误差分析和数据处理课件

误差分析和数据处理附录Ⅱ误差分析和数据处理被测量的真值和试验所得的给出值总存在一定的差异，这就是测量误差。而误差的存在使我们对客观事物的认识受到不同程度的歪曲，因此就必须进行误差分析。

误差分析和数据处理是判断科学实验和科学测试结果质量和水平的主要手段。另一方面，一般原始的测试技术都是参差不齐的，需运用数学方法加以精选、加工，以求获得可靠、真正反映事物内在本质的结论，这就是要进行数据处理。附录Ⅱ误差分析和数据处理其中真值在以下情况下被认为是已知的。１、绝对误差（二）表示方法Ⅱ-1误差的基本概念（３）相对真值（２）规定真值：由国际上公认的某些基准量。（如一米是光在真空中于1/299792458秒时间内所到之长度）（１）理论真值：由理论公式计算所得结果；Ⅱ-1误差的基本概念２．相对误差相对误差便于评价测量精度的高低。Ⅱ-1误差的基本概念（四）人为误差（三）方法误差（二）环境误差（一）测量装置误差二、误差的来源Ⅱ-1误差的基本概念三、误差的分类在相同条件下，对同一对象进行多次测量，有一种大小、符号都作随机性变化而无确定规律的误差，称为随机误差。（一）随机误差Ⅱ-1误差的基本概念（三）粗大误差在相同条件下，对同一对象进行多次测量，有一种绝对值和符号不变，或按某一规律变化的误差，称为系统误差。（二）系统误差Ⅱ-1误差的基本概念表示测量结果中系统误差和随机误差综合大小的程度，反映了测量结果与被测真值偏离的程度。（三）精确度Ⅱ-1误差的基本概念五、不确定度B类分量：用其他方法估算出的近似的标准偏差。A类分量：对一系统多次重复测量后，用统计方法计算出的标准偏差。根据国家计量局《关于表达不确定度的建议草案》，把不确定度按估计其权值所用的方法不同归并成两类：Ⅱ-1误差的基本概念总不确定度。置信系数；其中：合成不确定度；而后用方和根的方法合成A类分量和B类分量，合成后仍以标准偏差的形式表征，称为合成不确定度。合成不确定度乘以一系数，从而得到总不确定度，用下式表示：Ⅱ-1误差的基本概念以上规律的概率分布成为正态分布。（四）抵偿性：随着测量次数的增加，随机误差的代数和趋近于零。（三）有界性：在有限次的测量中，绝对值很大的误差出现的概率近于零。（二）单峰性：绝对值得误差出现的概率大，绝对值大的出现的概率小。（一）对称性：绝对值相等的正、负误差出现的概率相等。随机误差的分布的几个特点：Ⅱ-2随机误差的性质与处理二、正态分布线为被测量的真值。为单次测量结果。为随机误差为标准差或均方根差其中为误差出现的概率密度高斯于1795年提出了正态分布的随机误差值与其出现的概率之间的函数关系式：Ⅱ-2随机误差的性质与处理测量值落在区间内的概率为曲线在该段的积分，有将式绘制成曲线就是著名的高斯正态分布曲线，如图Ⅱ-2随机误差的性质与处理人们发现，标准差可以比较好的表达正态分布规律的分散性大小，在工程实际应用中，用以下算式估算（三）标准差Ⅱ-2随机误差的性质与处理一般用算术平均值作为真值的近似值，而用表示算术平均值的标准差，用以表示的分散程度。有关系式：（四）算术平均值的标准差Ⅱ-2随机误差的性质与处理显然置信区间取得宽，置信概率就大，反之则小。一般，当置信区间宽为时，测量值落入区间内的概率为68.3%，也就是说，进行100次测量，大约有68次的值是落在的范围的。（二）单次测量的极限误差在一组等精度的测量值中，大小为的测量值落入指定区间内的概率称为置信概率，而该指定区间称为置信区间。（一）置信概率四、置信概率和极限误差Ⅱ-2随机误差的性质与处理Ⅱ-3系统误差的发现和消除系统误差是由固定不变的或按确定规律变化的因素造成的，一般说来这些因素是可以掌握的。对待系统误差的基本措施就是设法发现并消除它。一、系统误差的分类在测试过程中，误差的大小和符号是不变的。（一）定值系统误差按系统误差出现的特点及对测量结果的影响，可分为定值系统误差和变值系统误差两类。Ⅱ-3系统误差的发现和消除其中：为被测真值为定值系统误差为第次测量的随机误差为第次测量值。定值系统误差在测量中是固定不变的，设其为，则测量值可表示为（一）定值系统误差的发现和消除Ⅱ-3系统误差的发现和消除所以真值所以一组测量值的平均值为在适当大时，趋近于零，则上式变为Ⅱ-3系统误差的发现和消除2、抵消法：设法使其在测量中一次为正，另一次为负，这样在均值中就可以被消除。