点E,连接。E.若

与BC相切，NADE=55：则NC的度数为.

【答案】55°.

【解析】由直径所对的圆周角为直角得/AE£>=90°,由切线的性质可得NAZ）C=9（r,然后由同角的余

角相等可得NC=/AOE=55°.

为。。的直径，

AZAED=90°,

AZADE+ZDAE=90°；

：。0与BC相切，：.ZADC=90",

：.ZC+ZDAE=90a,：.ZC=ZADE,

VZADE=55°,：.ZC=55°.

12.（2020•福建）一个扇形的圆心角是90°,半径为4,则这个扇形的面积为.（结果保留n）

【答案】4n.

【解析】利用扇形的面积公式计算即可.

„90-7T-42

S扇形=360=4K

13.（2020•南京）如图，在边长为2c机的正六边形ABCOEF中，点尸在3c上，则的面积为ent2.

D

【答案】2V3.

【解析】连接8片BE,过点A作尸丁T,证明SAPEF=S/、BEF,求出aBEF的面积即可.

连接BF,BE,过点4作ATLBF于T

•.•ABCOEF是正六边形，

J.CB//EF,AB^AF,/8AF=120°,

:&PEF=S&BEF,

VAT±B£,AB=AFf

:,BT=FT,ZBAT=ZFAT=60°,

：.BT=FT=AB-sin60a=>/3,

:.BF=2BT=25

VZAFE=120D,尸=30°,

AZBFE=90°,

:，54PEF=SABEF=1«EF«fiF=1x2x2事=2V1

三、解答题

1.(2021山东济宁)如图，点C在以AB为直径的。。上，点。是BC的中点，连接0。并延长交。。于

点E,作NEBP=NEBC,BP交OE的延长线于点P.

(1)求证：P8是©0的切线；

(2)若AC=2,PD=6,求。0的半径.

E

P

B

【答案】见解析

【分析】(1)由A8为直径，可得/AC8=90°,又n为BC中点，。为AB中点，可得O£)〃AC,从而N

008=90°.由OB=OE得N0EB=N0BE,又N0EB=NP+/EBP,N0BE=N0BD+NEBC,所以/P+

NEBP=N()BD+NEBC,又NEBP=NEBC,得NP=N0BD.又NBOD+NOBD=90°,从而可得NB0D+

ZP=90°,即NO8P=90°.则可证PB为。。切线；

(2)由(1)可得。0=1,从而P0=7,可证明△BOP〜/XOB尸，从而得比例里解得友，

OPBP

最后由勾股定理可求半径0B.

解：(1)证明：:AB为直径,

.♦.NAC8=90°,

又。为8C中点，。为A8中点，

故OO=_^AC，OD//AC,

：.Z0DB=ZACB=90°.

•：OB=OE,

：.Z0EB=Z0BE,

又,：NOEB=NP+NEBP,N0BE=NOBD+NEBC,

：.NP+NEBP=ZOBD+ZEBC,

又NEBP=NEBC,

：.ZP=Z0BD.

VZBOD+ZOBD=90°,

：.ZBOD+ZP=90Q,

：.ZOBP=90°.

又。8为半径，

故P8是00的切线.

(2)；AC=2,

由(1)得O£)=_^AC=L

又PO=6,

：.P0=PD+0D=6+\=7.

"：ZP=ZP,NBDP=N0BP=9Q°,

:./XBDP〜/\OBP.

...空盘，即8尸2=0尸0尸=7乂6=42,

OPBP

ABP=V42.

OB=^Qp2_gp2=V49-42=V7•

故OO的半径为J].

2.(2021云南)如图，AB是。。的直径，点C是。。上异于A、B的点，连接AC、BC,点。在8A的延

长线上，且NOC4=/ABC,点E在DC的延长线上，5.BELDC.

(1)求证：OC是。。的切线；

(2)若丝=2,BE=3,求D4的长.

OD3

【答案】见解析。

【解析】(1)连接。C,由等腰三角形的性质得出N0C8=N08C,由圆周角定理得出NACB=90。，证出

NOCO=90。，则可得出结论；

nrCD4

(2)设。4=O8=2x,OD=3x,证明△OCOs/\£)EB,由相似三角形的性质得出士士=*=三，求出OC

BEDB5

的长，则可求出答案.

【答案】(1)证明:连接OC,

,/OC=OB,

・・・NOCB=NOBC,

VZABC=ZDCA,

：・NOCB=NDCA,

又・・・A8是。。的直径，

JZACB=90°,

，NACO+/OC8=90。，

・・・NOC4+NACO=90。，

即NQCO=90。，

C.DCA.OC,

•/0c是半径，

・・.。。是。。的切线；

r)A7

(2)解：且0A=08,

0D3

设OA=O3=2x,OD=3x,

；・DB=OD+OB=5x,

.OD3

•<----=—，

DB5

XVBE1DC,DC1.0C,

：.0C//BE,

:•△DCOs^DEB,

•.•OC-OD——3,

BEDB5

,:BE=3,

9

:.AD=OD-OA=x=z—，

10

即A。的长为2.

10

【点评】本题考查了圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、相似三角形的判定与

性质等知识；熟练掌握切线的判定与相似三角形的判定和性质是解题的关键.

3.(2021新疆)如图，4C是。。的直径，BC,8。是的弦，M为BC的中点，OM与BD交于点F,

过点。作。ELBC,交BC的延长线于点E,且CC平分/ACE.

(1)求证：OE是。。的切线；

(2)求证：NCDE=NDBE；

(3)若。E=6,tanNCOE=2,求B/的长.

3

【解析】(1)连接0。，由C。平分NACE,OC=OD,可得/DCE=NOOC,OD//BC,从而可证。E是

。。的切线；

(2)连接AB,由AC是。。的直径，得/ABD+/r>BC=90°,又/AC。，ZABD^ZODC,可

得NOQC+/O8C=90°,结合/O0C+NCOE=9O°,即可得/C£>E=/QBE；

(3)求出CE=4,BE=9,即可得8c=5,由M为5c的中点，可得OM_LBC,BM=S,中，

2

求出尸例=S,再用勾股定理即得答案，8尸=出祝寿=显亘.

36

【解答】(1)证明：连接OO,如图:

〈CO平分NACE,

：・/OCD=/DCE,

,:OC=OD,

：,/OCD=/ODC,

：.ZDCE=ZODCf

:.OD//BC,

U：DE±BC,

：.DE±OD,

・・・O£是OO的切线；

(2)证明：连接A8,如图:

〈AC是OO的直径，

・・・NA3C=90°,即NA3Q+NQ8C=90°,

VAD-AD.

・・・NABD=NACD,

VZACD=ZODC,

：./ABD=/ODC,

：.ZODC+ZDBC=90a,

♦；NODC+NCDE=90°,

,ZCDE=ZDBC,即ZCDE=ZDBE-.

(3)解：中，DE=6,tan/CDE=2,