1、预检法：对测试器具作预先检定。定值系统误差的消除一般采用以下方法：可见定值系统误差对剩余误差无影响，因此对标准差也无影响，也就是说在分布曲线上，定值系统误差不改变误差分布曲线的形状，只是使随机误差分布曲线的位置作一下平移。另一方面：Ⅱ-3系统误差的发现和消除（二）变值系统误差的发现和消除变值系统误差对每一个测量值的影响都不一样，因此，在均值中含有系统误差，且在剩余误差中也含有系统误差。因此它不仅影响被测量的算术平均值，而且也影响随机误差的分布规律，因此必须发现并加以消除。常用方法有：Ⅱ-3系统误差的发现和消除则可以认为没有显著的变值系统误差，这种方法在较小时不太可靠。２、剩余误差符号检测法：观察剩余误差正负的个数，当满足，１、剩余误差观察法：将一组测量数据的剩余误差依次排列起来，观察其有无规律，从而消除，这种方法一般重复测量次数多于20次。Ⅱ-3系统误差的发现和消除Ⅱ-4粗大误差的发现及剔除当时，此准则就不适用了。当较小时，此准则的可靠性较差。该依据应剔除，剔除后再重新算。时，一、莱依达法则（准则）一般剔除粗大误差有许多准则，以下简介几种：把误差超过的测量值视为含有粗大误差，予以剔除，对优先次测量来说，即有：注意：在剔除含有粗大误差的数据时，按照准则，每次是应剔除数据中最大的一个。时，对一组数据，若二、格拉布斯准则应予剔除，其中值根据测量次数和置信概率查表而得（见p163）Ⅱ-4粗大误差的发现及剔除Ⅱ-5误差合成它可以按上式从测量结果中加以修正。则总的定值系统误差为测量中，若有个单项定值系统误差，（一）定值系统误差的合成一、系统误差的合成即若有次未定系统误差，且他们互不相关，则总的未定系统误差的极限误差为未定系统误差是指系统误差虽然没有被确切掌握，但可估计出不致超过某一极限危险范围的误差。（二）未定系统误差的合成。Ⅱ-5误差合成二、随机误差的合成设多项随机误差的标准差分别为，且互不相关，则各随机误差综合作用的结果的标准差为或已知个独立的极限误差，且各项误差均服从正态分布，则总的极限随机误差为Ⅱ-5误差合成三、系统误差与随机误差的合成先修正掉正定系统误差，而后，测量结果总的极限误差就是总的极限误差与总的极限随机误差的方和根，即设测量过程中同时存在个单项已定系统误差，个单项未定系统误差，个单项随机误差，它们的极限误差分别是：Ⅱ-5误差合成四、间接测量的误差合成的正定系统误差为，及未定系统误差和随机误差的极限值为和，且当误差均服从正态分布时，则有：设间接测量与个直接测量量的关系是：的正定系统误差为：Ⅱ-5误差合成的极限未定系统误差为：的极限随机误差为：的正定系统误差修正后的总的合成误差为：Ⅱ-5误差合成Ⅱ-６测量数据处理及测量结果的表示其中为单次的测量值，为按21式的经验估算值。测量结果可表示为：一、单次测量二、多次测量5、求单次测量的标准差；4、由判断是否有变值系统误差，设法消除；3、求剩余误差；2、求算术平均值；1、判断定值系统误差，并加以修正；设对某量进行等精度的多次测量后得到数据，则：Ⅱ-６测量数据处理及测量结果的表示9、写出结果8、求测量结果的总极限误差；（由21式给出）7、求算术平均值的标准差及极限误差；6、判断有无粗大误差，若有，则剔除并重复前2，3，5步骤，直至无粗大误差为止；Ⅱ-６测量数据处理及测量结果的表示三、间接测量多次时：单次时：2、计算间接测量量；1、先按前述方法处理各直接测量量的数据，给出各量的最佳值，以及总极限误差，其中为直接测量量，则应：若间接被测量为，且有Ⅱ-６测量数据处理及测量结果的表示4、给出结果：按25式得：3、给出间接测量量的总极限误差Ⅱ-６测量数据处理及测量结果的表示Ⅱ-7一元线性回归设两变量之间有线性关系用数学处理的方法得出两变量之间的关系，就是工程上所说的拟合问题。若两变量间的关系是线形关系，就称这种拟合为线性拟合或一元线性回归。（一）端值法：一、回归方程的求法去确定25式中的和。其方法有以下几种：所谓线形拟合实际上就是通过一组数据用数据中的两个端点值代入28式中求出即可。Ⅱ-7一元线性回归（二）平均值法：将全部数据代入中得：Ⅱ-7一元线性回归从而求出其中：将上面个方程分成两组，两组分别组内相加得到两个方程：Ⅱ-7一元线性回归（三）最小二乘法Ⅱ-7一元线